双压力角非对称齿轮传动接触分析

D01:10.13374j.isml00103x.206.2.B7 第28卷第12期 北京科技大学学报 Vol.28 No.12 2006年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2006 双压力角非对称齿轮传动接触分析 肖望强李威韩建友段明南 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要推导出双压力角非对称齿轮在单、双齿啮合上、下界点和节点的综合曲率半径和齿面接 触应力的计算公式，并用解析法对给定参数进行计算.用Autolisp语言开发了非对称与对称齿轮 全齿模型的参数化设计程序，将生成的全齿模型导入ANSYS进行有限元分析.两种方法均得出 非对称齿轮能有效提高轮齿齿面接触强度的结论.揭示了由于时变啮合刚度以及啮合点曲率半径 的影响，齿面接触应力在一个啮合周期的变化规律同时对两种方法的结果进行比较. 关键词非对称齿轮压力角：齿面接触应力：解析法：有限元分析 分类号TH132413 在润滑良好的闭式齿轮传动中，齿面常见的 法对给定参数进行计算；然后用Autolisp语言开 破坏形式是点蚀.为使齿轮能在预定的使用寿命 发了双压力角非对称与对称渐开线齿轮全齿模型 内正常工作，应保证齿面具有一定的抗点蚀能力， 的参数化设计程序，并根据给定参数，生成双压力 也就是要保证接触疲劳强度.影响接触疲劳强度 角非对称与对称齿轮全齿模型；最后将两种模型 的因素很多，其中接触应力是影响齿面接触疲劳 调入ANSYS进行接触应力有限元分析并进行比 强度的主要因素.渐开线齿轮的接触应力与压力 较9. 角有很大关系.当压力角增大时，轮齿的齿根变 厚，齿面曲率半径增大，赫兹接触应力降低，从而 1 解析法计算 可以提高轮齿齿面的接触强度刂. 1.1双压力角非对称渐开线齿轮齿面接触应力 如果在齿轮两侧压力角同时增大，虽然赫兹 的计算公式 接触应力降低但轮齿齿顶变薄，加载时容易断 为了检验用有限元法计算非对称齿轮齿面接 齿.在实际应用中，并不总是需要齿轮系统频繁 触应力的合理性和精确性，用解析法中赫兹计算 的正、反旋转，大多数情况是一个旋转方向居多， 验证是很有必要的. 比如在汽车的发动机中.因而在工作齿面使用一 一对非对称渐开线圆柱齿轮啮合时，其齿轮 个大压力角，在非工作齿面使用一个小压力角既 轮齿工作齿侧齿廓的接触，可看作是以两侧齿廓 可以降低赫兹接触应力，又可以避免轮齿齿顶变 在接触点处的曲率半径为半径的两圆柱体相接 薄引起断齿，是一种非常有效提高轮齿齿面接触 触.因此，以Hez公式为基础建立非对称齿轮齿 强度的方法.对非对称齿轮的研究在国外也已 面接触应力基本值计算公式.只需将Herz公式 经开始.Demg和Nakanishi到在2003年探讨了应 中的最大接触应力替换为齿面接触应力基本值 用非对称齿轮能提高齿根弯曲应力：Kapelevich9 o甲并将P代以非对称齿轮工作齿面接触点处 和Litvin1在2000年提出了非对称齿轮的设计 的综合曲率半径，将其改变为用于计算双压力角 方法并对非对称齿轮降低噪音和振动作了分析. 非对称渐开线圆柱齿轮齿面接触应力的计算公 本文首先推导出双压力角非对称齿轮在单齿 式，即： 啮合上、下界点，双齿啮入、啮出点和节点的综合 Fn 曲率半径和齿面接触应力的计算公式，并用解析 0H= (I) 收稿日期：2005-12-22修回日期：200608-29 E E2 基金项目：教有部“新世纪优秀人才支持计划资助项目(No 式中，Fm为非对称渐开线齿轮工作齿侧基圆圆周 NCET-05-290) 上的计算法向力，N;L为接触线总承载齿宽， 作者简介：肖望强(1981一).男.博士研究生：李威(1967一)， 男.教授博士 mm:1,2,E1,E2分别为齿轮1和2的泊松比和

双压力角非对称齿轮传动接触分析 肖望强 李 威 韩建友 段明南 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 推导出双压力角非对称齿轮在单、双齿啮合上、下界点和节点的综合曲率半径和齿面接 触应力的计算公式 , 并用解析法对给定参数进行计算.用 Autolisp 语言开发了非对称与对称齿轮 全齿模型的参数化设计程序, 将生成的全齿模型导入 ANSYS 进行有限元分析 .两种方法均得出 非对称齿轮能有效提高轮齿齿面接触强度的结论.揭示了由于时变啮合刚度以及啮合点曲率半径 的影响, 齿面接触应力在一个啮合周期的变化规律, 同时对两种方法的结果进行比较. 关键词 非对称齿轮;压力角;齿面接触应力;解析法;有限元分析 分类号 TH 132.413 收稿日期:2005 12 22 修回日期:2006 08 29 基金项目:教育部“新世纪优秀人才支持计划” 资助项目(No . NCE T-05-290) 作者简介:肖望强(1981—), 男, 博士研究生;李 威(1967—), 男, 教授, 博士 在润滑良好的闭式齿轮传动中, 齿面常见的 破坏形式是点蚀 .