非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2005.03.020 第27卷第3期 北京科技大学学报 Vol.27 No.3 2005年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2005 非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性 娄依志王小群李咸 北京科技大学机城工程学院，北京100083 摘要通过对非对称渐开线圆柱齿轮传动的啮合特性分析，建立了齿轮动力学模型，并利 用数值积分和数值仿真方法对其进行了非线性振动研究.针对齿轮传动的时变刚度特点，比 较了标准齿轮与非对称齿轮的振动特性，结果表明：在同等工况下，非对称齿轮比标准齿轮 具有更良好的动力学特性， 关键词非线性系统：时变啮合刚度：数值仿真：动载荷 分类号TH132.41 齿轮传动正向高速、重载领域发展，其在传 轴是刚性的，则单级齿轮副传动动力学模型可以 动过程中产生的振动、噪声等动力学行为成为迫 简化为如图1所示的形式. 切需要研究和解决的问题，双压力角非对称齿廓 0 渐开线齿轮作为-一种新兴的齿轮传动方式，具有 承载能力高、体积小、质量轻、使用寿命长、磨损 )er) 均匀、噪声小以及齿面间易形成油膜等优点，已 经得到广大机械工程师的认可. 双压力角非对称齿廓渐开线齿轮的工作齿 图1非对称齿轮的动力学模型 侧和非工作齿侧具有不同的压力角，且工作齿侧 Fig.1 Dynamic model of gears with asymmetric teeth 的压力角大于非工作齿侧的压力角回.因此，与对 11运动方程 称渐开线齿轮相比，非对称渐开线齿轮具有齿顶 I0+cmRi[R0,-R:02-e(t)]+ 圆齿厚较厚、两侧重合度不同等特点. R:km[R:0-R;0,-e(t)]=T (1a) 齿轮系统的振动不但会产生噪声和导致传 B0x+cmR2[Ri0,-R:0-e(t)]+ 动系统的不稳定，而且会使传动系统失效而发生 R3km[R0-R:02-elt)]=-T: (1b) 严重的后果，因此对齿轮装置动态性能的研究倍 式中，1，分别为主动齿轮、被动齿轮的转动惯 受关注.双压力角非对称齿廓渐开线齿轮作为一 量：k为啮合齿轮幅的时变刚度激励；C为齿轮 种新型齿轮，尽管有一些双渐开线齿轮动力学特 性的实验研究报道，但没有进行理论分析.本文 幅的阻尼激励：(t)为啮合齿轮的静态传递误差： T,T为作用在主动齿轮、被动齿轮上的外力矩： 主要从理论上研究了非对称齿轮的动力学特性， 并与同种工况下的对称齿轮的动力学特性进行 R,R:分别为主动齿轮、被动齿轮的节圆半径： 8,为主动齿轮、被动齿轮啮合振动位移：日，0 比较. 为主动齿轮、被动齿轮啮合振动速度：0,2为主 1非对称齿轮动力学模型的建立 动齿轮、被动齿轮啮合振动加速度， 将式(1)中的扭转振动位移转化为沿齿轮啮 对于直齿圆柱齿轮传动，当轴承和传动轴的 合线上的直线形式，在式(1a)中两端同除以R,在 刚度比齿轮啮合刚度大许多时，可以认为轴承和 式(Ib)中两端同除以R则可得： 收稿日期：2004-06-28修回日期：200412-13 R0tc.lR.0-R.0.-d)+ 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50375018) 作者简介：娄依志(1979一)，男，博士研究生： k[Ra-Ra-aol=是 (2a)

第 2 7 卷 第 3 期 2 0 0 5 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n iv e r s iyt o f S e i e n e e a n d eT e h n o l o gy B e ij i n g 、 b l . 2 7 N 0 . 3 J U n . 2 0 0 5 非对称渐开线 圆柱齿轮的动力学特性 委依 志 王 小 群 李 威 北 京科技 大学机械 工 程学 院 , 北京 10 0 0 83 摘 要 通过对 非对称 渐开 线圆柱 齿轮传 动 的啮合特 性分析 , 建立 了齿轮 动力学 模型 , 并利 用数值 积 分和 数值 仿真方 法对其 进行 了非线 性振动研 究 . 针对 齿轮 传动 的时变 刚度特 点 , 比 较 了标 准齿 轮与 非对称 齿轮 的振动特 性 . 结果表 明 : 在 同 等工 况下 , 非对称 齿轮 比 标准 齿轮 具有 更 良好的动 力学特 性 . 关键 词 非线性 系统 ; 时变啮合 刚度 ; 数 值仿 真 ; 动载 荷 分类 号 T H 13 2 . 