第一章绪论 1.填空题 (1)如下各数分别作为r的近似值,各有几位有效数字? 3.4的有效位数是3 7 的有效位数是 113的有效位数是_7 (2)设近似数x有2位有效数字,则其相对误差限等于005 )已知近似数的相对误差限为03×102,则的有效位数至少是2 (4在浮点数系2.-7,8中共有2个数 (5)现代科学要来源有:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差,而数值计算仅讨论截断误差和舍入误差 的三大组成部分有:科学实验、理论研究和_科学计算 (7)构造数值稳定的算法,应坚持以下几个原则 ①要』防止大数“吃控”小数 ②要_控制舍入误差的传播和积岽 ③要避免两个相近的数相减 ④要避免绝对值很小的数做分母 ⑤要减少运算次数,避免误差积累 2.利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式,使其计算结果比较精确(其中>1表示充分大,<1表示x充分接近0) () tanx-sinx, kk<<l I-cosx sinx sin'x 解原式 那原式(/+ 3.设3个近似数a=3.65,b=9.81,c=1.21均有3位有效数字,试计算ac+b,并估计它的绝对误差限、相对误差 改数字的位数 解ac+b=14.2265 由a,b,c有3位有效数字,知其绝对误差da,db,dc均不超过2 所以 (a+0++5+00303 即绝对误差限为 说明ac+b=14.2265有3位有效数字,ac+b≈142 dax+b)-a+2)2=0032=02% 所以相对误差限约等于0.21% 4.填空题 (1)在浮点数系F10,5,-10,10中计算k2,可按以下两种顺序进行 ①依k递增的顺序计算 ②依尾递减的顺序计算 其中能获得较准确结果的方法編号 (2)用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数 0.00063217500≈000063218 3.0000098≈3.0000 3143569≈31436 3)用计算机计算n次多项式f(x)=a0x2+ax2+A+a,4x+a的值,采用秦九韶算法要做n次乘法运算,而直接计算需要作 次乘法运算 5.下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数,试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置: 近似数 绝对误差限 相对误差限 有效数字的位数 31000 0.000016 2.3316 0.000021 0.5504 0.00005 0.000091 0.001230 0.00041 6.用秦九韶算法计算当x=-3时多项式2x3+7x2+5x2+3x2-6x-11的值 解a0=2,x=-3,b,=7,5,3,-6,-11,a+1=a2x+b 即要求的多项式的值为-20. 最。、在浮点数系四(0.8.-1010)中,已知2=0451802×10,bm0435178102-010710+,分别计算(+b+C和(a+)+b,并求各结果与精
第一章 绪论 1．填空题 (1) 如下各数分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 3.14 的有效位数是 的有效位数是 的有效位数是 (2) 设近似数x *有2位有效数字，则其相对误差限等于 (3) 已知近似数x *的相对误差限为 ，则x *的有效位数至少是 (4) 在浮点数系F(2, 8, -7, 8)中共有 个数． (5) 现代科学的三大组成部分有：科学实验、理论研究和 科学计算 (6) 误差的四种主要来源有：模型误差、观测误差、 截断 误差 和 舍入 误差，而数值计算仅讨论 截断 误差 和 舍入 误差． (7) 构造数值稳定的算法，应坚持以下几个原则： ① 要 防止大数“吃掉”小数 ② 要 控制舍入误差的传播和积累 ③ 要 避免两个相近的数相减 ④ 要 避免绝对值很小的数做分母 ⑤ 要 减少运算次数，避免误差积累 2．利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中 表示 充分大， 表示x充分接近0）. (1) ， 解 原式 (2) ， 解 原式 3．设3个近似数a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效数字，试计算ac + b，并估计它的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数. 