西北大学：《化工原理》课程教学资源（电子教案）第一章 流体流动

西北大学化工原理电子教案 1.3流体流动中的守恒原理 流体流动规律的一个重要方面是流速、压强等运动参数在流动过程中的变化规律。流体 流动应当服从一般的守恒原理：质量守恒、能量守恒和动量守恒。从这些守恒原理可以得到 有关运动参数的变化规律。 1.3.1质量守恒 流量单位时间内流过管道某一截面的物质量称为流量。流过的量如以体积表示，称为体积 流量，以符号g,表示，常用的单位有ms或m3h。如以质量表示，则称为质量流量，以符号 qm表示，常用的单位有kgs或kg。 体积流量q,与质量流量qm之间存在下列关系： gm=qvp (1-21) 式中p为流体的密度kgm。 注意：流量是一种瞬时的特性，不是某段时间内累计流过的量。当流体作定态流动时，流量 不随时间而变。 平均流速单位时间内流体在流动方向上流经的距离称为流速，以符号u表示，单位为s。 流体在管内流动时，由于粘性的存在，流速沿管截面各点的值彼此不等而形成某种分布。在 工程计算中，为简便起见，通常希望由一个平均速度来代替这一速度的分布。选取物理量的 平均值应当按其目的采用相应的平均方法。在流体流动中通常按流量相等的原则来确定平均 流速。平均速度以符号山表示，即 9=uA=JudA u= (1-22) 式中u一平均流速，ms: 一某点的流速，m/s: A一垂直于流动方向的管截面积，m2。 平均流速与流量的关系遂为 9。=lA (1-23) 0

西北大学化工原理电子教案 1.3 流体流动中的守恒原理 流体流动规律的一个重要 动过程中的变化规律。流体 流动 .3.1 质量守恒 内流过管道某一截面的物质量称为流量。流过的量如以体积表示，称为体积 下列关系： （1-21） 式中ρ为流体的密度kg/m3 。 ，不是某段时间内累计流过的量。当流体作定态流动时，流量 方面是流速、压强等运动参数在流 应当服从一般的守恒原理：质量守恒、能量守恒和动量守恒。从这些守恒原理可以得到 有关运动参数的变化规律。 1 流量 单位时间 流量，以符号qv表示，常用的单位有m 3 /s或m 3 /h。如以质量表示，则称为质量流量，以符号 qm表示，常用的单位有kg/s或kg/h。 体积流量qv与质量流量qm之间存在 qm = qvρ 注意：流量是一种瞬时的特性 不随时间而变。 平均流速 单位时间内流体在流动方向上流经的距离称为流速，以符号 u 表示，单位为 m/s。 流体在管内流动时，由于粘性的存在，流速沿管截面各点的值彼此不等而形成某种分布。在 工程计算中，为简便起见，通常希望由一个平均速度来代替这一速度的分布。选取物理量的 平均值应当按其目的采用相应的平均方法。在流体流动中通常按流量相等的原则来确定平均 流速。平均速度以符号u 表示，即 ∫ == A v udA Auq A udA u ∫A = （1-22） 式中u －平均流速，m/s； － 截面积，m 2 。 u 某点的流速，m/s； A－垂直于流动方向的管 平均流速与流量的关系遂为 Auqv = （1-23） 11

西北大学化工原理电子教案 香 u=-9 A 或 9m=qyp=uAp G=9m=up (1-24) 式中G称为质量流速，亦称为质量通量，其单位为kg(m2s)。 质量守恒方程参见图1-13，取截面1-1至2-2之间的管段作为控制体。根据质量守恒定理， 单位时间内流进和流出控制体的质量之差应等于单位时间控制体内物质的累积量。即 ool (1-25) 式中V为控制体容积。定态流动时，上式右端为零，则 PuA =Pu2A (1-26) 式中A、A2一管段两端的横截面积，m2: 图1-13控制体中的质量守恒 山4、u2一管段两端面的平均流速，m/s: p1、p2-管段两端面处的流体密度，kgm3: 式(1-26)称为流体在管道中作定态流动时的质量守恒方程式。对不可压缩流体，ρ为常数， 1A1=u2A2 或 =4 (1-27) 山A2 上式表明，因受质量守恒原理的约束，不可压缩流体的平均流速其数值只随管截面的变 化而变化，即截面增加，流速减小：截面减小，流速增加。流体在均匀直管内作定态流动时， 平均流速沿程保持定值，并不因内摩擦而减速！ 1.32机械能守恒 对于固体质点的运动，可从牛顿第二定律出发，在无摩擦作用的理想条件下，导出机械 能守恒定律，即位能、动能之和在运动中保持不变。显然只有在无摩擦作用时，才能保持机 械能守恒。因此本节将首先假设流体粘度为零，即考虑理想流体的机械能守恒。随后再对之 作出某些修正以应用于实际流体。 12