4 1 齿轮 传动 正 向高速 、 重 载领 域 发展 , 其 在传 动过 程 中产 生的振动 、 噪 声等 动力学 行 为成 为迫 切 需要研 究和 解决 的 问题 . 双压 力角 非对称 齿廓 渐 开 线齿 轮作 为一种 新 兴的齿轮 传动 方式 , 具有 承 载 能力 高 、 体积 小 、 质 量 轻 、 使用 寿 命长 、 磨损 均 匀 、 噪 声小 以及 齿面 间 易形成 油膜 等优 点 , 己 经 得 到广大 机械 工程 师 的认 可「, , . 双压 力 角 非 对称 齿 廓 渐 开 线 齿 轮 的工 作齿 侧和 非工 作齿 侧具有 不 同的压 力角 , 且工 作齿侧 的压 力角 大于 非工 作 齿侧 的压力 角夕, . 因 此 , 与对 称渐 开线 齿轮 相 比 , 非对称 渐 开线齿 轮具 有齿顶 圆齿厚较 厚 、 两侧 重合度 不 同等 特 点 . 齿轮 系 统 的振 动 不 但会 产生 噪 声 和 导致 传 动系 统 的不稳 定 , 而 且会使 传动 系统 失效而 发生 严重 的后 果 , 因 此对 齿轮装 置动 态性 能 的研 究倍 受关 注 , 双 压 力角 非对 称 齿廓渐 开 线齿 轮作 为一 种新 型齿轮 , 尽 管有 一些双 渐 开 线齿轮 动力 学特 性 的实验研 究报道 【3] , 但 没有进行 理论 分析 . 本文 主要 从理论 上研 究 了非对称 齿轮 的动 力学特性 , 并 与 同种 工况 下 的对 称 齿轮 的动 力 学特 性进 行 比较 . 轴 是刚性 的 , 则单级 齿轮 副传动 动 力学模 型可 以 简 化 为如 图 1 所示 的 形式`4] . 图 l 非对称 齿轮 的动力学模 型 F ig . l yD n a m i e m o d e l o f g e a r s 衍t卜a s y m m e t r i e t e t卜 1 非 对称 齿轮 动 力 学模 型 的建 立 对 于直 齿 圆柱 齿轮 传动 , 当轴 承和传 动轴 的 刚度 比 齿轮 啮合 刚度大 许 多时 , 可 以认 为轴承 和 收稿 日期 : 2 00 4 we 0冬 2 8 修 回 日期 : 2 0 0伞12 一 13 墓金项 目 : 国家 自然 科学基金 资助项 目困 。 5 0 3 7 5 0 1 8) 作者简介 : 娄依 志 ( 19 79 一) , 男 , 博士 研 究生 L l 运 动方 程 1 汐 l+ c 汰 1 R[ 1乡 , 一 R Z良一 仑( r )〕+ R I km [R 1 8 1一 R 2 02 一 e ()t ] = lT ( l a ) 12 良+ c汰 2 [天 ,乡 1一 尺2良一 户()t 〕+ R Z km [R 1 0 1一 R 2 02 一 e ( t ) ] = 一 2T ( l b ) 式 中 , I : , 人分 别 为主动 齿轮 、 被 动齿 轮 的转 动惯 量 ; km 为 啮合 齿轮 幅 的时变 刚度 激励 ; 。 m为 齿轮 幅 的阻 尼 激励 ; e( )t 为 啮合齿 轮 的静态 传 递误差 ; 界 , 兀为作 用在 主动 齿轮 、 被 动齿 轮上 的外 力矩 : 凡 , R Z 分别 为 主 动 齿 轮 、 被 动 齿 轮 的 节 圆半 径 ; 已 , 氏为主 动齿 轮 、 被 动齿 轮 啮合 振 动位 移 ; 以 , 良 为 主动齿 轮 、 被动 齿轮 啮 合振 动速 度 ; 凰 , 良为主 动齿 轮 、 被 动齿 轮啮 合振 动加 速度 . 将 式 ( 1) 中的 扭转 振动 位移 转化 为沿 齿轮 啮 合线 上 的直 线形 式 , 在式 ( al ) 中两 端 同除 以R l , 在 式 ( lb ) 中两端 同除 以R Z则可 得 : 去 _ , 。 一 头 一 头 裂 于天 ,已+ c J R O 一 R , 队一 亡〔t ) 1 + R f ` ” 一 , 一 m L三 ` , U , , 。 , 。 。 ~ 。 , 、 , 不 km L(R ! 0 】一 R Z伏一 e ( ` )〕 一 贡 ( Z a ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 03. 020

