第三章排列、组合与二项式定理 解(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数 挑战·创新 原理知，共有4×5×5X5×5=2500个. (2)方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人， 种排法，其余四个位置的四个数字共有A:种排法，故共 女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ 有A·A4=96个 (1)老师必须站在中间或两端： 方法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将 (2)两名女生必须相邻而站： 0填入有A!种方法，其余四个数字全排有A:种方法，故 (3)4名男生互不相邻： (4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站. 共有A1·A4=96个 (3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是 解(1)先考虑老师，有A;种站法，再考虑其余6人全排 3的倍数，按取0和不取0分类： 列，故不同站法总数为A1A。=2160种. ①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百 (2)2名女生站在一起有A种站法，视为一种元素与 位有A?,其余任排有A号，故有2A2·A号个 其余5人全排列，有A种排法，故有不同站法有A?· ②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取 A8=1440种. 2,然后进行全排为2A」 (3)先站老师和女生，有A种站法，再在老师和女生 故共有2A)A号十2A=8十12=20个」 站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，则插入方法 (4)考虑特殊位置：个位和万位，先填个位，从1,3中 有A种，故共有不同站法有A8·A=144种. 选一个填入个位有A:种填法，然后从剩余3个非0数中 (4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 选一个填入万位，有A:种填法，包含0在内还有3个数在 A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，故共有 中间三个位置上全排列，排列数为A,故共有A2·A好· 不同站法有2× =420种. A=36个 A 3.1.3组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 课标定位 1.通过实例，理解组合的概念 素养阐释 2.能利用计数原理推导组合数公式 3.体会数学抽象的过程，加强数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、组合与组合数 (1)可以得到多少个不同的商？ 【问题思考】 提示可以得到A?=4X3=12个不同的商. 1.(1)从3,5,7,11中任取两个数相除： (2)如何用分步乘法计数原理求商的个数？ (2)从3,5,7,11中任取两个数相乘. 提示可以分两步来完成：第一步，从这四个数中任取 以上两个问题中哪个是排列？(1)与(2)有何不同特点？ 两个数，有C种方法：第二步，将每个组合中的两个数排列， 提示(1)是排列，(1)中选取的两个数是有序的，(2)中 有A种排法.因此可得商的个数为CA. 选取的两个数是无序的。 (3)由问题(1)、问题(2)你能得出计算C2的公式吗？ 2.填空： 提示能.因为A=CA, (1)一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并 成一组，称为从个不同对象中取出m个对象的一个组合. 所ac-袋-6 (2)组合数： (4)你能把问题(3)的结论推广到一般吗？ 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数， 提示可以，考虑到从个不同对象中取出m个做排 称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C 列，可以分成两个步骤完成： 表示 第一步，从n个不同对象中取出m个，有C种选法： 二、组合数公式 第二步，将选出的m个对象做全排列，有A种排法. 【问题思考】 1.从1,3,5,7中任取两个数相除. 由分步来法计数原理有A=CA,因此C= 21
第三章 排列、组合与二项式定理 解 (1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数 原理知,共有4×5×5×5×5=2500个. (2)方法一:先排万位,从1,2,3,4中任取一个有 A 1 4 种排法,其余四个位置的四个数字共有 A 4 4 种排法,故共 有 A 1 4·A 4 4=96个. 方法二:先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0填入有 A 1 4 种方法,其余四个数字全排有 A 4 4 种方法,故 共有 A 1 4·A 4 4=96个. (3)构成3的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3的倍数,按取0和不取0分类: ①取0,从1和4中取一个数,再取2进行排,先填百 位有 A 1 2,其余任排有 A 2 2,故有2A 1 2·A 2 2 个. ②不取0,则只能取3,从1或4中再任取一个,再取 2,然后进行全排为2A 3 3. 故共有2A 1 2A 2 2+2A 3 3=8+12=20个. (4)考虑特殊位置:个位和万位,先填个位,从1,3中 选一个填入个位有 A 1 2 种填法,然后从剩余3个非0数中 选一个填入万位,有A 1 3 种填法,包含0在内还有3个数在 中间三个位置上全排列,排列数为 A 3 3,故共有A 1 2·A 1 3· A 3 3=36个. 