西北大学化工原理电子教案 A qv u = 或 qq vm == uAρρ uρ A q G m == （1-24） 式中G称为质量流速，亦称为质量通量，其单位为k 参见图 1-13，取截面 1-1 至 2-2 之间的管段作为控制体。根据质量守恒定理， 单位时间内流进和流出控制体的质量之差应等于单位时间控制体内物质的累积量。即 g/(m2 ⋅s)。 质量守恒方程 ∫ ∂ =− dV t 1 1 ρρ 21 2AuAu 2 ρ （1-25） ∂ 式中 V 为控制体容积。定态流动时，上式右端为零，则 2 2 21 1 1 = ρρ AuAu （1-26） 式中A1、A2－管段两端的横截面积，m 2 ； 图 1-13 控制体中的质量守恒 u1 、u2 －管段两端面的平均流速，m/s； ρ1 2－ 3 式（1-26）称为流体在管道中作定态流动时的质量守恒方程式。对不可压缩流体，ρ为常数， 、ρ 管段两端面处的流体密度，kg/m ； 2 2 1 1 = AuAu 2 1 1 2 A A u u 或 = （1-27） 束，不可压缩流体的平均流速其数值只随管截面的变 化而变化，即截面增加，流速减小；截面减小，流速增加。流体在均匀直管内作定态流动时， 上式表明，因受质量守恒原理的约 平均流速u 沿程保持定值，并不因内摩擦而减速！ 1.3.2 机械能守恒 可从牛顿第二定律出发，在无摩擦作用的理想条件下，导出机械 能守恒定律， 械能守恒。因此本节将首先假设流体粘度为零，即考虑理想流体的机械能守恒。随后再对之 对于固体质点的运动， 即位能、动能之和在运动中保持不变。显然只有在无摩擦作用时，才能保持机 作出某些修正以应用于实际流体。 12

西北大学化工原理电子教案 沿轨线的机械能守恒在运动流体中，任取一立方体流体微元。由于假设粘度为零，微元表 面不受剪应力，微元受力与静止流体相同。但是在静止流体中，微元所受各力必成平衡，而 在运动流体中则各力不平衡而造成加速度dull。由牛顿第二定律可知： 体积力+表面力=质量×加速度 故单位质量流体所受的力在数值上等于加速度。因此，直接在欧拉平衡方程式(1-6)的右 方补上加速度项便可得到 x-1p-d】 pox dt y-Iopduy (1-28) pdy di Z-Iip du, poz dt 此即为理想流体的运动方程。 设流体微元在dl时间内移动的距离为d山，它在坐标轴上的分量为dr、dy、d止。现将式 (1-28)中各式分别乘以dx、d、d止，使各项成为单位质量流体的功和能，得 dus dx x-1平dk=- Pox d Ydy 1卫dy= uydy poy Zt-12k duzd也 poz d 因dr、dy、d止为流体质点的位移，按速度的定义： dx dy 4,-dt dz 4x= (1-29) d 4= dt 代入上式得 Xdx-LOP dx =u.dus=du 1 p ox y-12d=w,,= 1 p z址-2t=uda=2 1 p oz 对于定态流动 (1-30) 8t 3