解 ac + b = 14.2265 由a，b，c有3位有效数字，知其绝对误差da，db，dc均不超过 ，所以 即绝对误差限为 ，说明ac + b = 14.2265有3位有效数字，ac + b ≈ 14.2 所以相对误差限约等于0.21%． 4．填空题 (1) 在浮点数系F(10, 5, -10, 10)中计算 ，可按以下两种顺序进行： ① 依k递增的顺序计算 ② 依k递减的顺序计算 其中能获得较准确结果的方法编号为 ② (2) 用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数： 0.7000400 ≈ 0.70004 0.00063217500 ≈ 0.00063218 3.0000098 ≈ 3.0000 314.3569 ≈ 314.36 (3) 用计算机计算n次多项式 的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法运算，而直接计算需要作 次乘法运算． 5．下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数，试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置： 近似数 绝对误差限 相对误差限 有效数字的位数 31000 0.5 0.000016 5 2.3316 0.00005 0.000021 5 0.5504 0.00005 0.000091 4 0.001230 0.0000005 0.00041 4 6．用秦九韶算法计算当 x = -3时多项式 的值. 解 ， ， ， ， ， ， ， 即要求的多项式的值为-20． 7．在浮点数系 中，已知 ， ， ，分别计算 和 ，并求各结果与精 确结果的绝对误差
解(a+b)+c=(043518429-043517811)×102+c =0.618×10-3+0023371927×10 0.64137193×10 (a+c)+b=(043518429+0.000017)×102+ =043518429×102-043517811×102 0.641×103 与精确值0641371927×103比较,二者的绝对误差分别 1=0641371927×103-064137193×103=-03×10 g2=0641371927×103-0641×103=0371927×10 8.设x=10±5%,试求函数y=f(x)=行的相对误差限 解因为x-%,f(x=,”3 所以f(x)的相对误差限为 (x)-2×5%-1% 第二章非线性方程组的数值解法 22二分法 9.填空题 (1)用二分法求方程(x)=0的近似根,若(x)在nb上满足_连续、单调且(a)(b)<0,则方程在ab]上有且仅有一个实 (2)在二分法的误差分析中,因为“≤ 所以要使下一列<E成立,只需 b-a)< (3)使用二分法求非线性方程()=0在01内的根,要使误差小于10,至少要二分区间1 0.用二分法解方程x2+4x2-10-0在,2)内的根,要求精确到小数点后第二位,即误差不超过210 解f(x) 2-1)≤5×10-2 得k127,所以迭代7次即可.计算结果如下表 sk)的符号 1.367188 所以取方程的近似根为x≈1.367188 .3简单迭代法 1.为用简单迭代法解方程x2-x2-1=0在区间12上的根,构造了如下3个迭代函数: x:(2)gx)-31 03(x)= 若己知xo=1.5与精确根邻近,试分别写出它们的迭代公式,并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性,再取其中一种收敛的公式求出近似根(要求精确到 小数点后2位) )-,<1 此迭代格 所以此迭代格式发散: 妈(x) 1414A>1 215-1) 所以此迭代格式发散 用迭代格式(1)计算得 x3=1.456976000,x4= xs=1462090536,x6= (1)对于方程x3+4x2-10=0,写出简单选代法的两个选代函数及其相应的选代格式 迭代函数之一 选代公式 迭代函数之二(x)=50-4x 迭代公式xn1=初0-4 2)简单迭代法的误差分析,有先验估计式 b-xa[ 1 和事后估计式 (3要使简单选代法的精度达到要求F一列4<E,实用中的一个简单易处理的方法,是根据不等式k-x小<成立与否来判别是香终止选代 (4)对于方程(x)=0的一个简单迭代公式x1“只(x),其收敛的一个充分条件是:当x∈a,时,甲()满足(x)≤L<1,若已知根的初始值x在根x邻 近,则可将局部收敛的判别条件r(x2<用如(x<1来替代