为使齿轮能在预定的使用寿命 内正常工作,应保证齿面具有一定的抗点蚀能力, 也就是要保证接触疲劳强度.影响接触疲劳强度 的因素很多 ,其中接触应力是影响齿面接触疲劳 强度的主要因素 .渐开线齿轮的接触应力与压力 角有很大关系.当压力角增大时, 轮齿的齿根变 厚,齿面曲率半径增大, 赫兹接触应力降低 ,从而 可以提高轮齿齿面的接触强度[ 1] . 如果在齿轮两侧压力角同时增大 ,虽然赫兹 接触应力降低, 但轮齿齿顶变薄 , 加载时容易断 齿.在实际应用中 , 并不总是需要齿轮系统频繁 的正 、反旋转, 大多数情况是一个旋转方向居多, 比如在汽车的发动机中.因而在工作齿面使用一 个大压力角 ,在非工作齿面使用一个小压力角既 可以降低赫兹接触应力 ,又可以避免轮齿齿顶变 薄引起断齿 ,是一种非常有效提高轮齿齿面接触 强度的方法[ 2] .对非对称齿轮的研究在国外也已 经开始.Deng 和 Nakanishi [ 3] 在 2003 年探讨了应 用非对称齿轮能提高齿根弯曲应力;Kapelevich [ 4] 和 Litvin [ 5] 在 2000 年提出了非对称齿轮的设计 方法并对非对称齿轮降低噪音和振动作了分析. 本文首先推导出双压力角非对称齿轮在单齿 啮合上、下界点 , 双齿啮入、啮出点和节点的综合 曲率半径和齿面接触应力的计算公式 , 并用解析 法对给定参数进行计算;然后用 Autolisp 语言开 发了双压力角非对称与对称渐开线齿轮全齿模型 的参数化设计程序, 并根据给定参数,生成双压力 角非对称与对称齿轮全齿模型;最后将两种模型 调入 ANSYS 进行接触应力有限元分析并进行比 较 [ 6] . 1 解析法计算 1.1 双压力角非对称渐开线齿轮齿面接触应力 的计算公式 为了检验用有限元法计算非对称齿轮齿面接 触应力的合理性和精确性 ,用解析法中赫兹计算 验证是很有必要的. 一对非对称渐开线圆柱齿轮啮合时, 其齿轮 轮齿工作齿侧齿廓的接触 ,可看作是以两侧齿廓 在接触点处的曲率半径为半径的两圆柱体相接 触.因此 ,以 Herz 公式为基础建立非对称齿轮齿 面接触应力基本值计算公式.只需将 Herz 公式 中的最大接触应力替换为齿面接触应力基本值 σH ,并将 ρred代以非对称齿轮工作齿面接触点处 的综合曲率半径, 将其改变为用于计算双压力角 非对称渐开线圆柱齿轮齿面接触应力的计算公 式[ 7-8] , 即: σH = Fn πLρred 1 1 -ν2 1 E1 + 1 -ν2 2 E2 (1) 式中 ,F n 为非对称渐开线齿轮工作齿侧基圆圆周 上的计算法向力, N ;L 为接触线总承载齿宽, mm ;ν1 , ν2 , E1 , E2 分别为齿轮 1 和 2 的泊松比和 第 28 卷 第 12 期 2006 年 12 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.28 No.12 Dec.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.12.037

。1168 北京科技大学学报 2006年第12期 弹性模量；P为工作齿侧齿面的综合曲率半径， 式中，P1,2为齿轮1和2啮合点处的曲率半径， mm. mm. Fn=KAKvKKB2000T1/(dicosaa)(2) 12双压力角非对称齿轮工作齿侧在双齿啮入 式中，KA为使用系数，Kv为动载系数，K。为齿 点处的综合曲率半径和接触应力 尖载荷分配系数，KB为齿向载荷分布系数；T1为 双压力角非对称与对称齿轮在啮合线上特殊 转矩，N·m;di为小齿轮分度圆直径，mm;ad为 点的位置分布如图1所示.非对称齿轮轮齿在啮 非对称齿轮工作齿侧分度圆压力角. 合区不同位置接触应力计算方法相似，只是啮合 +品 点处的综合曲率半径和接触线总长度不同. (3) 单齿骑合区 单齿啮合区 双齿啮合区 双齿喵合区 ()非对称齿轮 ()对称齿轮 图1啮合线上特殊点的位置分布图 Fig.I Distribution of special points in mesh line 由图1中的几何关系可得齿轮1和2工作齿 度e的影响时，由于同时有几对轮齿参与啮合， 侧齿面在双齿啮入点A处的曲率半径： 所以非对称渐开线圆柱齿轮的接触线总承载齿宽 NdA=NIE-AE= L(各对轮齿上承载齿宽的总和)大于非对称渐开 mz icosadtan aald/2-Ed m cos ad (4) 线圆柱齿轮的宽度b,它们之间的关系可表示为： P42=N2dA=mz 2cosadtanaa2d/2 (5) L=∑b=b/Z 其中，z1,z2,m,4分别为非对称渐开线主动齿 Z。为重合度系数，它的值为： 轮1和从动齿轮2的齿数、模数和工作齿侧分度 Z。