西北大学化工原理电子教案 沿轨线的机械能守恒 在运动流体中，任取一立方体流体微元。由于假设粘度为零，微元表 故单位质量流体所受的力在数值上等于加速度。因此，直接在欧拉平衡方程式（1-6）的右 面不受剪应力，微元受力与静止流体相同。但是在静止流体中，微元所受各力必成平衡，而 在运动流体中则各力不平衡而造成加速度 du/dt。由牛顿第二定律可知： 体积力 + 表面力 = 质量 × 加速度 方补上加速度项便可得到 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − dt du z p Z dt du y p Y dt du x p X z y x ρ ρ ρ 1 1 1 （1-28） 此即为理想流体的运动方程。 的距离为 dl，它在坐标轴上的分量为 dx、dy、dz。现将式 （1- 设流体微元在 dt 时间内移动 28）中各式分别乘以 dx、dy、dz，使各项成为单位质量流体的功和能，得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ∂ − dx du dx p Xdx 1 x = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ dz dt du dz z p Zdz dy dt du dy y p Ydy dtx z y ρ ρ ρ 1 1 因 dx、dy、dz 为流体质点的位移，按速度的定义： dt dx u = ； x dt dy u = ； dt dz y uz = （1-29） 代入上式得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ == ∂ ∂ − == ∂ ∂ − == ∂ ∂ − 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 zz z yy y xx x duduudz z p Zdz duduudy y p Ydy duduudx x p Xdx ρ ρ ρ 对于定态流动 = 0 ∂ ∂ t p dz z p dy y p dx x p dp ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ； = （1-30） 13

西北大学化工原理电子教案 香 且注意到 dlu++4）=dd2 于是将以上三式相加可得 恤++2=) (1-31) 0 若流体只是在重力场中流动，取：轴垂直向上，则 X=Y=0, Z=8 上式成为 8t+史 -=0 (1-32) 2 对于不可压缩流体，p为常数，式(1-32)的积分形式为 gZ+卫+父=常数 (1-33) P 2 此式称为沿轨线的伯努利方程(Bernoulli)方程。 回顾伯努利方程的推导过程，可知该式仅适用于重力场不可压缩的理想流体作定态流动 的情况。 式(1-33)表示在流动的流体中存在着三种形式的机械能，即位能、压强能、动能。伯 努利方程表明在流体流动中此三种机械能可相互转换，但其和保持不变。 对于不可压缩的流体，位能和压强能均属势能，其和以总势能乎/表示，因此伯努利方 程又可写成 2+心=常数 (1-34) 此式表明不可压缩的理想流体在定态流动过程中，沿其轨线，单位质量流体的总势能和 动能可以相互转换，但是其和保持不变。 沿流线的机械能守恒在作上述推导时，采用的是拉格朗日考察方法，因此伯努利方程仅适 用于同一轨线。但是，流体在作定态流动时，其流线与轨线重合。因此，在采用欧拉法处理 流动问题时，伯努利方程仍可应用，但仅限于作定态流动时同一流线的流体

西北大学化工原理电子教案 且注意到 ( ) 222 2 duuuud zyx =++ 于是将以上三式相加可得 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =−++ 2 1 2 u ddpZdzYdyXdx ρ （1-31） 若流体只是在重力场中流动，取 z 轴垂直向上，则 X = Y = 0， Z = −g 上式成为 0 2 2 udp gdz d =++ ρ （1-32） 对于不可压缩流体，ρ为常数，式（1-32）的积分形式为 =++ 常数 ρ 2 2 up gZ （1-33） 此式称为沿轨线的伯努利方程（Bernoulli）方程。 回顾伯努利方程的推导过程，可知该式仅适用于重力场不可压缩的理想流体作定态流动 的情况。 式（1-33）表示在流动的流体中存在着三种形式的机械能，即位能、压强能、动能。伯 努利方程表明在流体流动中此三种机械能可相互转换，但其和保持不变。 对于不可压缩的流体，位能和压强能均属势能，其和以总势能 P /ρ表示,因此伯努利方 程又可写成 （1-34） 此式表明不可压缩的理想流体在定态流动过程中，沿其轨线，单位质量流体的总势能和 动能可以相互转换，但是其和保持不变。 沿流线的机械能守恒 在作上述推导时，采用的是拉格朗日考察方法，因此伯努利方程仅适 用于同一轨线。但是，流体在作定态流动时，其流线与轨线重合。因此，在采用欧拉法处理 流动问题时，伯努利方程仍可应用，但仅限于作定态流动时同一流线的流体。 P =+ 常数 ρ 2 2 u 14

