第三章 3 3-1已知模拟传递函数H,()=了子+45十3 试用脉冲响应不变法将以上模拟传递函授数转换为数字传递函数H(2),采样周期T=.5 解答 1.5 1.5 H(E)-1-eT.-1-e T=0.5 1.5 1.5 H()-1-5-1-i3 32.已知采样周期为T,用脉冲响应不变法将以下模拟函数H(S)转换为数字传递函数H(): (1)H(s)= s+a 6+a+6 (2)H.(s)= 一广，的任意正整数。 A 解：(1) 5+a -11 111[1 1 H,()Fs+a+26++b+6+a)-b2s-(a-而s(-a+b】 1l=2-e"(e+e）- a阳间-emgt1-emF-eeem+eF 1-ea cos(bT)= 1-2 e cos(bT）z-+e2r: (2)由傅立叶变换对可知： )-(m-i%() ：((ar-nr-we间 A 对上式做：变换 方法1：利用：变换的性质 首先对x(n)=eu(m)进行变换有：
第三章 3-1 已知模拟传递函数 2 3 ( ) 4 3 H s a s s = + + 试用脉冲响应不变法将以上模拟传递函授数转换为数字传递函数 H z( ) ,采样周期 T=0.5. 解答: 1 3 0.5 1 1.5 1 1.5 1.5 ( ) 1 1 0.5 1.5 1.5 ( ) 1 1 H z T T e z e z T H z e z e z − − − − − − − − = − − − = = − − − 1 3-2.已知采样周期为 T，用脉冲响应不变法将以下模拟 函数 Ha (s) 转换为数字传递函数 H (z) ： （1） ( ) 2 ( ) a s a H s 2 s a b + = + + ； （2） ( ) ( ) 0 , a m A H s m s s = − 为任意正整数。 解：（1）∵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 a s a H s s a b s a jb s a jb s a jb s a jb + ⎡ ⎤ ⎡ = = ⎢ ⎥ + = ⎢ + + + + + + − − − − − − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 cos 1 2 cos aT jbY jbT a jb T a jb T aT jbT jbT aT aT aT aT e e e z H z e z e z e e e z e z e bT z e bT z e z − − − − − − − − + − − − − − − − − − − − ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ = + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − ⎢ − + + ⎥ ⎣ ⎦ − = − + （2）由傅立叶变换对可知： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 ! A m s t H s h t t e u t m ↔ = − − ∴ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 ! 1 ! A A m s nT m m s nT h n nT e u n T n e u n m m − − − = = − − 对上式做 z 变换： 方法 1：利用 z 变换的性质 首先对 ( ) ( ) ( ) 0s nT x n e = u n 进行变换有： 11
网ax)-2emg"=2(ew:ヅ=-eea>ew 根据：变换的性质：m)-:心但，我们可以得到=M-eeu问的：变换： d re)-x,式神9是0表标 哥是气是共m-k 故间产-y日 方法2：利用：变换的定义： )-2o”a2em: A 分析：本题不易将表达式写成H-之4的形式，因而不直接套用公式 台s-S H日-之子。所以，我可以先求出间，然后对美：变款、有到所表的H(日， 注意：y日的求法，r白间(4 o可e. 3-3题图3.1表示一个数字滤波器的颜率响应 (山)用脉冲响应不变法，试求原型模拟滤波器的频率响应 (②)用双线性变换法，试求原型模拟滤波器的须率响应。 解答： 脉冲响应不变法： I )k 3 0,其它 eU [2r H,U2HH,jR)ETIH(e) 元 0,其它 12
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 n s nT n s T s s T n n T x n X z e z e z z e e z ∞ ∞ − − − = = ↔ = = = > − ∑ ∑ 根据 z 变换的性质： ( ) dX (z) nx n z dz ↔ − ，我们可以得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 m s 1 nT y n n e u n − = 的 z 变换： ( ) ( ) ( ) m 1 d Y z z X z dz − ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，式中符号 ( ) ( ) m 1 d z dz − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i 表示： ( ) d d d d z z z z dz dz dz dz ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − −⎨ ⎬ − ⎜− ⎢ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ " i ⎟⎥ ，共求导(m −1) 次。 故， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ! A m H z T Y z m − = − 方法 2：利用 z 变换的定义： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 0 0 1 ! n n m m s nT n n A H z h n z T n e z m ∞ ∞ − − − − = = = = − ∑ ∑ 分析：本题不易将表达式写成 ( ) 1 N i i i A H s = s s = − ∑ 的形式，因而不直接套用公式 ( ) 1 1 1 i N i s T i A H z e z− = = − ∑ 。所以，我们可以先求出 h n( ) ，然后对其做 z 变换，得到所求的 H z( ) 。 注意：Y z( ) 的求法， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 m m m d Y z z X z dz − − − ≠ − 。 3-3 题图 3.1 表示一个数字滤波器的频率响应. (1) 用脉冲响应不变法,试求原型模拟滤波器的频率响应. (2) 用双线性变换法, ,试求原型模拟滤波器的频率响应. 解答: 脉冲响应不变法： 2 2 5 2 | | , | | | ( )| 3 3 3 0, 1 | ( )| | ( )| 2 5 | | , | | | ( )| | ( )| | ( )| 3 3 3 0, j j a j a a H e H e H j T T T T H j H j T H e T T T ω ω ω π π ω ω π ω π 2π ω π ⎧ ⎪− + ≤ ≤ = ⎨ ⎪ ⎩ = ⎧ ⎪− Ω + ≤ Ω ≤ ∴ Ω = = = ⎨ ⎪ ⎩ ∵ 其它 其它 12