解 与精确值 比较，二者的绝对误差分别为 8．设 ，试求函数 的相对误差限. 解 因为 ， ， ， 所以 的相对误差限为 第二章 非线性方程组的数值解法 2.2 二分法 9．填空题 (1) 用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在[a, b]上满足 连续、单调 且 ，则方程在[a, b]上有且仅有一个实根x * (2) 在二分法的误差分析中，因为 ，所以要使 成立，只需 即可 (3) 使用二分法求非线性方程f (x) = 0在[0, 1]内的根，要使误差小于 ，至少要二分区间 次 10．用二分法解方程 在[1, 2]内的根，要求精确到小数点后第二位，即误差不超过 ． 解 ，由 ，得k+1≥7，所以迭代7次即可．计算结果如下表： k ak bk xk f(xk)的符号 0 1 2 1.5 + 1 1 1.5 1.25 - 2 1.25 1.5 1.375 + 3 1.25 1.375 1.3125 - 4 1.315 1.375 1.34375 - 5 1.34375 1.375 1.359375 - 6 1.359375 1.375 1.367188 所以取方程的近似根为 ． 2.3 简单迭代法 11．为用简单迭代法解方程 在区间[1, 2]上的根，构造了如下3个迭代函数： (1) ； (2) ； (3) 若已知x0 = 1.5与精确根邻近，试分别写出它们的迭代公式，并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性，再取其中一种收敛的公式求出近似根（要求精确到 小数点后2位）． 解 (1) ，因为 ，此迭代格式收敛； (2) ，因为 ，所以此迭代格式发散； (3) ，因为 ，所以此迭代格式发散． 用迭代格式（1）计算得 x1 = 1.444444444， x2 = 1.479289941， x3 = 1.456976000， x4 = 1.471080583， x5 = 1.462090536， x6 = 1.467790576， x7 = 1.464164381， x8 = 1.466466355 12．填空题 (1) 对于方程 ，写出简单迭代法的两个迭代函数及其相应的迭代格式： 迭代函数之一 ，迭代公式 迭代函数之二 ，迭代公式 (2) 简单迭代法的误差分析，有先验估计式 和事后估计式 (3) 要使简单迭代法的精度达到要求 ，实用中的一个简单易处理的方法，是根据不等式 成立与否来判别是否终止迭代． (4) 对于方程f(x) = 0的一个简单迭代公式 ，其收敛的一个充分条件是：当 时，φ (x)满足 ，若已知根的初始值x0在根x *邻 近，则可将局部收敛的判别条件 用 来替代．
(5)对于方程(x)=0的一个简单达代公式x1=x),若其产生的序列收敛很慢,这时可令新的选代函数为x)-只(x)+x)-x)(k.待定常数) 要想得到收敛速度更快的选代函数,k的最好取值是使贞x)满足x)=0,由于方程的解x未知,通常取 可得加速迭代公式 ()x)-,(x) (6)对迭代格式x+1=以(xk),若叫(xk)满足 那么该格式收敛的阶数是 24牛顿迭代法 13.用牛顿选代法求方程x3+4x2-10=0在[,2上的根 (1)写出该方程的牛顿迭代公式 f(x)=x3+4x2-10,f(x)=3x2+8x x+4x-10 H+1*xr" 牛顿选代公式为 3x2+8 x3+4x2+10 (2)取初值x0=1.5,证明该方程的牛顿选代公式收敛 证明(1)=-5,f(2)=41,f(1)f(2)< x∈,2]时f(x)=3x2+欲x>0,fx)=6x+8>0 15=3,15)15>0,所以选代格式收敛 (3)选代求出方程的近似根x,要求精度:k=xl<10 解将x0=1.5代入迭代公式得 x1=1.37333.x2=1.3652 1.365230014,x4=1.3652 由于x满足4-<106,故近似根取作x=136523003 14.选择题 下说法中,不正确的是(C) (A)牛顿选代法也是一种简单迭代法 B)牛顿迭代法也叫牛顿切线法 (C)当x0充分接近x时,弦截法比牛顿法收敛快 (D)弦截法的优点是不需要计算导数值 填空题 (1)对于方程x)=0,已知其根x’介于a,b之间,初值x∈[a,b.证明该方程的牛顿选代公式收敛,需验证成立的条件为 ① ② ∫(x)≠0,x∈[a, ③(x)在ab存在且不变 f(x0)(x0)>0 (k=0,1,2A) (2)求解方程x3-3x-1=0的牛顿选代公式为 1-3,5 (k=0,1,2,A (3)用牛顿法计算√5的值,其选代公式为 取x=2,得√5的各近似值: x2=2211,1x=23060978 精确到10°的近似值为_2236067978 (4)对于方程x3-3x-1=0 k=1,2A) 其弦截法迭代公式为 +i:lo+ 16.用牛顿选代法求方程x3+2x2+10x-20=0在x0=1.5附近的根 解迭代格式为 ““x3+4+0-“3+43+10(01240) 将x0=1.5代入选代公式计算得 x1=1.373626373,x2=1.368814819,x3=1,368808107,x4=1.368808107 2.5弦截法 17.