Vol.27 No.3 娄依志等：非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性 335 是RA+elRa-Ra-t0r 6=年w= hRa-Ra-1=君 2b) 可得： 令啮合线上的位移分别为x,x,即 i+2cu+k(r)fu)=F+F@asin(@ar+o)(8) x1=R8 式中，，分别表示对t的一阶和二阶导数； (3) 2=R8 Faoasin(wa+p)为内部激励me(t)的量纲为1的形 把式(3)代入式(2a)和(2b)中，则可得 式：F,,分别为量纲为1的内部激励幅值和初始 m+c[--()]+km[(xI-x2-e(t)]=F (4) 相位网. mj+cm[--e(t)]+km[x-x2-e(t)]=-F2 f=k)u 式中，m,=R为齿轮i的当量质量，F=TR是齿 (9) 轮i上作用的啮合力，i=1,2. 式中，f为量纲为1的动载荷. 令动态传递误差和静态传递误差之差为q= 2运动方程的求解及实例分析 x-x2一(t),则式(4)可表示为： mg+c g+kng=F-me()） (5) 式(8)即为单自由度齿轮啮合的微分方程，它 式中，m=F=F+. 是量纲为1的形式方程，不依赖于具体的物理量 1.2齿轮的啮合综合刚度及动载荷 纲，只有形式上的特点，在求解分析时可以脱离 在齿轮副的连续运转过程中，随着单齿对啮 具体参数的束缚，因而具有更广泛的意义.该方 合和双齿对啮合的交替进行，轮齿的啮合刚度会 程的求解方法有解析法和数值仿真法，但是解析 随时间周期性变化，且在不同的啮合位置，每一 法非常繁杂，且往往受到所假设的激励和相应形 对啮合轮齿的啮合刚度也不相同.一般时变啮 式的限制（目前的研究均假设取为一次弦波）”. 合刚度k由平均啮合刚度k和变刚度两部分组 本文利用四阶Runge--Kuta数值仿真方法对 成，其中变刚度部分用余弦函数表示，k为变刚 该系统的动力学方程进行数值求解.为了得到比 度幅值，®为齿轮副的啮合圆周频率，a2= 较理想的结果，计算过程中采用了比较小的时间 步长，另外，考虑初始值的影响，需要将开始的数 2。,%2=12)分别指相互喷合齿轮的转速和 百个周期略去，这样才能得到效果理想的相图. 轮齿数，m,为变刚度初相位. 已知一对标准直齿圆柱齿轮传动，模数m=3 km=k+k,cos(w:1+) (6) mm,压力角a=20°，小齿轮齿数z1=23,大齿轮齿 动载荷是考虑一对齿轮的振动特性的主要 数z2=69,齿轮齿宽B=30mm,分析该对齿轮的动 指标之一，在不考虑齿轮的制造及安装误差对齿 力学特性. 轮的动载荷的影响，而只考虑轮齿的弹性变形和 而当采用非对称齿形齿轮，模数和齿数与标 啮合刚度对一对齿轮的影响，则啮合线上的动载 准齿轮相同，工作面压力角a=35°，非工作面压 荷为轮齿刚度k和弹性变形x的乘积： 力角α=20°，其他的工况特性都与标准齿轮相 f=kux (7) 同，分析该对齿轮的动力学特性 式中，为动载荷. 采用标准齿轮时，先把所给的参数进行量纲 13运动方程量纲为1化 为1化处理，得到系统的量纲为1的参数w仙=0.6， 就齿轮振动而言，在国际标准单位制下，刚 p,=0,p,-0,Fm=0.2,Fh=0.3,60.3,-0.01,初始条件 度系数通常在10'-~10'左右，阻尼比在10~10~之 (0)=0.5,0-0.5时得到系统的仿真结果如图2 间，而振动响应有时只有几个到数十个微米，方 所示. 程中各物理量相差数量级很大，所以要对方程进 采用非对称齿轮时，先把所给的参数进行 行量纲为1化处理. 量纲为】化处理，得到系统的量纲为】的参数 分别将式(6)代入式(5)中，并令q=b4,b为特 w=0.54,m,0,p,=0,F=0.18,Fh=0.26e-0.26,= 征尺寸，这里取为长度10m,t=w.通过b.和t 0.087,初始条件(00.5,0)=0.5时得到系统的 可以定义其他的应变量和参变量，√低 仿真结果如图3所示， 子zaR”nak0=点=1 o,) 标准齿轮和非对称齿轮两者对比结果如表1 所示

V匕L2 7 N 0 . 3 类 依志等 : 非 对称渐 开线 圆柱 齿轮 的动 力学特 性 一 3 3 5 L 。 认 . r 。 升 ~ 乳 丽 式2 伪忙 m L式 ,仃 , 一式 ,伪一 “ Ll) J+ , r , 、 。 , 。 , 、 , 一 乙 ` L优两 一凡伪 一 戳)rJ = -灭厂 ( Z b ) 令 啮合 线 上 的位移 分 别 为 xl , 从 , 即 ! x l 一 尺1已 t为 = R Z仇 (3 ) 把 式 (3 )代 入 式 (2 a) 和 (2 b) 中 , 则 可得 fm 禹+ ` 叶 : 一 丸一 试t) 1 + 概【x( 1 一瓜一 e (t) 1 = 名 tm燕十cm 防 : 一 岛一 试t) 」+ 瓜 xL : 一为 一 试t) 」= 一 户飞 式 中 , m `城 R/ l 为 齿 轮 i 的 当量 质 量 , 只 = 不R/ `是齿 轮 i 上 作用 的啮合 力 , i = 1 , 2 . 