平方根法/ Choleski's Method*: 对称/ symmet*正定/ positive definite 矩阵的分解法 定义一个矩阵A=(an)n称为对称阵,如果an=n。 定义一个矩阵A称为正定阵,如果xA>0对任意非 零向量x都成立。 回顾:对称正定阵的几个重要性质 中亦对迩定,且a20 命A的顺序主子阵/ leading principal submatrices*/A亦对 称正定 意x=x40其由21,0 中A的特征信 eigen vah>6 令A的全部顺序(对竟≠0∈R有 设对应特征值的非零特征向量 因为det(4)=∏4
➢ 平方根法 /* Choleski’s Method */： ——对称 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩阵的分解法 定义 一个矩阵 A = ( aij )nn 称为对称阵，如果 aij = aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非 零向量 都成立。 x Ax 0 T x 回顾：对称正定阵的几个重要性质 A−1 亦对称正定，且 aii > 0 若不然，则 0 Ax = 存在非零解，即 x Ax = 0 T 存在非零解。 1 1 1 1 , ( ) ( ) − − − − AA = I A A = I A = A T T T 对任意 , 存在 , 使得 , 即 。 0 x 0 y Ay x = y A x −1 = 0 1 1 = = − − x A x y AA Ay y Ay T T T a = x Ax 0 其中 T ii T x = (0...1...0) 第 i 位 A 的顺序主子阵 /* leading principal submatrices */ Ak 亦对 称正定 对称性显然。对任意 有 , 其中 。 k xk 0 R x A x = x Ax 0 T k k T k k n R x x = 0 0 A 的特征值 /* eigen value */ i > 0 设对应特征值 的非零特征向量 为 ，则 。 2 0 x Ax x x x T T x = = A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) > 0 因为 = = n i A i 1 det( )
将对称正定阵A做LU分解 Hii/lii 记为 U DU A对称→L=U7即A=LDL 则L=L奶是下三角阵 记D 1/2 A=LLT 定理设矩阵对称正定,则存在非奇异下三角阵L∈R 使得着限定L对角元为正,则分解唯 注:对于对称正定阵A,从an=∑h可知对任意k≤i 有|1k|≤√an即L的元素不会增大,误差可控,不 需选主元
将对称 正定阵 A 做 LU 分解 U = uij = u11 uij / uii 1 1 1 u22 unn 记为 DU ~ A 对称 T L U ~ = 即 T A = LDL 记 D1/2 = u11u22 unn Why is Since det( uiiA> 0? k ) > 0 ~ 1/ 2 则 L = LD 仍是下三角阵 T A LL ~~ = n n L R 定理 设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵 使得 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。 T A = L L 注： 对于对称正定阵 A ，从 可知对任意k i 有 。即 L 的元素不会增大，误差可控，不 需选主元。 = = i k ii ik a l 1 2 ik aii | l |