=J(4-e)/3 (10) 圆压力角：aad,au2a分别为非对称齿轮1和2的 工作齿侧齿顶圆压力角：ed为非对称齿轮工作齿 将Pd,L代入式(1)中，可得非对称齿轮工作齿 侧重合度 侧双齿啮入点A处接触应力H4· aalH=arccos[z1cos/(z1十2hi+2x1】(6) 13双压力角非对称齿轮工作齿侧在单齿啮合 上界点B处的综合曲率半径和接触应力 aa2=arccos[z2 cos ad/(z2十2hd十2x2】(7) 由图1中的几何关系可得齿轮1和2工作齿 其中，hd为非对称齿轮工作齿侧齿顶高系数，x1 侧在单齿啮合上界点B处的曲率半径： 和x2分别为非对称渐开线主动齿轮1和从动齿 81=N1dB=NiE-BE= 轮2的变位系数.代入式(3)得A点综合曲率半 径为： mzicosaatanaa/2-m cosad (11) Pned4=(zitanaald/2-)mz2cos"aatanad/ B2=N2B=N24A-AB= sin ad(z1+z2)] (8) mz2cosaatan aa2d/2-(-1)nt ncosad (12) ea=[z1(tan cald-tan a)++ 代入式(3)得B点综合曲率半径为： z2(tan aa2-tana)/(2t) (9) PreB=(z1 tan dald/2-T)儿mz2 cosaatana.2d一 其中，α为节圆压力角，即啮合角 2πm(ed-1)cosad/[tana(z1+z2】(13) 当考虑非对称渐开线圆柱齿轮工作齿侧重合 由于B点是单、双齿交替啮合的临界点，当

弹性模量;ρred为工作齿侧齿面的综合曲率半径, mm . Fn =KA K V K αKβ2 000 T 1/(d 1cosαd) (2) 式中, K A 为使用系数 , K V 为动载系数 , K α为齿 尖载荷分配系数 , Kβ 为齿向载荷分布系数;T1 为 转矩,N·m ;d1 为小齿轮分度圆直径, mm ;αd 为 非对称齿轮工作齿侧分度圆压力角 . 1 ρred = 1 ρ1 + 1 ρ2 (3) 式中, ρ1 , ρ2 为齿轮 1 和 2 啮合点处的曲率半径, mm . 1.2 双压力角非对称齿轮工作齿侧在双齿啮入 点处的综合曲率半径和接触应力 双压力角非对称与对称齿轮在啮合线上特殊 点的位置分布如图 1 所示 .非对称齿轮轮齿在啮 合区不同位置接触应力计算方法相似 , 只是啮合 点处的综合曲率半径和接触线总长度不同. 图 1 啮合线上特殊点的位置分布图 Fig.1 Distribution of special points in mesh line 由图 1 中的几何关系可得齿轮 1 和 2 工作齿 侧齿面在双齿啮入点 A 处的曲率半径: ρA1 =N1dA =N1dE -AE = mz 1cosαdtan αa1d/2 -εdπmcos αd (4) ρA2 =N2dA =mz 2cosαdtanαa2d/2 (5) 其中, z 1 , z 2 , m , αd 分别为非对称渐开线主动齿 轮 1 和从动齿轮 2 的齿数 、模数和工作齿侧分度 圆压力角;αa1d , αa2d分别为非对称齿轮 1 和 2 的 工作齿侧齿顶圆压力角 ;εd 为非对称齿轮工作齿 侧重合度 . αa1d =arccos[ z 1cosαd/(z 1 +2h ＊ ad +2 x 1)] (6) αa2d =arccos[ z 2cosαd/(z 2 +2h ＊ ad +2 x 2)] (7) 其中 , h ＊ ad为非对称齿轮工作齿侧齿顶高系数, x 1 和 x 2 分别为非对称渐开线主动齿轮 1 和从动齿 轮2 的变位系数 .代入式(3)得 A 点综合曲率半 径为 : ρredA =(z 1tanαa1d/2 -πεd)mz 2cos 2αdtanαa2d/ [ sin αd(z 1 +z 2)] (8) εd =[ z 1(tan αa1d-tan α′)+ z 2(tan αa2d -tanα′)] /(2π) (9) 其中 , α′为节圆压力角 ,即啮合角 . 当考虑非对称渐开线圆柱齿轮工作齿侧重合 度 εd 的影响时 , 由于同时有几对轮齿参与啮合, 所以非对称渐开线圆柱齿轮的接触线总承载齿宽 L(各对轮齿上承载齿宽的总和)大于非对称渐开 线圆柱齿轮的宽度 b ,它们之间的关系可表示为: L = ∑ b =b/Z 2 e , Ze 为重合度系数,它的值为: Ze = (4 -εd)/3 (10) 将 ρredA , L 代入式(1)中 ,可得非对称齿轮工作齿 侧双齿啮入点 A 处接触应力σHA . 1.3 双压力角非对称齿轮工作齿侧在单齿啮合 上界点 B 处的综合曲率半径和接触应力 由图 1 中的几何关系可得齿轮 1 和 2 工作齿 侧在单齿啮合上界点 B 处的曲率半径: ρB1 =N1dB =N 1dE -BE = mz 1cosαdtanαald/2 -πmcosαd (11) ρB2 =N2dB =N2dA -AB = mz 2cosαdtan αa2d/2 -(εd -1)πncosαd (12) 代入式(3)得 B 点综合曲率半径为 : ρredB =(z 1tan αa1d/2 -π)[ mz 2cosαdtanαa2d - 2 πm(εd -1)cosαd] /[ tan αd(z 1 +z 2)] (13) 由于 B 点是单、双齿交替啮合的临界点, 当 · 1168 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 12 期