令 动 态 传 递误 差 和静 态 传 递误 差 之差 为 q = x 一为一 e( )t , 则 式 (4 ) 可表 示为 : m奋句碑+ 瓜叮= F 一 m e (t) ( 5 ) ~ 一 脚 , 脚 , 一 附 一 . 从 一 认 甲 。 m = — 。 尹 = — 厂 t 十 — 厂 , 。 娜一十功 Z m 一 m Z 1 .2 齿轮 的啮合 综 合刚 度及 动 载荷 在 齿轮 副 的连续 运 转过程 中 , 随 着单 齿对 啮 合和双 齿对 啮合 的交 替进 行 , 轮 齿 的啮合 刚度会 随时 间周 期性 变 化 , 且 在不 同 的啮合 位 置 , 每 一 对 啮 合轮 齿 的 啮 合 刚度 也 不相 同 . 一般 时 变啮 合 刚 度概 由平 均 啮 合 刚 度哥和 变 刚 度 两 部 分 组 成 , 其 中变刚 度 部分 用余 弦 函数 表示 , , , .k 为 变 刚 一 一 一 。 . ` ~ 一 ~ , 一 “ 一 一 一 ~ 2似 I nl 度 幅值 , 低 为齿轮 副 的啮 合 圆周频 率 , 一= 气粼 卫 - 2皿2 , n , , . 。 . 、 , 、 ~ . 一 , 。 一 _ . ` * , 卜 ~ ` 二 ~ ~ , , 创兴 卫 , in , z,( i = 1 , 2) 分 别指 相互 啮合 齿 轮 的转速 和 6 0 ” .t, 川 、 ’ ` ’ ~ z / J ,J 切 J 目 ` , 目 一 ’ 一 ” 曰 目 , “ 目 J , 嘴 ~ ` , ” 轮 齿数 , 件 为变 刚度 初相 位 . 瓜 = 形瓜e o s ( 。 。 什尹r) (6 ) 动 载 荷 是 考 虑 一对 齿 轮 的振 动特 性 的主 要 指标 之一 , 在 不考虑 齿轮 的制 造及 安装误 差对 齿 轮 的动 载荷 的影响 , 而只 考虑 轮齿 的弹性 变形 和 啮合 刚度对 一对 齿轮 的影 响 , 则啮合 线上 的动 载 荷 为 轮齿 刚度 概 和弹 性 变形x 的乘 积 : 厂= 气工 (7 ) 式 中 , 不为 动载 荷 . L 3 运动 方 程 t 纲为 1 化 就 齿轮 振动 而 言 , 在 国际标 准 单位 制下 , 刚 度 系数 通 常在 1少一 10 ,左 右 , 阻尼 比在 10 一 -4 10 一 , 之 间 , 而振 动 响应 有 时只有 几个 到 数十 个微 米 , 方 程 中各物 理 量相差 数量 级很 大 , 所 以要对 方程进 行 量纲 为 1 化处 理 . 分别 将式(6 )代入 式 (5 ) 中 , 并令 q = b 。 u , b 。 为特 征 尺寸 , 这里 取 为长 度 10 一 ` m , : = 。 0t `5 , . 通 过 b 。和: 可 以 定 义 其 他 的 应 变 量 和 参 变 量 , 。 。 一 播 , 无 田 , e 二 , 节尸 . 山八 = — . K - 一 田。 可得 : 公+ 2和+k( r班 u ) = 凡+ 凡 疏 s i n (田曲 什p 、 ) ( 8) 式 中 成 , 应分 别 表 示 对 丁 的 一 阶 和 二 阶 导 数 ; 凡 o, 知in (。 曲 什仇)为 内部激励 m试)t 的量 纲为 1的形 式 ;凡 , 尹。 分别 为 量纲 为 1 的 内部激励 幅值 和初 始 相位 , , . f = 权)r u (9 ) 式 中 , f 为 量纲 为 1 的动 载荷 . C Z m o, o 。 一 F 厂 . = 一一三一 ` - 。 尤气r夕= 一 附 D e O) o - 概 m。 若 = l枯 e o s ( . 比 什尹)F , 2 运 动 方程 的求解 及 实例 分 析 式 (8 ) 即为单 自由度 齿轮 啮合 的微 分方程 , 它 是 量纲 为 l 的形 式 方程 , 不 依赖 于 具体 的物 理量 纲 , 只 有 形式 上 的特 点 , 在求 解 分析 时 可 以脱 离 具体 参 数 的束 缚 , 因 而具 有更 广泛 的意义 . 该方 程 的求解 方法 有解析 法和 数值 仿真 法 , 但是解 析 法非 常繁 杂 , 且往往 受 到所假 设 的激励和 相应 形 式 的限制 ( 目前 的研 究均 假设 取 为一 次弦 波 l)n . 本 文利 用 四阶 凡叨g -e K厄“ a 数 值仿 真 方法 对 该系统 的动 力学 方程 进行 数值求 解 . 为 了得到 比 较 理想 的结 果 , 计算 过程 中采用 了比 较小 的时 间 步 长 . 另外 , 考虑 初始 值 的影响 , 需要 将开 始 的数 百个周 期略 去 , 这样 才 能得到 效果 理想 的相 图 . 