挑战 创新 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人, 女学生2人,在下列情况下,各有多少种不同的站法? (1)老师必须站在中间或两端; (2)两名女生必须相邻而站; (3)4名男生互不相邻; (4)若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站. 解 (1)先考虑老师,有 A 1 3 种站法,再考虑其余6人全排 列,故不同站法总数为 A 1 3A 6 6=2160种. (2)2名女生站在一起有 A 2 2 种站法,视为一种元素与 其余5人全排列,有 A 6 6 种排法,故有不同站法有 A 2 2· A 6 6=1440种. (3)先站老师和女生,有 A 3 3 种站法,再在老师和女生 站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法 有 A 4 4 种,故共有不同站法有 A 3 3·A 4 4=144种. (4)7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有 A 4 4 种,而由高到低有从左到右和从右到左的不同,故共有 不同站法有2× A 7 7 A 4 4 =420种. 3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 课标定位 素养阐释 1.通过实例,理解组合的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式. 3.体会数学抽象的过程,加强数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、组合与组合数 【问题思考】 1.(1)从3,5,7,11中任取两个数相除; (2)从3,5,7,11中任取两个数相乘. 以上两个问题中哪个是排列? (1)与(2)有何不同特点? 提示 (1)是排列,(1)中选取的两个数是有序的,(2)中 选取的两个数是无序的. 2.填空: (1)一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并 成一组,称为从n个不同对象中取出m 个对象的一个组合. (2)组合数: 从n 个不同对象中取出m 个对象的所有组合的个数, 称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数,用符号C m n 表示. 二、组合数公式 【问题思考】 1.从1,3,5,7中任取两个数相除. (1)可以得到多少个不同的商? 提示 可以得到 A 2 4=4×3=12个不同的商. (2)如何用分步乘法计数原理求商的个数? 提示 可以分两步来完成:第一步,从这四个数中任取 两个数,有C 2 4 种方法;第二步,将每个组合中的两个数排列, 有 A 2 2 种排法.因此可得商的个数为C 2 4A 2 2. (3)由问题(1)、问题(2)你能得出计算C 2 4 的公式吗? 提示 能.因为 A 2 4=C 2 4A 2 2, 所以C 2 4= A 2 4 A 2 2 =6. (4)你能把问题(3)的结论推广到一般吗? 提示 可以,考虑到从n 个不同对象中取出m 个做排 列,可以分成两个步骤完成: 第一步,从n个不同对象中取出m 个,有C m n 种选法; 第二步,将选出的m 个对象做全排列,有 A m m 种排法. 由分步乘法计数原理有 A m n =C m nA m m,因此C m n = A m n A m m . 21
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.填空： 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 组合数 今 A n(n-1)…[n-(m-1)] m×(m-1)X.…X2X1 “√”，错误的画“X” 公式 n！ (1)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出2名学生，有多少种 (n-m)！m! 不同的选法属于组合问题， (√) 性质 C”=Cgm;Cwt=C"十C+1 (2)若C=C,则x=m (×) 备注 C0=1:C=u:C=1 (3)甲、乙、丙、丁四支足球队之间进行单循环比赛，共需 赛多少场属于排列问题 (X) 课堂·重难突破 探究一组合概念的理解 (2)求证：C=m n+行C. 【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题， (1)解原式=C。-A=10X9X8X7 4×3X2×1 -7×6×5= (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ 210-210=0. (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (2）证明因为右边=青C=m士 1+1 n+1 (4)从10个人中选3个不同学科的代表，有多少种 (n+1)! n！ 选法？ m+1D1(n-m)!-m1(n-m刀=C:, 解(1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的 又因为左边=C,所以左边=右边，所以原式成立。 (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与 反思感悟 甲通了一次电话，没有顺序的区别 L涉及具体数字的可以直接用公式C A (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题.因为3个人中，担任哪一学科的代表是 n(n-1)[n-(m-1)] 有顺序区别的. mX(m-1)X…X2X计算。 ①反思感悟 2.