用快速弦截法求方程x3+3x2-x-9=0在区间[,2]内的根,精确至5位有效数字 解取x=14,x=1.6,代人选代公式 xRF(rs) f(x)-f(x-1),f(x)=x+3x-xk-9 代入计算得f(x0)=2168,f(x1)=1.176,x2=1.52967 f(x2)=0.0692609,x=1.51069 f(x3)=-0.216464,x=1.524l f(x4)=-0.0140970,x5=1.525ll f(x5)=0.000117173,x6=1.52510 所以x15251
(5) 对于方程f (x) = 0的一个简单迭代公式 ，若其产生的序列{xk}收敛很慢，这时可令新的迭代函数为 ，要想得到收敛速度更快的迭代函数，k的最好取值是使 满足 ．由于方程的解x *未知，通常取 ，可得加速迭代公式 (6) 对迭代格式xk+1 = φ(xk )，若φ(xk )满足 ，而 那么该格式收敛的阶数是 2.4 牛顿迭代法 13．用牛顿迭代法求方程 在[1, 2]上的根． (1) 写出该方程的牛顿迭代公式. 解 ， 牛顿迭代公式为 (2) 取初值x0 =1.5，证明该方程的牛顿迭代公式收敛. 证明 f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) < 0 当 时 ， ， ，所以迭代格式收敛． (3) 迭代求出方程的近似根xk，要求精度： . 解 将x0 =1.5代入迭代公式得 x1 = 1.373333333，x2 = 1.365262015 x3 = 1.365230014，x4 = 1.365230013 由于x4满足 ，故近似根取作x4 = 1.365230013 14．选择题 如下说法中，不正确的是（ C ） (A) 牛顿迭代法也是一种简单迭代法 (B) 牛顿迭代法也叫牛顿切线法 (C) 当x0充分接近x *时，弦截法比牛顿法收敛快 (D) 弦截法的优点是不需要计算导数值 15．填空题 (1) 对于方程f(x) = 0，已知其根x *介于a，b之间，初值 ．证明该方程的牛顿迭代公式收敛，需验证成立的条件为 ① ② ③ ④ (2) 求解方程 的牛顿迭代公式为 (3) 用牛顿法计算 的值，其迭代公式为 取x0 = 2，得 的各近似值： ， ， 精确到 的近似值为 2.236067978 (4) 对于方程 其弦截法迭代公式为 16．用牛顿迭代法求方程 在x0 = 1.5附近的根． 解 迭代格式为 将x0 =1.5代入迭代公式计算得 x1 = 1.373626373，x2 = 1.368814819，x3 = 1.368808107，x4 = 1.368808107 2.5 弦截法 17．用快速弦截法求方程 在区间[1, 2]内的根，精确至5位有效数字. 解 取x0 = 1.4，x1 = 1.6，代人迭代公式 ， 代入计算得 f (x0 ) =-2.168， f (x1 ) = 1.176，x2 =1.52967； f (x2 ) = 0.0692609， x3 = 1.51069； f (x3 ) = -0.216464， x4 = 1.52417； f (x4 ) = -0.0140970， x5 = 1.52511； f (x5 ) = 0.000117173， x6 = 1.52510； 所以 ．
第三章线性方程组的数值解法 3.2线性方程组的直接解法 选择题 当n阶方阵A满足条件(A)时,线性方程组Ax=b有唯一解 (A)A非奇异 (B)R(4) D)以上都不对 2.填空题 的聊一种法在计算中入说迅增长,无法拉,成结果失高,称这一法经数值不酸定的,反之是数值定的高司去法是数在 (2)解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法,其中_列主元消去法有利于控制误差的增长,这是因为它能有效克服“小”主元带来的“大数吃 现象,从而有效控制误差的增长 (3)过三点(1,1)、(2,-1)和(3,1)的抛物线为y=212-8x+7 (4)用列主元高斯消去法,对方程组的增广矩阵作初等变换,当进行至 83-1 0-1 103786 时,下一步所选主元为 3.用高斯消去法求解方程组 4x1+2x2+5x3=4 解记B=(A,b),B称为增广矩阵,用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下 2-13}1 120;7 052-3/2:132-20058:21/4 回代得 =8.4,x=26 4.