己知 一对标 准直 齿 圆柱 齿轮 传动 , 模数 m = 3 ~ , 压 力角 a = 2 0 , 小 齿轮 齿 数 z , = 23 , 大齿 轮齿 数及 = 6 9 , 齿 轮齿 宽 B = 30 ~ , 分析 该对 齿轮 的动 力 学特 性 . 而 当采 用 非对 称齿 形齿 轮 , 模 数和 齿数 与标 准齿 轮 相 同 , 工 作面压 力 角 a = 3 50 , 非工 作 面压 力 角 a = 2 0 , 其 他 的工 况 特 性 都 与 标 准 齿 轮 相 同 , 分 析该 对 齿轮 的动 力 学特 性 . 采 用标 准齿 轮 时 , 先把 所给 的参 数进 行量 纲 为 1化 处理 , 得到 系统 的量 纲 为 1 的 参数 . 比 = 0 . 6, 仇二 0 , 件=0 , 凡= .0 2 , 凡= .0 3 , 二.0 3 , 乒0 .0 1 , 初 始条 件 u( 0) = .0 5 , 试0) =0 .5 时得 到 系统 的仿真结 果如 图 2 所 示 . 采用 非 对称 齿 轮 时 , 先 把所 给 的参 数 进 行 量 纲 为 1 化 处理 , 得 到 系 统 的量 纲 为 1 的参 数 . , = .0 54 , p 卜 =() , 尹产0 ,凡=0 . 18 ,凡=0 .2 6 , 笋.0 2 6 , 介 .0 08 7 , 初 始 条 件 u( 0) =0 . 5 , 试0) 司 . 5时 得 到 系 统 的 仿 真结 果 如 图 3 所 示 . 标准 齿轮和 非对 称 齿轮 两者对 比结 果如 表 1 所 示

·336 北京科技大学 学报 2005年第3期 a 1.5 2 1.0 0.5 0 0.5 -1.0 t十十 -1.5 400450500550600650700750800 400 450500 550600650700750800 时间，「 时间，t 1.5 1.5 (d) 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 -1.0 .15 =1.0 2 400450500550600650700750800 位移，4 时间，t 图2标准齿轮的动力学特性仿真结果.(a)位移；(b)速度；(c)相图；()动载荷 Fig.2 Dynamics simulation of a gear with symmetric teeth:(a)displacement;(b)velocity;(c)phasic graph;(d)dynamic load 2.5 1.5 2.0 15 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 -1.0 -1.5 -1.0L 00450500550 600650700750800 400 450500550600650700750800 时间，t 时间，t 1.5 1.2 t(c) d 1.0 0.8 0.5 0 0.5 0.4f 0.6 -1.5-1.0-0.5 00.51.01.52.03.0 400450500550600 650700750800 位移， 时间，r 图3非对称齿轮的动力学特性仿真结果，〔a)位移；b)速度；(c)相图：〔动载荷 Fig.3 Dynamics simulation of a gear with symmetric teeth:(a)displacement;(b)velocity;(c)phasic graph;(d)dynamic load 表】标准齿轮和非对称齿轮振动特性的数值结果 Table 1 Numerical results of gears with symmetric teeth and asymmetric teeth 标准齿轮的动力学特性 非对称齿轮的动力学特性 计算参数 最大值 最小值 幅值 最大值 最小值 幅值 位移 2.6521 -1.7684 4.4205 2.3840 -1.4795 3.8635 速度 1.3896 -1.1802 2.5698 1.1122 -0.9698 2.0820 动载荷 1.3849 -0.9650 2.3199 1.2979 -0.5783 1.8762

