是-部cm,满足全微分存在定理的条件，放在全平面上 e(1+sinyd+(e+2siny)cosydy 是全微分. 下面用三种方法来求原函数： 解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9-10 所示，可取定点O0,0),动点4x,0与Mx,),于是原函数 ux.y)=fe(l+sin y+(e+2siny)cosydy x0) 取路径：OA+AM,得 图9-10 u(x.y)=[e'(1+0d+(e*+2siny)cos ydy=e'-1+e'siny+sin'y. 解法2从定义出发，设原函数为x,则有密-P飞功=e0+sm两边对x积 分(y此时看作参数)，得 u(x.y)=e'(1+siny)+g(y) (*) 特定函数g0)作为对x积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又矿=Qx小，于是 e'cosy+g'(y)=(e'+2siny)cosy, 即g')=2 sin ycosy,从而g)=sin2y+C(C为任意常数)，代入(*)式，得原函数 u(x,y)=e'+e'siny+sin'y+C. 解法3凑微分. e'(1+sinyx+(e+2siny)cosy =ed+(e'siny+e'cosydy)+ de"+d(e"sin y)+d(sin y)=d(e"+e"sin y+sin-y) 故原函数为x,)=e+e'siny+sim2y. 注1当积分与路径无关时，在选取路径时应使得计算简便 注2x,y)不唯一，但它们之间相差一个常数. 例14(98研)确定常数元，使在右半平面x>0上的向量 Ax,)=20x+y2)1-x2(x+y2yj
cos Q P x e y x y = = ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， (1 sin ) ( 2sin )cos x x e y dx e y ydy + + + 是全微分． 下面用三种方法来求原函数： 解法 1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 9－10 所示，可取定点 O(0,0) ，动点 A x( ,0) 与 M x y ( , ) ，于是原函数 为 ( , ) (0,0) ( , ) (1 sin ) ( 2sin )cos x y x x u x y e y dx e y ydy = + + + ． 取路径: OA AM + ，得 图 9－10 0 0 ( , ) (1 0) ( 2sin )cos x y x x u x y e dx e y ydy = + + + 2 1 sin sin x x = − + + e e y y ． 解法 2 从定义出发，设原函数为 u x y ( , ) ，则有 ( , ) (1 sin ) u x P x y e y x = = + ，两边对 x 积 分（ y 此时看作参数），得 ( , ) (1 sin ) ( ) x u x y e y g y = + + （*） 待定函数 g y( ) 作为对 x 积分时的任意常数，上式两边对 y 求偏导，又 ( , ) u Q x y y = ，于是 cos ( ) ( 2sin )cos x x e y g y e y y + = + ， 即 g y y y ( ) 2sin cos = ，从而 2 g y y C ( ) sin = + （ C 为任意常数），代入（*）式，得原函数 2 ( , ) sin sin x x u x y e e y y C = + + + ． 解法 3 凑微分． (1 sin ) ( 2sin )cos x x e y dx e y ydy + + + ( sin cos ) 2sin cos x x x = + + + e dx e ydx e ydy y ydy 2 ( sin ) (sin ) x x = + + de d e y d y 2 ( sin sin ) x x = + + d e e y y ， 故原函数为 2 ( , ) sin sin x x u x y e e y y = + + ． 注 1 当积分与路径无关时，在选取路径时应使得计算简便． 注 2 u x y ( , ) 不唯一，但它们之间相差一个常数． 例 14（98 研） 确定常数 ，使在右半平面 x 0 上的向量 4 2 2 4 2 ( , ) 2 ( ) ( ) x y xy x y x x y A i j = + − + o Ax( ,0) x y M x y ( , )