Vol.28 No.12 肖望强等：双压力角非对称齿轮传动接触分析 1169。 齿轮系统处于双齿啮合状态时，L=b/Z:当齿 由于D点是单、双齿交替啮合的临界点，当 轮系统处于单齿啮合状态时，L=1.将PdB,L 齿轮系统处于单齿啮合状态时，L=1;当齿轮系 代入式(1)中，可得非对称齿轮工作齿侧单齿啮合 统处于双齿啮合状态时，L=b/Z.将PD,L 上界点B处接触应力oHB. 代入式(1)中，可得非对称齿轮工作齿侧单齿啮合 1.4双压力角非对称齿轮工作齿侧在节点处的 下界点D处接触应力oHD· 综合曲率半径和接触应力 16双压力角非对称齿轮工作齿侧在双齿啮出 由图1中几何关系可得齿轮1和2工作齿侧 点处的综合曲率半径和接触应力 在节点C处的曲率半径： 由图1中的几何关系可得齿轮1和2在工作 PcI=NiaC=1/2mzisinaa (14) 齿侧双齿啮出点E处的曲率半径： Pc2=N2aC=1/2mz2sinad (15) PE1=NidE=mz 1cos aatan cala/2 (20) 进而可以推导出非对称齿轮工作齿侧在节点C PE2=N2dE=N24A-AE= 处的的综合曲率半径： mz2cos aatanaa2d/2-(ed-1)nm cosad (21) Pnedc=mz1z2sin ad/[2(z1+z2)] (16) 代入式(3)得E点综合曲率半径为： 节点C处于单齿啮合区，L=1.将Pdc,L代入 Predg=mz itanaadcos ad' 式(1)中，可得非对称齿轮工作齿侧齿面节点C (z2 tana2a/2-eaπ)/八sin aa(z1+z2)](22) 处接触应力oHc: E点是双齿啮出点，L=b/Z。.将PdB,L代入 15双压力角非对称齿轮工作齿侧在单齿啮合 式(1)中，可得非对称齿轮工作齿侧双齿啮出点 下界点处的综合曲率半径和接触应力 E处接触应力oHE· 由图1中的几何关系可得齿轮1和2在工作 17解析法计算实例及结果分析 齿侧单齿啮合下界点D处的曲率半径： 对称齿轮与双压力角非对称解析法类似.选 PDI=N1dD=NdE-DE= 取以下参数的渐开线圆柱齿轮作为研究对象：齿 mzicos aatanaald/2-(ed-1)tm cosad (17) 轮的材料为20 CrMnTi,表面渗碳淬火处理，表面 PD2=N2D=N2A-AD= 硬度HRC57~63,弹性模量E=206GPa,泊松比 mz2cos adtana a2/2-t m cos ad (18) v=0.3;齿轮系统传动功率P=45kW,转速n1= 代入式(3)得D点综合曲率半径为： 1000r“min,非对称齿轮系统与对称齿轮系统 PredD =[zItan aald/2-(ed-1)t] 主、从动轮齿宽分别为80mm和75mm.对于双 (mz2cos adtanaa2-2t m cos ad)/ 压力角非对称渐开线齿轮与标准对称齿轮，模数 均取m=3mm,主动轮与从动轮齿数均为24和 [tanad(z1+z2月 (19) 40,其他参数取值如表1所示. 表】双压力角非对称齿轮与对称齿轮齿形参数 Table 1 Geometric parameters of usymmetric and symmetric involute gears 压力角.（心） 非对称 齿顶高系数，h: 径向间隙系数，c· 齿轮类型 工作齿侧 非工作齿侧 系数，k 工作齿侧 非工作齿侧 工作齿侧 非工作齿侧 非对称齿轮 吃 20 1.085 1.0 095 025 03 对称齿轮 20 20 1 1.0 1.0 025 025 注：k=cosa/cosa d. 在齿轮一个完整的啮合周期上，将非对称系 近也是容易出现点蚀的地方，所以最大接触应力 数为1.085的非对称齿轮与对称齿轮齿面接触应 出现在B点是合理的习 力经过量纲为1化处理，所得曲线如图2所示. 由图2可以看出齿面接触应力分布的大致规 由图可见，在单对齿啮合区，小齿轮1的齿根与大 律：当齿轮从双齿啮入点A进入单齿啮合上界点 齿轮2的齿顶在单齿啮合上界点B接触时，该处 B时齿面接触应力呈下降趋势，而且对称齿轮下 接触应力为最大.这不仅因为B点是单对齿受 降的幅度远高于非对称齿轮；当齿轮进入单齿啮 力，而且该点的综合曲率半径P是单对齿啮合 合上界点B时，齿面接触应力最大应力发生突 区内的最小值.此外，齿轮齿根部分靠近节线附 变，达到整个啮合周期的最大值；当齿轮从单齿啮