3 3 6 北 京 科 技 大 学3 学 报 年 第 期 5 0 0 2 ) a 一} ( . . 。 。 。 一 ` , : 。 1 . , ` ! . 1 一 l ` . ` ! l ; ) 一 l{ ’ )( 一 )}{{ 一 i){ ’ )}{ } } , : U下不 { } } 一 了 ’ 明 }{ ! {{ .日 } {日! J }” } 一 …, . 一 { { ’ 1 下 - 一{一 {一 “ ` }。 {}「 . ’ i } { } { ! { { } ’ . 丁 - ,洲! 叮 }}可不 } {{ { ` . { ’ {甲 ’ { )行}甘 下丁{ { . 而万} { } { { 甲 l …{ { } }{ } } , … ’ 「 } { { ! { } 卜 刃l } 一 . }盯下 ` 卜 ) 〕 …}… } ’ i {「 一洲 } ’ { 洲 旧万} ’ } `川 } : 「 {{ 一{ { } .附 一 、 一{ { { ( . }不「} l ! { { 川「… ; , } } {一} {{ L ’ 卜 { .一 ! { }洲 L; l ~ 、} }!一 1 ` } } {不析}{ 」 } { 帕习「卫砚计 {一 ! : } i ) ) ) } { 「 下下丁汇) {阴 ) ) { ’ ) 一 { ’ ) ` ! 日 l ) l ! 川 ! 川 l 叨 { ’ l 奋 ) 」 l { 1 1 丫 4 0 0 4 5 0 5 00 5 50 6 0 0 6 5 0 70 0 75 0 8 0 0 时 间 , : 4 0 0 45 0 5 0 0 5 5 0 6 0 0 6 5 0 70 0 7 5 0 8 0 0 时间 , : ùU 1é1 n ù j八1 -01 0-1 、 ` 但燕得 〔 鞠七 一 { _ 、 - 、目沐一 一 一. 尸夕尸 气nU工ù ùJUIn ù、 01 -0-lq 卜侧国 一 2 一 1 0 1 2 3 4 0 0 4 5 0 5 0 0 5 5 0 6 0 0 65 0 70 0 7 50 8 0 0 位 移 , u 时间 , : 图 2 标 准齿 轮的动 力学特性 仿真结 果 . ( a) 位 移 ; 伍)速 度 ; ( c) 相 图; ( d) 动载荷 F i g . 2 yD n a m i e s s im u l a it o n o f a g e a r 初t h s y m m e t ir e te t h : ( a ) d i s p l a e e m e n t ; ( b ) v e l o e ity : ( e ) p卜a s i c g r a P h : (d ) d y n a m i e l o a d 奋卜 侧瑕 之` 泌拿 4 0 0 4 5 0 50 0 5 50 6 00 6 5 0 7 0 0 7 5 0 80 0 时 间 , r 4 0 0 4 5 0 50 0 5 5 0 6 0 0 6 5 0 7 0 0 7 50 8 00 时 间 , r f . 娜但尽 -0 奋 卜 赵到 位 移 , u 4 0 0 4 50 5 0 0 5 5 0 6 0 0 6 5 0 70 0 7 5 0 8 0 0 时间 , T 图 3 非对称 齿轮 的动 力学特 性仿真 结果 . (a) 位移 ; ( b) 速度 ; ( c) 相图 ; ( d) 动载荷 F ig . 3 D y n a m i e s s i m u l a it o n o f a g e a r w i t h s y m m e t ir e t e e th : ( a ) d is p l a e e m e n t ; (b ) v e l o c ity ; ( e ) p b a s i e g r a p h ; ( d ) d y n a m i e l o a d 表 1 标准齿 轮和 非 对称齿轮 振动特 性的数 值结 果 aT b l e 1 N u m e 行e a l 代s u l t s o f 邵a rs w it h s y m m e t ir e te e t h a n d a s y m m e t ir e te e t h 计 算参数 标 准齿轮 的动力 学特性 非对 称齿轮 的动力 学特性 最大 值 2 , 6 5 2 1 1 . 3 8 9 6 1 . 3 8 4 9 最小值 一 1 . 7 68 4 一 1 . 1 80 2 一 0 乡6 5 0 幅值 4 4 20 5 2 , 5 69 8 2 3 19 9 最 大值 2 3 8 4 0 1 . 1 12 2 1 . 2 9 7 9 最小值 一 1 . 4 79 5 一 0 . 9 69 8 一 0 .5 78 3 幅值 3 . 8 6 3 5 2 刀8 2 0 1 . 8 76 2