涉及字母的可以用阶乘式C= n (n-m)！m! 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什 计算 么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法 3.计算时应注意利用组合数的两个性质： 是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果 (1)C0=Cgm; 中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化.若有新 (2)C1=C十Cm 变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明 无顺序，是组合问题」 【变式训练2】计算：(1)C+C8C: 【变式训练1】判断下列问题是排列问题还是组合问 (2)3Cg-2C号 8×7×6,100×99 题，并求出相应的结果 解(1)原式=Cg十CoX1= =561 3×2×1 2×1 (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是 4950=5006. 多少？ (2)某小组有9名同学，从中选出正、副组长各一人，有 (2)3C-2C号=3× 3x2X72X5X4 8×7×6 2X7=148 多少种不同的选法？若从中选出2名同学参加一个比赛，有 多少种不同的选法？ 探究三 解组合数方程或不等式 解(I)集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集 12 合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一 例3】若点一<求的取值集合 个组合问题，组合的个数是C=10. 6 24 (2)因为选正、副组长时要考虑顺序，所以是排列问题， 解由(n-1)(m-2 n(n-1)(m-2)(m-3)< 排列数是A=9×8=72,所以选正、副组长共有72种选法： 240 因为选同学参加比赛是不用考虑顺序的，所以是组合问题， n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 所以不同的选法有C号=36种. 可得n2-11n-12<0, 解得-1<n<12. 探究二与组合数有关的计算和证明 又n∈N+,且n≥5， 所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}. 【例2】(1)计算：C。-CA: 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}. 22
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.填空: 组合数 公式 C m n = A m n A m m = n(n-1)…[n-(m-1)] m×(m-1)×…×2×1 = n! (n-m)! m! 性质 C m n =C n-m n ;C m+1 n+1 =C m n +C m+1 n 备注 C 0 n=1;C 1 n=n;C n n=1 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出2名学生,有多少种 不同的选法属于组合问题. (√) (2)若C x n=C m n,则x=m. (×) (3)甲、乙、丙、丁四支足球队之间进行单循环比赛,共需 赛多少场属于排列问题. (×) 课堂·重难突破 探究一 组合概念的理解 【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选3个不同学科的代表,有多少种 选法? 解 (1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与 甲通了一次电话,没有顺序的区别. (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题.因为3个人中,担任哪一学科的代表是 有顺序区别的. 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什 么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法 是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果 中任意两个元素的位置,看是否产生新的变化.若有新 变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明 无顺序,是组合问题. 【变式训练1】判断下列问题是排列问题还是组合问 题,并求出相应的结果. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是 多少? (2)某小组有9名同学,从中选出正、副组长各一人,有 多少种不同的选法? 若从中选出2名同学参加一个比赛,有 多少种不同的选法? 解 (1)集合中的元素是无序的,一个含三个元素的集 合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一 个组合问题,组合的个数是C 3 5=10. (2)因为选正、副组长时要考虑顺序,所以是排列问题, 排列数是 A 2 9=9×8=72,所以选正、副组长共有72种选法; 因为选同学参加比赛是不用考虑顺序的,所以是组合问题, 所以不同的选法有C 2 9=36种. 探究二 与组合数有关的计算和证明 【例2】(1)计算:C 4 10-C 3 7A 3 3; (2)求证:C m n = m+1 n+1 C m+1 n+1. (1)解 原式=C 4 10-A 3 7 = 10×9×8×7 4×3×2×1 -7×6×5= 210-210=0. (2) 证明 因 为 右 边 = m+1 n+1 C m+1 n+1 = m+1 n+1 · (n+1)! (m+1)! (n-m)!