齿轮系统处于双齿啮合状态时, L =b/ Z 2 e ;当齿 轮系统处于单齿啮合状态时 , L =1 .将 ρredB , L 代入式(1)中,可得非对称齿轮工作齿侧单齿啮合 上界点 B 处接触应力σHB . 1.4 双压力角非对称齿轮工作齿侧在节点处的 综合曲率半径和接触应力 由图 1 中几何关系可得齿轮 1 和 2 工作齿侧 在节点 C 处的曲率半径 : ρC1 =N1dC =1/2mz 1sinαd (14) ρC2 =N2dC =1/2mz 2sinαd (15) 进而可以推导出非对称齿轮工作齿侧在节点 C 处的的综合曲率半径 : ρredC =mz 1 z 2sin αd/[ 2(z 1 +z 2)] (16) 节点 C 处于单齿啮合区, L =1 .将 ρredC , L 代入 式(1)中 , 可得非对称齿轮工作齿侧齿面节点 C 处接触应力σHC . 1.5 双压力角非对称齿轮工作齿侧在单齿啮合 下界点处的综合曲率半径和接触应力 由图 1 中的几何关系可得齿轮 1 和 2 在工作 齿侧单齿啮合下界点 D 处的曲率半径: ρD1 =N1dD =N1dE -DE = mz 1cos αdtanαa1d/2 -(εd -1)πm cosαd (17) ρD2 =N 2d D =N2dA -AD = mz 2cos αdtanαa2d/2 -πmcosαd (18) 代入式(3)得 D 点综合曲率半径为: ρredD =[ z 1tan αa1d/2 -(εd -1)π] · (mz 2cos αdtanαa2d -2πmcos αd)/ [ tanαd(z 1 +z 2)] (19) 由于 D 点是单 、双齿交替啮合的临界点, 当 齿轮系统处于单齿啮合状态时, L =1 ;当齿轮系 统处于双齿啮合状态时, L =b/ Z 2 e .将 ρredD , L 代入式(1)中, 可得非对称齿轮工作齿侧单齿啮合 下界点 D 处接触应力 σHD . 1.6 双压力角非对称齿轮工作齿侧在双齿啮出 点处的综合曲率半径和接触应力 由图 1 中的几何关系可得齿轮 1 和 2 在工作 齿侧双齿啮出点 E 处的曲率半径 : ρE1 =N1dE =mz 1cosαdtan αa1d/2 (20) ρE2 =N2dE =N2dA -AE = mz 2cos αdtanαa2d/2 -(εd -1)πm cosαd (21) 代入式(3)得 E 点综合曲率半径为 : ρredE =mz 1tanαa1dcos 2αd· (z 2tanαa2d/2 -εdπ)/[ sin αd(z 1 +z 2)] (22) E 点是双齿啮出点, L =b/ Z 2 e .将 ρredE , L 代入 式(1)中 , 可得非对称齿轮工作齿侧双齿啮出点 E 处接触应力σHE . 1.7 解析法计算实例及结果分析 对称齿轮与双压力角非对称解析法类似.选 取以下参数的渐开线圆柱齿轮作为研究对象:齿 轮的材料为 20CrMnTi , 表面渗碳淬火处理 ,表面 硬度 HRC 57 ～ 63 , 弹性模量 E =206 GPa ,泊松比 ν=0.3 ;齿轮系统传动功率 P =45 kW ,转速 n1 = 1000 r·min -1 , 非对称齿轮系统与对称齿轮系统 主、从动轮齿宽分别为 80 mm 和 75 mm .对于双 压力角非对称渐开线齿轮与标准对称齿轮 ,模数 均取 m =3 mm ,主动轮与从动轮齿数均为 24 和 40 ,其他参数取值如表 1 所示 . 表 1 双压力角非对称齿轮与对称齿轮齿形参数 Table 1 Geometric parameters of unsymmetric and symmetric involute gears 齿轮类型 压力角, α/(°) 工作齿侧 非工作齿侧 非对称 系数, k 齿顶高系数, h ＊ a 径向间隙系数, c ＊ 工作齿侧 非工作齿侧 工作齿侧 非工作齿侧 非对称齿轮 30 20 1.085 1.0 0.95 0.25 0.3 对称齿轮 20 20 1 1.0 1.0 0.25 0.25 注:k =cosαc/ cosαd . 在齿轮一个完整的啮合周期上, 将非对称系 数为 1.085 的非对称齿轮与对称齿轮齿面接触应 力经过量纲为 1 化处理, 所得曲线如图 2 所示. 由图可见 ,在单对齿啮合区,小齿轮 1 的齿根与大 齿轮 2 的齿顶在单齿啮合上界点 B 接触时 ,该处 接触应力为最大.这不仅因为 B 点是单对齿受 力,而且该点的综合曲率半径 ρred是单对齿啮合 区内的最小值.此外 , 齿轮齿根部分靠近节线附 近也是容易出现点蚀的地方, 所以最大接触应力 出现在 B 点是合理的[ 9] . 由图 2 可以看出齿面接触应力分布的大致规 律:当齿轮从双齿啮入点 A 进入单齿啮合上界点 B 时齿面接触应力呈下降趋势 ,而且对称齿轮下 降的幅度远高于非对称齿轮;当齿轮进入单齿啮 合上界点 B 时 , 齿面接触应力最大应力发生突 变,达到整个啮合周期的最大值;当齿轮从单齿啮 Vol.28 No.12 肖望强等:双压力角非对称齿轮传动接触分析 · 1169 ·