西北大学化工原理电子教案 理想流体管流的机械能守恒将伯努利方程应用到管流时，应注意到管流中包含了大量的流 线，如图1-14所示。 前己指出，伯努利方程只说明了每一条流线上的 机械能守恒。它对管流是否适用，问题在于管道截面 上各条流线的机械能是否彼此相等。 图1-14管流中的流线 如果所考察的截面处于均匀流段，即各流线都是平行的直线并与截面垂直（如截面1-1 或2-2)，因定态流动条件下该截面上的流体没有加速度，故沿该截面势能分布应服从静力 学原理。由式(1-13)可知，在均匀流段截面上各点的总势能均相等。截面1-1各点的位能 不同，压强能也不同，但各点的列相等。 如果所考察的流体属理想流体，粘度为零，则截面上流速分布均匀，各点上的动能也相 等。因此，对于理想流体，截面上各点的总势能与动能都相同，即经过截面各点的每一条流 线具有相同的机械能。所以，对于理想流体，伯努利方程可以不加修改地推广应用于管流。 此时，式(1-33)可写成 g☑，+A+5=g☑+L+ (1-35) 02 2 实际流体管流的机械能衡算如果所考察的是粘性流体，那么，只要所考察的截面处于均匀 流段，则截面上各点的总势能仍然相等。但是截面上各点的速度却不相等，近壁处速度小而 管中心处速度最大，即各条流线的动能不再相等。因此要将伯努利方程推广应用到粘性流体， 必须采用该截面上的平均动能以代替原伯努利方程中的动能项。此外，粘性流体流动时因内 摩擦而导致机械能损耗，常称阻力损失。外界也可对控制体内流体加入机械能，如用流体 输送机械等。此两项在作机械能衡算时均必须计入。这样，对截面1-1与2-2间作机械能衡 算可得 (1-36) 式中 某截面上单位质量流体动能的平均值： e一截面1至截面2间外界对单位质量流体加入的机械能： 一单位质量流体由截面1流至截面2的机械能损失（即阻力损失）。 单位质量流体的平均动能应按总动能相等的原则用下式求取： 15

西北大学化工原理电子教案 理想流体管流的机械能守恒 将伯努利方程应用到管流时，应注意到管流中包含了大量的流 ，如图 1-14 所示。 否适用，问题在于管道截面 上各 图 1-14 管流中的流线 行的直线并与截面垂直（如截面 1-1 从静力 学原 能与动能都相同，即经过截面各点的每一条流 线具有相同的机械能。所以，对于理想流体，伯努利方程可以不加修改地推广应用于管流。 线 前已指出，伯努利方程只说明了每一条流线上的 机械能守恒。它对管流是 条流线的机械能是否彼此相等。 如果所考察的截面处于均匀流段，即各流线都是平 或 2-2），因定态流动条件下该截面上的流体没有加速度，故沿该截面势能分布应服 理。由式（1-13）可知，在均匀流段截面上各点的总势能均相等。截面 1-1 各点的位能 不同，压强能也不同，但各点的 P/ρ相等。 如果所考察的流体属理想流体，粘度为零，则截面上流速分布均匀，各点上的动能也相 等。因此，对于理想流体，截面上各点的总势 此时，式（1-33）可写成 2 2 2 2 up up 22 2 11 gZ1 gZ ++=++ ρ ρ （1-35） 实际流体管流的机械能衡算 如果所考察的是粘性流体，那么，只要所考察的截面处于均匀 段，则截面上各点的总势能仍然相等。但是截面上各点的速度却不相等，近壁处速度小而 （1-36） 式中 流 管中心处速度最大，即各条流线的动能不再相等。因此要将伯努利方程推广应用到粘性流体， 必须采用该截面上的平均动能以代替原伯努利方程中的动能项。此外，粘性流体流动时因内 摩擦而导致机械能损耗，常称阻力损失。外界也可对控制体内流体加入机械能， 如用流体 输送机械等。此两项在作机械能衡算时均必须计入。这样，对截面 1-1 与 2-2 间作机械能衡 算可得 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 u －某截面上单位质量流体动能的平均值； he－截面 1 至截面 2 间外界对单位质量流体加入的机械能； hf－单位质量流体由截面 1 流至截面 2 的机械能损失（即阻力损失）。 单位质量流体的平均动能应按总动能相等的原则用下式求取： P 1 P 2 he ⎟ + hf ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ +=+⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + 2 2 u ⎞⎛ u ⎞⎛ 2 2 ρ ρ 2 1 15