为某二元函数(x,)的梯度，并求x,y) 分析平面单连通区域内向量场Ax,)=Px,y+Qx,j为某二元函数的梯度的充 要条件是器-号由此可角定2然后，由幽线积分油+Q尚与路径无关 即可求出x,)· 解由榜度定义gnd)-尝+号=A川=Px1+Qx小，其中 P==2+,0=0=-+y, 而 器-2+y-+r4 器=2e+y+2ae+yr2 为刊的度即+Q在：>0时存在原函数小，故架号由此可 得4x(x+yX元+)=0，可见当且仅当元=-1时，所给向量4x,)为u的梯度.又由于 Pd+Q=d血，于是曲线积分P(x,达+Q(x,y与路径无关，故 )=P(+(dy +c =∫Pdk+Qd+C =2o达-xx+yy+c -停+cm3+c 注本题实质上是平面单连通区域内曲线积分与路径无关的题目，不过以梯度的形式考 察 例15试求由星形线x=acos21,y=asin'1所围成图形的面积. 分析这是一道求平面图形的面积的题目，可用定积分计算，也可用二重积分计算，也 可用曲线积分计算，下面用二重积分来计算，进一步利用格林公式，将重积分转化为曲线积 分来计算。 解由格林公式可知 A=∬=f-w [acos1-3asin'tcost-asin'1-3acos1(-sint) 号广号sm油n4城-d。 注由格林公式可要妆小空-器=或：Q的表示曲线C所区线D的
为某二元函数 u x y ( , ) 的梯度，并求 u x y ( , ) ． 分析 平面单连通区域内向量场 A i j ( , ) ( , ) ( , ) x y P x y Q x y = + 为某二元函数的梯度的充 要条件是 Q P x y = ，由此可确定 . 然后，由曲线积分 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y P x y dx Q x y dy + 与路径无关 即可求出 u x y ( , ) ． 解 由梯度定义 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u u x y x y P x y Q x y x y = + = = + grad i j A i j ，其中 4 2 2 4 2 2 ( ) , ( ) u u P xy x y Q x x y x y = = + = = − + ， 而 4 2 2 4 2 1 3 2 ( ) ( ) 4 Q x x y x x y x x − = − + − + ， 4 2 4 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 P x x y xy x y y y − = + + + ． A( , ) x y 为 u x y ( , ) 的梯度．即 Pdx Qdy + 在 x 0 时存在原函数 u x y ( , ) ，故 Q P x y = ，由此可 得 4 2 4 ( )( 1) 0 x x y + + = ，可见当且仅当 =−1 时，所给向量 A( , ) x y 为 u 的梯度．又由于 Pdx Qdy du + = ，于是曲线积分 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y P x y dx Q x y dy + 与路径无关，故 u x y ( , ) = 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y P x y dx Q x y dy + +C ( , ) (1,0) x y = + Pdx Qdy +C ( , ) 2 4 2 1 (1,0) (2 )( ) x y xydx x dy x y C − = − + + 2 4 2 4 2 2 1 0 2 0 arctan 0 x y x x dy y dx C C x x y x = − + = − + + + ． 注 本题实质上是平面单连通区域内曲线积分与路径无关的题目，不过以梯度的形式考 察． 例 15 试求由星形线 3 3 x a t y a t = = cos , sin 所围成图形的面积． 分析 这是一道求平面图形的面积的题目，可用定积分计算，也可用二重积分计算， 也 可用曲线积分计算，下面用二重积分来计算，进一步利用格林公式，将重积分转化为曲线积 分来计算． 解 由格林公式可知 1 2 L D A dxdy xdy ydx = = − 2 3 2 3 2 0 1 [ cos 3 sin cos sin 3 cos ( sin )] 2 a t a t t a t a t t dt = − − 2 2 2 2 2 2 2 0 0 3 3 sin cos sin 2 2 8 a a t tdt tdt = = 2 2 2 0 3 1 3 [ sin 4 ] 8 2 8 8 a t t a = − = ． 注 由格林公式可知，要使 ( ) C D Q P dxdy Pdx Qdy x y − = + 表示曲线 C 所围区域 D 的