第四章插值 Interpolation @当精确函数y=)非常复杂或未知时,在 系列节点x…,x处测得函数值y=八x), yn=xn),由此构造一个简单易算的近似函 数g(x)≈f(x),满足条件g(x)=fx)(=0, n)。这里的g(x)称为八x)的插值函数。最常 用的插值函数是多项式 g(x)≈f(x)
第四章 插值 /* Interpolation */ 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0 ), … yn = f(xn )，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi ) = f(xi ) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是多项式 …? x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
§1拉格朗日多项式 / Lagrange Polynomial 求n次多项式P( x)=a0+a1x+…+anxn 使得 Pn(x;)=y,i=0. 条件:无重合节点,即i≠jx≠x n 称为拉氏基函数 I* Lagrange BasIs*,a 满足条件lx)=an/ Kronecker Delta 可贴r1U烂心x~y 1两点的直线。 P1(x)=y+ (x-x0) xxi X" 十 X1- 1=21(x)y lo(x)
§1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n 求 n 次多项式 使得 n Pn (x) = a0 + a1 x ++ an x 条件：无重合节点，即 i j xi x j n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1 (x) = a0 + a1 x 使得 1 0 0 1 1 1 P ( x ) = y , P ( x ) = y 可见 P1 (x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1 , y1 ) 两点的直线。 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 x x x x y y P x y - - - = + 0 1 1 x x x x - - 1 0 0 x x x x - - = y0 + y1 l0 (x) l1 (x) = = 1 0 ( ) i i x yi l 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */， 满足条件 l i (xj )=ij /* Kronecker Delta */
n≥1希里找到(x),i=0,…,n使得(x)=9;然后令 P2(x)=2l(x),则显然有Px)=y1 与节点有关,而与∫无关 agrange Polynomial l(x)= ix (x x x)mD(x)=∑1(x)
n 1 希望找到l i (x)，i = 0, …, n 使得 l i (xj )=ij ；然后令 = = n i n i i P x l x y 0 ( ) ( ) ，则显然有Pn (xi ) = yi 。 l i (x) 每个 l i 有 n 个根 x0 … xi … xn = = - - - = - n j j i li x Ci x x x xi x xn Ci x xj 0 ( ) ( 0 )...( )...( ) ( ) - = = j i i j i i i x x l x C ( ) 1 ( ) 1 = - - = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) = = n i n i i L x l x y 0 ( ) ( ) Lagrange Polynomial 与节点 有关，而与 f 无关
定理(睢性满是P()=1,1=-,m的n阶插益 项式是唯一存在的。 证明:(p105-106利用 Vandermonde行列式论证) 反证:若不唯一,则除了Ln(x)外还有另一n阶多项 式Pn(x)满足P(x) 考察Q(x)=P(x)-L(x),则Qn的阶数(n 而Q有+1个不同的根x0…x 注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一 例如P(x)=L2(x)+p(x)(x-x)也是一个插值 多项式,其中p(x)可以是任意多项式
定理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多 项式是唯一存在的。 P(xi ) = yi , i = 0, ... , n 证明： ( p.105-106 利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln (x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn (x) 满足 Pn (xi ) = yi 。 考察 Qn (x) = Pn (x)- Ln (x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值 多项式，其中 可以是任意多项式。 = = + - n i P x Ln x p x x xi 0 ( ) ( ) ( ) ( ) p(x)
>插值余项/ Remainder? 设节点a≤x<x1<…<xn≤b,且f满足条件∫∈C"la, 在a,b内存在考察截断误差R(x)=f(x)-Ln(x) Rn(x)至少有m+1个根→R(x)=K(x)I(x-x) 注意这里是对t求导3()=Rn(t)-K(x)I(t-x) (x)有m+2个不同的根x….nx今p+(4)=0,5∈(a,b ft(5x)-Lm(5、)-(x)(n+1)!=Rm(5x)-k(x)(m+1! (n+1) ft(s (x) R, (x)= (n+1) (n+1)! (x-x;)
➢ 插值余项 /* Remainder */ 设节点 (n+1) f 在[a , b]内存在, 考察截断误差 R (x) f (x) L (x) n = - n f C [a,b] n a x x x b 0 1 n ，且 f 满足条件 , Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，则 存在 使得 。 ( x) (x0 ) =(x1 ) = 0 ( , ) x0 x1 ( ) = 0 推广：若 (x0 ) =(x1 ) =(x2 ) = 0 ( , ), ( , ) 0 x0 x1 1 x1 x2 使得 ( 0 ) =( 1 ) = 0 ( , ) 0 1 使得 ( ) = 0 (x0 ) ==(xn ) = 0 存在 (a,b) 使得 ( ) 0 ( ) = n Rn (x) 至少有 n+1个根 = = - n i Rn x K x x xi 0 ( ) ( ) ( ) 任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察 = = - - n i xi t Rn t K x t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (x)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x ( ) 0, ( , ) ( 1) x x a b n = + ( ) ( ) ( 1) ! ( 1) - + + R x K x n n n 注意这里是对 t 求导 - - + = + + ( ) ( ) ( )( 1) ! ( 1) ( 1) f L x K x n n x n n ( 1)! ( ) ( ) ( 1) + = + n f K x x n = + - + = n i i x n n x x n f R x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )