15贴现率 1.5.1实际贴现率( (effective rate of discount)) 利率与贴现率的比较 实际利率大于实际贴现率(d<i); 贴现率d是利率i的增函数。当利率→∞时,贴现率d→1; 利率诃可在(0,∞)内取值,贴现率d在(0,1)内取值; 贴现率d是利率i的贴现值(d=ia-(1),利率i是贴现率d的累积值(id-a(1) 利息是在期末收取的,而贴现值(贴现利息)是在期初收取(扣除)的 利率是利息与期初本金的比率,贴现率是贴现值与期末累积值的比率; 利率说明了资本在期末获得利息的强度,贴现率说明了资本在期初获得利 息的强度。 ●用实际贴现率表示实际利率a
1.5 贴现率 1.5.1 实际贴现率(effective rate of discount) • 利率与贴现率的比较 – 实际利率大于实际贴现率(d＜i )； – 贴现率d是利率i的增函数。当利率i→∞时，贴现率d→1； – 利率i可在(0,∞)内取值，贴现率d在(0,1)内取值； – 贴现率d是利率i的贴现值(d=i·a -1 (1))，利率i是贴现率d的累积值(i=d·a(1)) ; – 利息是在期末收取的，而贴现值（贴现利息）是在期初收取（扣除）的； – 利率是利息与期初本金的比率，贴现率是贴现值与期末累积值的比率； – 利率说明了资本在期末获得利息的强度，贴现率说明了资本在期初获得利 息的强度。 • 用实际贴现率表示实际利率 d d i − = 1
15贴现率 例:若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的 时刻价格为95元,同时,一年期储蓄的利率为5.25 %,如何进行投资选择?存款还是购买债券? 解 95 100 从贴现率的角度看, 0 零息债券的贴现率:d=(100-95)/100=5% 储蓄的贴现率:d=i(1+i)-5.25%/(1+5.25%)4988%<5% 因此投资债券合算 从利息率的角度看, 零息债券的利率:d=5%=1/20→i=d(1d)=1/19=526% 储蓄的利率为5.25%<526% 因此投资债券合算
1.5 贴现率 • 例：若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的 时刻价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25 ％，如何进行投资选择? 存款还是购买债券？ • 解： 95 100 – 从贴现率的角度看， 0 1 • 零息债券的贴现率：d＝(100-95)/100=5% • 储蓄的贴现率：d＝i/(1+i)=5.25％/(1+5.25％)=4.988％<5% • 因此投资债券合算。 – 从利息率的角度看， • 零息债券的利率：d = 5% = 1/ 20 ⇒ i =d/(1-d)=1/19= 5.26% • 储蓄的利率为 5.25％< 5.26％ • 因此投资债券合算
15贴现率 15.2实际贴现率与实际利率的一些重要关系 ●重要关系式: d=iv d=1-V.V=1-d d=iv=i(1-d=i-id, i-d=id 用实际贴现率表示贴现函数和累积函数 a-(t)=v=(1-d)y a(t)=vt=(1-d)
1.5 贴现率 1.5.2 实际贴现率与实际利率的一些重要关系 • 重要关系式： – d=iv – d=1-v, v=1-d – d=iv=i(1-d)=i-id, i-d=id • 用实际贴现率表示贴现函数和累积函数 – a -1 (t) = vt = (1-d)t – a(t) = v–t = (1-d)-t 1 1 1 − = d i
15贴现率 15.3单贴现率 用单贴现率d表示贴现函数 a-(t)=1-dt(0≤t≤1/d 有关结论: 当单利利率等于单贴现率(i=d)时,根据单贴现率计算的 现值小于根据单利利率计算的现值,即1-dt<(1+i)1 当实际贴现率等于实际利率(d=i)时根据复贴现率计算 的现值小于根据复利率计算的现值,即(1-d)<(1+i) 0<t<1时,1dt>(1-d) t>1时,1-dt<(1d); t=0ort=1时,1-dt(1-d)
1.5 贴现率 1.5.3 单贴现率 • 用单贴现率d表示贴现函数 a -1 (t) =1-dt (0≤t≤1/d) • 有关结论： – 当单利利率等于单贴现率 (i=d) 时,根据单贴现率计算的 现值小于根据单利利率计算的现值，即1-dt＜(1+it)-1 。 – 当实际贴现率等于实际利率(d=i)时,根据复贴现率计算 的现值小于根据复利率计算的现值，即(1-d)t＜(1+i)-t 。 – 0＜t＜1时, 1-dt＞(1-d)t； t＞1时, 1-dt＜(1-d)t； t=0 or t=1时, 1-dt=(1-d)t
15贴现率 累积函数和贴现函数的有关结论 累积函数和贴现函数既可以用利率表示,也可 以用贴现率表示。 计算累积值时既可以用利率,也可以用贴现率; 计算现值时既可以用利率,也可以用贴现率。 如果用利率i计算累积值和现值, 累积函数:a(t)=(1+i) 贴现函数:a1(t)=v=(1+i) 如果用贴现率d计算累积值和现值, 累积函数:a(t)=vt=(1-d) 贴现函数:a1(t)=v=(1-d
1.5 贴现率 • 累积函数和贴现函数的有关结论 – 累积函数和贴现函数既可以用利率表示，也可 以用贴现率表示。 • 计算累积值时既可以用利率，也可以用贴现率； • 计算现值时既可以用利率，也可以用贴现率。 • 如果用利率i计算累积值和现值， – 累积函数：a(t)=(1＋i)t – 贴现函数：a -1 (t) = vt = (1＋i)-t • 如果用贴现率d计算累积值和现值， – 累积函数：a(t) = v–t = (1-d)-t – 贴现函数：a -1 (t) = vt = (1-d)t