。1170。 北京科技大学学报 2006年第12期 900 齿面接触应力、齿向载荷分布、齿间载荷分布等用 对称 800 非对称 实测难以解决的问题.新的通用接触单元（包括 点一面和面一面单元)计算精度更高，功能更强大， 700 能非常有效地求解接触非线性问题，在工程上数 600 值解很有实用价值. A 500 本文将应用弹性接触有限元法对标准齿轮和 4000 0.20.40.6 0.8 1.0 非对称渐开线圆柱齿轮啮合时的位移场和应力场 量纲为1的啮合线位移 进行分析，并着重分析在一个啮合周期内，标准齿 图2解析法求得的非对称与对称齿轮齿面接触应力在一个 轮和非对称渐开线圆柱齿轮不同啮合位置的接触 啮合周期中的变化曲线 应力分布情况，从而更清楚揭示了由于时变啮合 Fig.2 Transformation curves of tooth face contact stress of un- 刚度的影响齿面接触应力在一个啮合周期的变化 symmetric and symmetric gears in one engagement period by 规律. analytic method 21几何模型的建立 合上界点B经过节点C再经过单齿啮合下界点 Autolisp是一种内嵌于Autocad中的表处理 D时，齿面接触应力仍呈下降趋势，非对称齿轮与 程序设计语言，属于解释型高级语言，程序控制结 对称齿轮下降幅度相近，均下降了约50MP当 构灵活，非常适于二次开发.本文在Visual Lisp 齿轮从单齿啮合下界点D进入双齿啮出点E时， 环境下，用Autolisp语言开发了双压力角渐开线 非对称齿轮齿面接触应力略有下降而对称齿根 齿轮全齿模型的参数化设计程序，该程序可适用 齿面接触应力则基本不变.双压力角非对称齿轮 于任何模数、齿数、工作齿侧和非工作齿侧压力 的单齿啮合区间比对称齿轮要大.这是因为双压 角、齿顶高系数、径向间隙系数、变位系数的非对 力角非对称齿轮的分度圆压力角变大，非对称齿 称与对称齿轮的建模.根据给定参数，运行Au- 轮传动系统重合度降低，所以单齿啮合区BD变 tolisp程序，生成双压力角非对称齿轮全齿模型. 大，双齿啮合区AB和DE变小.从A点到E点， 将该模型调入Mechanical Desktop软件中，输出 对称齿轮齿面接触应力分别为非对称齿轮的 成IGS文件：然后在有限元分析软件ANSYS中 1.45,1.16,116,1.16,117,1.17,118倍.当 调入该IGS文件，便完成了在ANSYS前处理中 工作齿侧压力角由20°上升到30时，非对称齿轮 的建模.图3所示是在节点啮合时的非对称与对 齿面接触应力在一个啮合周期中的最大值比对称 称齿轮的几何模型 齿轮降低了13.6%，平均应力约降低了16.7%. 2.2有限元模型的网格化 2有限元分析 由于接触分析运算量大，而直齿轮在齿宽方 向的应力可以近似认为不变，所以本文将三维模 接触问题的数值解又称为非经典接触力学， 型简化为二维片体进行网格划分.在有限元计算 随着计算机的发展而越来越广泛地应用.由于接 模型中，使用一次单元时摩擦力使得计算效率明 触问题是一种高度状态非线性行为，需要较大的 显减低需要更密的网格和更多的迭代次数，摩 计算资源。接触问题求解之前，并不知道在接触 擦系数越大效率和精度越低.而使用二次八节点 区域表面之间是接触的还是分开的，其接触状态 24个自由度等参单元和面一面接触单元，能有效 是未知的、突然变化的，状态变化随载荷、材料、边 计算有摩擦接触问题.对齿轮接触分析来说为 界条件和其他因素而定.摩擦使问题的收敛性变 了更精确、合理地模拟齿轮啮合时的接触情况，将 得困难1q 模型划分为接触区域，相邻接触区域和非接触区 计算接触非线性问题有许多方法，其中应用 域三个部分.接触轮齿的相邻轮齿网格采用一次 较广泛的是接触约束算法，主要分为罚函数法和 一级细化接触区域网格采用两次二级细化.最 拉格朗日乘子法等，本文采用罚函数法来进行分 后在细化后的接触区域生成一个面-面类型的接 析.接触问题的有限元法在分析齿轮啮合特性方 触对. 面有独特的优点，它把啮合齿轮作为一个系统来 非对称模型共有单元11225个，节点11961 分析，避免了一般有限元分析中人为假定接触边 个，其中接触单元184个；对称模型共有单元 界和几何条件所造成的模型误差可以定量分析 11221个，节点12014个，其中接触单元199个