VoL.27 No.3 娄依志等：非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性 ·337· 3结论 用非对称齿轮具有更好的振动特性， (1)在同等工况下，非对称齿轮相对于标准齿 参考文献 轮的轮齿工作面压力角增大，而非工作面压力角 [1]DiFG,MariniS.Structural analysis of asymmetrical teeth:re duction of size and weight.Gear Technol,1997,14(5):47 不变，轮齿变厚，所以啮合线上的刚度变大 [2】吴忠.双压力角非对称齿廓渐开线齿轮的传动设计及承载 (2)利用四阶Runge--Kutta法对单自由度齿轮 能力研究：[学位论文].北京：北京科技大学，2003 系统进行数值仿真，考虑了啮合刚度和间隙非线 3)樊智敏，张光辉.双渐开线齿轮振动特性的试验研究.机 性的影响，得出时间位移图、相图和由啮合刚度 械科学与技术，2002,21(5)：820 [4李润方，王建军.齿轮系统动力学一振动、冲击、噪声 引起的动载荷.仿真结果具有一定的实用价值. 北京：科学出版社，1997 (3)数值分析表明，非对称齿轮相对于标准齿 【5们王立华，李润方，林腾蛟，等.齿轮系统时变刚度和间隙非 轮虽然啮合刚度增大，但由于啮合线上的振动位 线性振动特性研究.中国机械工程，2003,14(13)：1143 移减少，其动载荷也降低， [们王玉新，柳杨，王议明.考患时变刚度和传递误差的齿轮振 动分析.机械传动，2002,26(1)片5 (4)数值分析表明，采用非对称齿形齿轮比采 [刀孙智民.功率分流齿轮传动系统非线性动力学研究：[学 用同等工况下的标准齿轮啮合线上的振动位移、 位论文].西安：西北工业大学，2001 速度、动载荷都降低.由此表明在同等工况下，采 Dynamics analysis of involute gears with asymmetric teeth LOU Yizhi,WANG Xiaogun,LI Wei Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A dynamic model of involute gears with asymmetric teeth was proposed based on the analysis of mesh characteristics when the gears transmitting.The numerical integral and numerical simulation method were used to study nonlinear vibration.Considering the time-variant mesh stiffness when the gears transmitting,the vi- bration characteristics were compared between gears with symmetric teeth and with asymmetric teeth.The results showed that under the same condition the gears with asymmetric teeth had better dynamic characteristics than those with symmetic teeth. KEY WORDS nonlinear system;time-variant meshing stiffness;numerical simulation;dynamic load

V匕L 2 7 N 0 3 类依 志等 : 非对称 渐 开线 圆柱齿 轮 的动 力学特性 . 3 37 . 3 结论 ( )l 在 同等工 况下 , 非对 称 齿轮相 对于标 准 齿 轮 的轮 齿工 作面压 力 角增大 , 而 非工 作面压 力 角 不 变 , 轮 齿变 厚 , 所 以啮合 线上 的刚 度变 大 . (2 ) 利用 四阶 R u n g e - K u t a 法 对单 自由度 齿轮 系统 进行 数值 仿真 , 考 虑 了啮合 刚度和 间 隙非线 性 的影 响 , 得 出 时间位 移 图 、 相 图和 由啮 合 刚度 引起 的动 载荷 . 仿真 结 果具 有 一定 的实 用价 值 . (3 )数 值分析 表 明 , 非对称 齿轮 相对于 标准 齿 轮 虽然 啮合 刚度 增大 , 但 由于 啮合线 上 的振动 位 移 减少 , 其 动 载荷 也 降低 . (4 )数值分析表 明 , 采用 非对 称齿 形齿轮 比采 用 同等 工况 下的标 准齿 轮啮 合线上 的振 动位 移 、 速度 、 动 载荷 都降低 . 由此表 明在 同等工 况下 , 采 用 非对 称齿 轮 具有 更好 的振动特 性 . 参 考 文 献 [ l ] D i F G , M iar n i 5 . S trU c tU r a l an a 】y s i s o f as y m m e t r i c al te het : re - d u e t ion o f s证 an d w e igh L G e a r eT c h n o l , 19 9 7 , 14 ( 5) : 4 7 2[ ] 吴忠 . 双压 力角非对 称齿廓 渐开线齿轮 的传动 设计及承 载 能力研 究:I 学 位论文 ] . 北京 : 北 京科技 大学 , 20 03 3[ ] 樊智敏 , 张光 辉 . 双 渐开 线齿轮 振动特 性的试 验研 究 . 机 械 科学 与技术 , 2 0 0 2 , 2 1( 5 ) : 5 2 0 l4] 李 润方 , 王建 军 . 齿 轮系统 动力 学— 振动 、 冲击 、 噪 声 . 北 京 : 科 学 出版社 , 19 97 5[ 』王 立华 , 李润方 , 林腾 蛟 , 等 . 齿轮 系统 时变刚 度和 间隙非 线性 振动特 性研 究 . 中国机 械工程 , 2 0 0 3 , 一4。 3) : 114 3 环] 王 玉新 , 柳杨 , 王议 明 . 考虑 时变刚度 和传 递误差 的齿轮 振 动分 析 . 机 械传 动 , 2 0 0 2 , 2 6 ( l ) : 5 7[ l 孙智 民 . 功率分 流齿轮 传动 系统非线 性动 力学研 究 : [学 位论 文 ] . 西 安 : 西 北工 业 大学 , 2 001 D yn am i e s a n a ly s i s o f ivn o l ute g e ar s w iht as y m m e tr i e te e ht L O U X七h瓦环月刃G iX d o q un, IL 肠 i M e c h aD i c ia nE咖 e en g S e h o o l , U n i v e sr iyt o f s e i e nc e an d eT e ho o fo gy B e ij in g , B e ij in g l 0 00 8 3 , C h ian A B S T R A C T A d y n a m i e m o de l o f ivn o lute g e ars iw ht as y m m e itr c t e het w a s P r oP o s e d bas e d on ht e an al y s i s o f m e s h e h a r a c t e ir s t i e s hw e n hte g e ars t r a n sm iit gn . hT e n U比n e ir e a l iin e g r a l an d n uj m e ir e a l s油ul iat o n m het o d we re us e d t o stU dy n o n l ine ar v i b r at ion . C on s i d e ir gn ht e it m e 一iar ant m e hs s ti助 e s s w h e n ht e g e ar s tr a n s m iit gn , het v i - b r a t ion e h ar a c t ier s t i e s w e r e e o m P aer d b e 幻刀 e e n g e ar s iw th s y m m e t ir e t e e ht an d iw ht as y m m e itr c et e ht . hT e r e s ult s s h o w e d ht at un de r ht e s am e e on d it ion ht e g e asr iw ht as y m m e itr e t e e ht h ad b et e r d y n am i c e h ar a c t e ir s it e s t han th o s e w ith s y m m e t i e et e ht . K E Y W O R D S n o n li n e ar s y s 加m ; it m e 一 v iar 呱 m e s h i n g s it hf e s s : n 切 rn ier e a l s im ul at i o n ; dy n am i e l o ad