11累积函数与实际利率 关于利息的几个基本概念 本金( principal):初始投资的资本金额。 累积值( accumulated value):过一段时期后收到的总金额。 利息( Interest)累积值与本金之间的差额。 1.1.1累积函数( Accumulation function) 累积函数a()及其性质 累积函数:0时刻的1单位货币到时刻时的累积值,记为a(t)。累积 函数a(t)也称为t期累积因子,因为它是单位本金在期末的累积值 累积函数的性质 a( (2a(t)通常是时间t的递增函数,即利息>0; (3)如果按时间连续结转利息,at)是时间t的连续函数;如果间断结 转利息,a(t)为间断函数(若在每期末结转利息,则是以结转利息 时刻为间断点的阶梯函数)。 (注):一般假设利息是连续产生的
1.1 累积函数与实际利率 • 关于利息的几个基本概念 – 本金（principal）：初始投资的资本金额。 – 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。 – 利息（interest）——累积值与本金之间的差额。 1.1.1 累积函数(Accumulation Function) • 累积函数a(t)及其性质 – 累积函数：0时刻的1单位货币到t时刻时的累积值，记为a(t)。累积 函数a(t)也称为t期累积因子，因为它是单位本金在t期末的累积值。 – 累积函数的性质： 1 a(t) (1)a (0) = 1； 0 1 2 … … t (2)a (t) 通常是时间t的递增函数，即利息≥0； (3)如果按时间连续结转利息，a(t)是时间t的连续函数；如果间断结 转利息，a(t)为间断函数（若在每期末结转利息，则是以结转利息 时刻为间断点的阶梯函数）。 (注)：一般假设利息是连续产生的
11累积函数与实际利率 1.1.1累积函数 金额函数( Amount function) 当原始投资不是1个单位的本金,而是k个单位时,则把 k个单位本金的原始投资在时刻t的累积值记为A(),称为 金额函数(也称为总额函数、总量函数) 金额函数:0时刻的k单位货币到时刻时的累积值,记为 A(t) k A(t) 金额函数的性质: 012 (1)A(0)=k; (2)At)=ka(t),k>0,t≥0; (3)如果按时间连续结转利息,A(t)为关于时间t的连续函数 金额函数和累积函数可以互相表示:A(t)=A(0)a(t)
1.1 累积函数与实际利率 1.1.1 累积函数 • 金额函数（Amount function） – 当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k个单位本金的原始投资在时刻 t 的累积值记为A (t) ,称为 金额函数(也称为总额函数、总量函数)。 – 金额函数：0时刻的k单位货币到t时刻时的累积值，记为 A(t)。 k A(t) – 金额函数的性质： 0 1 2 … … t (1)A(0)=k ； (2)A(t)=k·a(t), k > 0, t ≥ 0； (3)如果按时间连续结转利息，A(t)为关于时间t的连续函数。 – 金额函数和累积函数可以互相表示：A(t)= A(0)a(t)
11累积函数与实际利率 1.1.1累积函数 利息( interest)的数学定义 金额函数A()在时间段[t1,t2]内所获得的利息金额为 I(t t2)=A(t2)-A(t, 从投资之日算起,在t个时期所获得的利息金额记为 (t=A(t-A(0)=A(Ola(t)-1,n2 1 1()=∑[A(s)-A(s-1)=∑ 其中I=A(s)A(s-1)表示金额函数在时间段[s-1,s]上产生的利息。 (注):利息金额()在整个时期内产生,但在最后时刻实 现(支付、获取)
1.1 累积函数与实际利率 1.1.1 累积函数 • 利息（interest）的数学定义 – 金额函数 A(t) 在时间段 [ t1 , t2 ] 内所获得的利息金额为 I (t1 ,t2 ) = A(t2 ) − A(t1 ) – 从投资之日算起，在t个时期所获得的利息金额记为 I(t)=A(t)-A(0)＝A(0)[a(t)-1] ，n ≥ 1 其中Is=A(s)-A(s-1)表示金额函数在时间段[s-1,s]上产生的利息。 (注)：利息金额 I(t) 在整个时期内产生，但在最后时刻实 现（支付、获取）。 = = = − − = t s s t s I t A s A s I 1 1 ( ) [ ( ) ( 1)]
11累积函数与实际利率 1.1.2实际利率( effective rate of interest ●利息率的基本含义 利息率:是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比 率,简称为利率 ●利息率的具体形式 年利率,用本金的%表示 月利率,用本金的‰表示; 日利率,用本金的‰表示。 ●实际利率的概念 某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期初投 瓷的本金金额之比。实际利率常用字母表示 ●实际利率与名义利率的根本区别 用实际利率表示的利息只在给定的度量期期末支付一次;而名义利率计 算的利息在一个度量期内可能进行多次支付
1.1 累积函数与实际利率 1.1.2 实际利率（effective rate of interest） • 利息率的基本含义 利息率：是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比 率，简称为利率。 • 利息率的具体形式 – 年利率，用本金的％表示； – 月利率，用本金的‰表示； – 日利率，用本金的‰0表示。 • 实际利率的概念 某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期初投 资的本金金额之比。实际利率常用字母i表示。 • 实际利率与名义利率的根本区别 用实际利率表示的利息只在给定的度量期期末支付一次；而名义利率计 算的利息在一个度量期内可能进行多次支付
1.1累积函数与实际利率 1.1.2实际利率 ●实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额。 ●累积函数a(t必然通过两点:(0,1)和(1,1+i)①。 ●实际利率的表示形式 单期(单阶段)实际利率计算公式: i=1+i-1=a(1)-a(0) (1)-a(0)A(1)-4(0)(1) 多期(多阶段)实际利率计算公式:第个度量期(时间段(t15)实际 利率 (1)-A(t-1)_a(t)-a(t-1) 相关的关系 A(t-1) a(t A(t)=A(t-1)(1+4),A(t=A(O)(1+1)(1+i2).(1+) a(t)=a(t-1)(1+i),a(t)=(1+i1)(1+2).(1+i °(注):若无特别说明,实际利率是指年利率,因此实际利率通 常用%表示
1.1 累积函数与实际利率 1.1.2 实际利率 • 实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额。 • 累积函数a(t)必然通过两点：(0，1)和(1,1+i) ① 。 • 实际利率的表示形式 – 单期（单阶段）实际利率计算公式： – 多期（多阶段）实际利率计算公式：第t个度量期（时间段(t-1,t)）实际 利率 – 相关的关系式： A(t)=A(t-1)(1+it )，A(t)=A(0)(1+i1 )(1+i2 )…(1+it ) a(t)=a(t-1)(1+it )， a(t)=(1+i1 )(1+i2 )…(1+it ) • (注)：若无特别说明，实际利率是指年利率，因此实际利率通 常用％表示。 (0) (1) (0) (1) (0) (0) (1) (0) 1 1 (1) (0) A I A A A a a a i i a a = − = − = + − = − = ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) − − − − − − − = = = a t a t a t A t A t A t A t I t t i