图2 解析法求得的非对称与对称齿轮齿面接触应力在一个 啮合周期中的变化曲线 Fig.2 Transformation curves of tooth face contact stress of un￾symmetric and symmetric gears in one engagement period by analytic method 合上界点 B 经过节点C 再经过单齿啮合下界点 D 时 ,齿面接触应力仍呈下降趋势 ,非对称齿轮与 对称齿轮下降幅度相近, 均下降了约 50 M Pa;当 齿轮从单齿啮合下界点 D 进入双齿啮出点E 时 , 非对称齿轮齿面接触应力略有下降, 而对称齿根 齿面接触应力则基本不变 .双压力角非对称齿轮 的单齿啮合区间比对称齿轮要大 .这是因为双压 力角非对称齿轮的分度圆压力角变大 , 非对称齿 轮传动系统重合度降低 ,所以单齿啮合区 BD 变 大, 双齿啮合区 AB 和DE 变小 .从 A 点到E 点, 对称齿轮齿面接触应力分别为非对称齿轮的 1.45 , 1.16 , 1.16 , 1.16 , 1.17 , 1.17 , 1.18 倍.当 工作齿侧压力角由 20°上升到 30°时 ,非对称齿轮 齿面接触应力在一个啮合周期中的最大值比对称 齿轮降低了 13.6 %,平均应力约降低了 16.7 %. 2 有限元分析 接触问题的数值解又称为非经典接触力学, 随着计算机的发展而越来越广泛地应用 .由于接 触问题是一种高度状态非线性行为, 需要较大的 计算资源.接触问题求解之前, 并不知道在接触 区域表面之间是接触的还是分开的, 其接触状态 是未知的 、突然变化的,状态变化随载荷 、材料 、边 界条件和其他因素而定.摩擦使问题的收敛性变 得困难[ 10] . 计算接触非线性问题有许多方法, 其中应用 较广泛的是接触约束算法 ,主要分为罚函数法和 拉格朗日乘子法等, 本文采用罚函数法来进行分 析.接触问题的有限元法在分析齿轮啮合特性方 面有独特的优点, 它把啮合齿轮作为一个系统来 分析, 避免了一般有限元分析中人为假定接触边 界和几何条件所造成的模型误差, 可以定量分析 齿面接触应力 、齿向载荷分布 、齿间载荷分布等用 实测难以解决的问题.新的通用接触单元(包括 点-面和面-面单元)计算精度更高, 功能更强大, 能非常有效地求解接触非线性问题, 在工程上数 值解很有实用价值. 本文将应用弹性接触有限元法对标准齿轮和 非对称渐开线圆柱齿轮啮合时的位移场和应力场 进行分析 ,并着重分析在一个啮合周期内,标准齿 轮和非对称渐开线圆柱齿轮不同啮合位置的接触 应力分布情况, 从而更清楚揭示了由于时变啮合 刚度的影响齿面接触应力在一个啮合周期的变化 规律 . 2.1 几何模型的建立 Autolisp 是一种内嵌于 Autocad 中的表处理 程序设计语言 ,属于解释型高级语言,程序控制结 构灵活,非常适于二次开发.本文在 Visual Lisp 环境下, 用 Autolisp 语言开发了双压力角渐开线 齿轮全齿模型的参数化设计程序, 该程序可适用 于任何模数 、齿数 、工作齿侧和非工作齿侧压力 角、齿顶高系数、径向间隙系数 、变位系数的非对 称与对称齿轮的建模.根据给定参数, 运行 Au￾tolisp 程序 ,生成双压力角非对称齿轮全齿模型. 将该模型调入 Mechanical Desktop 软件中 , 输出 成 IGS 文件;然后在有限元分析软件 ANSYS 中 调入该 IGS 文件, 便完成了在 ANSYS 前处理中 的建模.图 3 所示是在节点啮合时的非对称与对 称齿轮的几何模型. 2.2 有限元模型的网格化 由于接触分析运算量大, 而直齿轮在齿宽方 向的应力可以近似认为不变, 所以本文将三维模 型简化为二维片体进行网格划分 .在有限元计算 模型中 ,使用一次单元时摩擦力使得计算效率明 显减低, 需要更密的网格和更多的迭代次数, 摩 擦系数越大效率和精度越低.而使用二次八节点 24 个自由度等参单元和面-面接触单元 , 能有效 计算有摩擦接触问题 .对齿轮接触分析来说, 为 了更精确 、合理地模拟齿轮啮合时的接触情况,将 模型划分为接触区域 , 相邻接触区域和非接触区 域三个部分.接触轮齿的相邻轮齿网格采用一次 一级细化, 接触区域网格采用两次二级细化 .最 后在细化后的接触区域生成一个面-面类型的接 触对 . 非对称模型共有单元 11 225 个 ,节点11 961 个,其中接触单元 184 个;对称模型共有单元 11 221个,节点 12 014 个 ,其中接触单元 199 个. · 1170 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 12 期