用列主元消去法求解方程组(计算结果保留到小数点后3位) 3x2+3x3=15 18x+3-再=-15 B=[-18]3-11-1 011670.944:51 →0[.1670.944:5167+20-123335 01.1670.944:5.1 31m003142:9428 回代得 33线性方程组的直接分解法 5.判断题 (1)当矩阵A的各阶前主子式都不等于零时,可唯一地分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘 (2)若不计舍入误差,LU分解法是求解线性方程组的精确方法 (√) (3)L分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵.(√) 6.用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax=b,其中 27 18450-45 27-459135 8 解对A做LU分解,先计算U的第一行及L的第一列 n=a1=9,u2=a12=18,13=a13=9,n14=a14=-27 l31=a31/a1=1,l4=a41/a 然后计算U的第二行及L的第二列 a2=a22-l21a12=9,n3=a23-l21a3=-18,a24=a24-l1a14 l32=(a32-l3ln2)/22=-2,l42=(a42-l41n12)/n2=1 再计算U的第三行及L的第三列 B3=a33-l1n3-l32n23=81,4=a34l31a14-l32a4=54 l43=(a43-l4l1342n23)/u33=3 最后计算44 a4=a4-l41u14-l42an24l43as4=9
第三章 线性方程组的数值解法 3.2 线性方程组的直接解法 1．选择题 当n阶方阵A满足条件（ A ）时，线性方程组Ax = b有唯一解. (A) A非奇异 (B) R(A) ≠ 0 (C) R(A) < n (D) 以上都不对 2．填空题 (1) 如果一种算法在计算中舍入误差积累迅速增长，无法控制，造成结果失真，则称这一算法是数值不稳定的，反之是数值稳定的.高斯消去法是 数值不稳 定 的算法 (2) 解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法，其中 列主元消去法 有利于控制误差的增长，这是因为它能有效克服“小”主元带来的 “大数吃 小数” 现象，从而有效控制误差的增长 (3) 过三点(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的抛物线为 y = 2x 2 - 8x + 7 (4) 用列主元高斯消去法，对方程组的增广矩阵作初等变换，当进行至 时，下一步所选主元为 3．用高斯消去法求解方程组 . 解 记B = (A, b)，B称为增广矩阵，用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下 回代得 x3 =8.4， x2 =2.6， x1 =-10.8 4．用列主元消去法求解方程组（计算结果保留到小数点后3位） . 解 回代得 ． 3.3 线性方程组的直接分解法 5．判断题 (1) 当 矩 阵 A 的 各 阶 前 主 子 式 都 不 等 于 零 时 ， 可 唯 一 地 分 解 为 一 个 单 位 下 三 角 阵 L 和 一 个 上 三 角 阵 U 的 乘 积． ( √ ) (2) 若不计舍入误差，LU分解法是求解线性方程组的精确方法． ( √ ) (3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵． ( √ ) 6．用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax = b，其中 ， 解 对A做LU分解，先计算U的第一行及L的第一列 u11 = a11 = 9， u12 = a12 = 18， u13 = a13 = 9， u14 = a14 = -27 l21 = a21 / u11 = 2， l31= a31 / u11 = 1， l41= a41 / u11 = -3 然后计算U的第二行及L的第二列 u22 = a22 - l21 u12 = 9， u23 = a23- l21 u13 = -18， u24 = a24- l21 u14 = 9 l32 = (a32 - l31 u12 ) / u22 = -2， l42 = (a42- l41 u12 ) / u22 = 1 再计算U的第三行及L的第三列 u33 = a33- l31 u13- l32 u23 = 81， u34 = a34- l31 u14- l32 u24 = 54 l43 = (a43- l41 u13- l42 u23 ) / u33 = 最后计算u44 u44 = a44- l41 u14- l42 u24- l43 u34 = 9 因此