12单利( simple interest) 121单利的定义 单利的概念:只有本金产生利息,投资期内任何时期已经产 生的利息在后期不再计算利息。 单利条件下的累积函数:a()=1+it,t=0,1,2,2 122单利与实际利率的关系 单利率为常数时,实际利率是时间单调减函1+1-) 123常数单利率下的若千结论 在常数单利率i, 累积函数a(t)=1+it(是时间的线性函数) 金额函数At=A(Oa(t)=A(0(1+t)=A(0)+A(O)t 利息总额(t)=At)-A(0=A(O)t(是时间t的单调增函数) 每期利息额A(O)i(常数) (注):在实际应用中,通常是年利率,时间t应以年为单位
1.2 单利(simple interest) 1.2.1 单利的定义 • 单利的概念：只有本金产生利息，投资期内任何时期已经产 生的利息在后期不再计算利息。 • 单利条件下的累积函数① ： a(t)=1+it，t=0,1,2,…② 1.2.2 单利与实际利率的关系 单利率为常数i时，实际利率i t是时间t的单调减函数。 1.2.3 常数单利率下的若干结论 在常数单利率i下， 累积函数 a(t)=1+it (是时间t的线性函数) 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)=A(0)＋A(0)it 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)it (是时间t的单调增函数) 每期利息额 A(0)i (常数) （注）：在实际应用中，i通常是年利率，时间t应以年为单位。 1+ ( −1) = i t i i t
12单利( simple interest) 单利的实际应用:累积函数中时间t的确定 (1)严格单利规则:“实际/实际”规则,即投资天数按两个 日期之间的实际天数计算,每年按实际天数计算。① 2)精确单利规则:“实际/3653规则,即投资天数按两个日 期之间的实际天数计算,每年按365天计算。 (3)银行家规则( bankers rule):“实际/3607规则,投资天 数按两个日期之间的实际天数计算,而每年按360天计算。② (4)常规单利规则:“30/360规则,在计算投资天数时,每 月按30天计算,每年按360天计算。③ 在此规则下,两个给定日期之间的天数可按下述公式计算: 3602-Y1)+30(M2-M1)+(D2-D1) 其中支取日为Y2年M月D2日,存入日为Y年M月D1日。 (注):在计算两个日期之间的精确天数时,可以应用 EXCEL软件
1.2 单利(simple interest) • 单利的实际应用: 累积函数中时间t 的确定 （1）严格单利规则：“实际/实际”规则，即投资天数按两个 日期之间的实际天数计算，每年按实际天数计算。① （2）精确单利规则：“实际/365”规则，即投资天数按两个日 期之间的实际天数计算，每年按365天计算。 （3）银行家规则( banker’s rule ) ：“实际/360”规则，投资天 数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。② （4）常规单利规则：“30/360”规则，在计算投资天数时，每 月按30天计算，每年按360天计算。③ 在此规则下，两个给定日期之间的天数可按下述公式计算： 360(Y 2 −Y 1 ) + 30(M 2 − M 1 ) + (D 2 − D 1 ) 其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。 （注）：在计算两个日期之间的精确天数时，可以应用EXCEL软件
13复利( compound interest) 13.1复利的定义 复利的概念 复利条件下的累积函数0:a(t)=(1+i),t=0,1,2 131′常数复利率下的若干结论 ●在常数复利率i, 累积函数a(t=(1+i 金额函数At)=A(0)a(t)=A(0)+i) 利息总额I(t)=A(-(0A(O)[(1+-1 132复利与实际利率的关系 ●复利率为常数时,实际利率i等于复利率(1=1)
1.3 复利(compound interest) 1.3.1 复利的定义 • 复利的概念 • 复利条件下的累积函数① ：a(t)=(1+i)t ，t=0,1,2… ② 1.3.1′ 常数复利率下的若干结论 • 在常数复利率i下， 累积函数 a(t)=(1+i)t 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)[(1+i)t -1] 1.3.2 复利与实际利率的关系 • 复利率为常数i时，实际利率i t等于复利率(i t=i)
13复利( compound interest 例:如果本金为2000元,年利率为5%,在单利和复利的计息 方式下,分别计算: (1)9个月后的累积值;(2)2年零3个月后的累积值。 解:单利计息方式下,at)=1+it,A(t)=A(O)(t)=A(O)(1+t) (1)9个月后的累积值为2000×(1+0.05×0.75)=2075(元) (2)2年零3个月后的累积值为2000×(1+0.05×225)=2225(元) 复利计息方式下,a()=(1+i),A(t)=A(0)a(t)=A(0(1+i) (1)9个月后的累积值为2000×(1+0.05075=2074.54(元) (2)2年零3个月后的累积值为2000×(1+0.05)2232.06(元) (注:①无论是单利或复利,在使用其累积函数和金额函数进 行计算时,时间t的单位要与利率对应的时间单位一致。 ②如果时期不足1年,则单利的累积值比较大;如果时期超过1 年,则复利的累积值比较大
1.3 复利(compound interest) • 例：如果本金为2000元，年利率为5%，在单利和复利的计息 方式下，分别计算： （1）9个月后的累积值；（2）2年零3个月后的累积值。 • 解：单利计息方式下，a(t)=1+it ，A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it) （1） 9个月后的累积值为 2000×(1+0.05×0.75)=2075（元） （2） 2年零3个月后的累积值为 2000×(1+0.05×2.25)=2225（元） 复利计息方式下，a(t)=(1+i)t ，A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t （1） 9个月后的累积值为 2000×(1+0.05)0.75=2074.54（元） （2） 2年零3个月后的累积值为 2000×(1+0.05)2.25=2232.06（元） • (注)：①无论是单利或复利，在使用其累积函数和金额函数进 行计算时，时间t的单位要与利率i对应的时间单位一致。 ②如果时期不足1年，则单利的累积值比较大；如果时期超过1 年，则复利的累积值比较大
13复利( compound interest 13.3复利与单利的区别 基本意义的比较:单利下,只有本金产生利息;复利下,本 金和已生利息均能生息。 ●实际利率与时间的关系:在常数利率i下,单利条件下的实 际利率是时间t的单调减函数;复利条件下的实际利率等于 常数复利率,与时间t无关。 累积函数之间的关系: 当t0ot=1时,1+it=(1+i; 当0<t<1时,1+t>(1+i); 当t>1时,1+t<(1+i)y 1+t是t的线性函数,(1+1)是t的凸函数 ●利息增长的特征:在同样长时期内,单利利息增长的绝对金 额为常数;复利利息增长的相对比率为常数
1.3 复利(compound interest) 1.3.3 复利与单利①的区别 • 基本意义的比较：单利下，只有本金产生利息；复利下，本 金和已生利息均能生息。 • 实际利率与时间的关系：在常数利率i下，单利条件下的实 际利率i t是时间t的单调减函数；复利条件下的实际利率i t等于 常数复利率，与时间t无关。 • 累积函数之间的关系： – 当t=0 or t=1时，1+it =(1+i)t ； – 当 0＜t＜1 时， 1+it＞(1+i)t ； – 当 t＞1 时， 1+it＜(1+i)t。 – 1+it是t的线性函数，(1+i)t是t的凸函数。 • 利息增长的特征：在同样长时期内，单利利息增长的绝对金 额为常数；复利利息增长的相对比率为常数