Vol.28 No.12 肖望强等：双压力角非对称齿轮传动接触分析 。1171。 b) 图3非对称与对称齿轮的几何模型。(a)非对称齿轮：(b)对称齿轮 Fig 3 Geometry models of unsymmetric (a)and symmetric gears (b) 2.3轮齿的约束条件和载荷 齿轮模型旋转一个角度，该角度为两个啮合位置 因为本文主要研究主、从动齿轮的相对运动， 的啮合点压力角之差.如果是从单齿啮合旋转到 故从动齿轮视为固定端。限制其全部自由度：主动 双齿啮合，则在刚进入啮合的齿面上新建一个接 轮有一旋转自由度，故采用节点柱坐标系约束轴 触对，约束条件和载荷均不变.不同啮合位置压 孔表面节点径向自由度.主动轮上的扭矩处理成 力角的求法为： 主动轮轴孔表面节点上的周向均布载荷： ax=ONi x/ri (24) TI q=rxbnj (23) 式中，Pw:x为小齿轮1的啮合线上任意啮合点的 曲率半径mm;rbd为齿轮1的工作齿侧基圆的半 式中，T1为主动轮传递的的扭矩；：为孔的半 径，mm;n;为主动轮轴孔表面节点数. 径mm. 在计算不同啮合位置的接触应力时，只须将 对双压力角非对称齿轮与对称齿轮网格施加 边界条件和载荷后的模型如图4所示. (a) (b) 图4施加载荷和边界后的网格模型.(a)非对称齿轮：(b)对称齿轮 Fig 4 Tooth mesh and boundary conditions of unsymmetric (a)and symmetric gears(b) 2.4实例计算及分析 在齿轮一个完整的啮合周期上，将有限元法 双压力角非对称与对称齿轮的齿形参数和其 计算出的非对称齿轮与对称齿轮齿面接触应力经 他参数与用解析法计算的参数相同.应用AN- 过量纲为1处理，所得曲线如图7所示 SYS软件对所建立的两种模型进行分析，同时根 由图7可以看出，一对轮齿从开始啮合至啮 据在一个啮合周期中不同啮合点压力角之差将主 合完毕的整个接触过程中，齿面接触应力的变化 动齿轮1和从动齿轮2旋转相应度数，并重新建 是比较大的.在双齿啮合区AB和单齿啮合区 立接触对进行分析. BD,齿轮的齿面接触应力都呈下降趋势：在双齿 图5(a)~(c)为非对称系数k为1.085的双 啮合区DE,非对称齿轮的齿面接触应力是下降 压力角非对称齿轮在单齿啮入点B,节点C,单齿 的，而对称齿轮的齿面接触应力是上升的.最大 啮出点D的应力云图；图6(a)~(c)为对称渐开 接触应力出现在单对齿啮合区B点.非对称齿 线齿轮在单齿啮入点B,节点C,单齿啮出点D 轮的单齿啮合区间BD比对称齿轮要大，双齿啮 的应力云图 合区间AB和DE比对称齿轮要小.从A点到E

图3 非对称与对称齿轮的几何模型.(a)非对称齿轮;(b)对称齿轮 Fig.3 Geometry models of unsymmetric (a)and symmetric gears(b) 2.3 轮齿的约束条件和载荷 因为本文主要研究主 、从动齿轮的相对运动, 故从动齿轮视为固定端, 限制其全部自由度;主动 轮有一旋转自由度 , 故采用节点柱坐标系约束轴 孔表面节点径向自由度.主动轮上的扭矩处理成 主动轮轴孔表面节点上的周向均布载荷 : q = T 1 r k bnj (23) 式中 , T1 为主动轮传递的的扭矩;r k 为孔的半 径, mm ;nj 为主动轮轴孔表面节点数. 在计算不同啮合位置的接触应力时, 只须将 齿轮模型旋转一个角度 ,该角度为两个啮合位置 的啮合点压力角之差 .如果是从单齿啮合旋转到 双齿啮合, 则在刚进入啮合的齿面上新建一个接 触对 ,约束条件和载荷均不变 .不同啮合位置压 力角的求法为 : αX =ρN1d , X/ r bd (24) 式中 , ρN 1d , X 为小齿轮 1 的啮合线上任意啮合点的 曲率半径, mm ;r bd为齿轮 1 的工作齿侧基圆的半 径, mm . 对双压力角非对称齿轮与对称齿轮网格施加 边界条件和载荷后的模型如图 4 所示. 图4 施加载荷和边界后的网格模型.(a)非对称齿轮;(b)对称齿轮 Fig.4 Tooth mesh and boundary conditions of unsymmetric (a)and symmetric gears(b) 2.4 实例计算及分析 双压力角非对称与对称齿轮的齿形参数和其 他参数与用解析法计算的参数相同 .应用 AN￾SYS 软件对所建立的两种模型进行分析 ,同时根 据在一个啮合周期中不同啮合点压力角之差将主 动齿轮 1 和从动齿轮 2 旋转相应度数 , 并重新建 立接触对进行分析. 图 5(a)～ (c)为非对称系数 k 为 1.085 的双 压力角非对称齿轮在单齿啮入点 B ,节点 C , 单齿 啮出点 D 的应力云图 ;图 6(a)～ (c)为对称渐开 线齿轮在单齿啮入点 B , 节点 C , 单齿啮出点 D 的应力云图. 在齿轮一个完整的啮合周期上 ,将有限元法 计算出的非对称齿轮与对称齿轮齿面接触应力经 过量纲为 1 处理,所得曲线如图 7 所示 . 由图 7 可以看出 ,一对轮齿从开始啮合至啮 合完毕的整个接触过程中 ,齿面接触应力的变化 是比较大的 .在双齿啮合区 AB 和单齿啮合区 BD , 齿轮的齿面接触应力都呈下降趋势;在双齿 啮合区 DE , 非对称齿轮的齿面接触应力是下降 的, 而对称齿轮的齿面接触应力是上升的.最大 接触应力出现在单对齿啮合区 B 点 .非对称齿 轮的单齿啮合区间 BD 比对称齿轮要大 , 双齿啮 合区间 AB 和DE 比对称齿轮要小.从 A 点到E Vol.28 No.12 肖望强等:双压力角非对称齿轮传动接触分析 · 1171 ·