= n! m! (n-m)!=C m n, 又因为左边=C m n,所以左边=右边,所以原式成立. 1.涉及具体数字的可以直接用公式 C m n = A m n A m m = n(n-1)…[n-(m-1)] m×(m-1)×…×2×1 计算. 2.涉及字母的可以用阶乘式 C m n = n! (n-m)! m! 计算. 3.计算时应注意利用组合数的两个性质: (1)C m n =C n-m n ; (2)C m+1 n+1=C m n +C m+1 n . 【变式训练2】计算:(1)C 5 8+C 98 100C 7 7; (2)3C 3 8-2C 2 5. 解 (1)原式=C 3 8+C 2 100×1= 8×7×6 3×2×1 + 100×99 2×1 =56+ 4950=5006. (2)3C 3 8-2C 2 5=3× 8×7×6 3×2×1 -2× 5×4 2×1 =148. 探究三 解组合数方程或不等式 【例3】若 1 C 3 n - 1 C 4 n < 2 C 5 n ,求n的取值集合. 解 由 6 n(n-1)(n-2)- 24 n(n-1)(n-2)(n-3)< 240 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) , 可得n2-11n-12<0, 解得-1<n<12. 又n∈N+ ,且n≥5, 所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}. 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}. 22
第三章排列、组合与二项式定理 ①反思感悟 A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇 1.解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的 的社会调查，有多少种不同的选法 错误，注意不要忽路n∈N+. B.有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种 2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排 不同的选法 列数、组合数公式，以及组合数的性质.求解时，要注意 C.在一次射击训练中，某人射击8枪，击中目标4枪，且命 由C"中的m∈N+,n∈N+,且n≥m确定m,n的取值 中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意 D.把3本不同的书送给三名同学，有多少种送法 【变式训练3】求等式，十C-9 答案BC 中的n的值 解析AD均与顺序有关，是排列问题，BC均与顺序无关， 是组合问题，故选BC 解原方程可变形为 +1=,C81E司 19 14 C-a C-,即 2.已知集合M={xlx=C,n≥0，且n∈N,集合Q={1, (n-1)(n-2)(m-3)(m-4)(m-5）_14 2,3,4},则下列结论正确的是( 5! 5 A.MUQ={0,1,2,3,4} (n-3)(n-4)(n-5) B.QCM 31 C.M二Q 化简整理，得n2一3m一54=0.解得n=9或n=一6（不 D.M∩Q={1,4} 合题意，舍去)，所以n=9. 答案D 易错辨析 解析由C,知n≤4，即n=0,1,2,3,4.因为C9=1,C= 忽视组合数中参数的限制条件而致误 4.cg--6.c=C=4.C=1所以M=1,46.故 11 7 【典例】已知G10C·求m的值 M∩Q={1,4. 错解由已知m!5-m_m!(6-m!_77-mm 3.若C2=C3,则n的值为() A.3或5 B.3或4 5 6! 10×71 C.5 D.15 即60-10(6-m)=(7-m)(6-m),即m2-23m十42=0， 解得m=21或m=2. 答案A 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 解析由组合数的性质，得n=21一3或n十2m一3=12， 你如何改正？你如何防范？ 解得n=3或n=5.故选A. 提示这是一个含有组合数符号关于m的方程.错解 4.计算：C8十C8= 中，转化为m的一元二次方程后，忽略了m的取值范图，导 答案1275 致出错。 正解由已知m!5-m!_m!(6-m!_77-m!m叫 解析C+C8=C=C5=5X50 2×1 1275. 5 6 10×7! 5.解方程：3C-=5A-4. 即m2-23m十42=0，解得m=21或m=2 解原方程可变形为3C-3=5A2-4, 因为m≤5，所以m=21不符合题意应舍去，所以m=2. 飞防范措施 即3(x-3)(x-40(x-5)(x-6) 4×3×2×1 =5(x-4)(x-5), 解这类题时，要将C中m,n的取值范围与方程 整理得(x-3)(x-6)=40. 的解综合考虑，可以先解方程，后验根 解得x=11或x=一2（舍去） 经检验符合题意， 随堂训练 所以方程的解为x=11 L.(多选题)下列问题中是组合问题的是( 课后·训练提升 基础·巩固 运之星 D.从13名司机中任选出3名进行培训 1.(多选题)以下四个问题，属于组合问题的是( 答案CD A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 解析“从100名幸运观众中选出2名幸运之星”与“从13 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 名司机中任选出3名进行培训”，与顺序无关，是组合 C.在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸 问题 23
第三章 排列、组合与二项式定理 1.解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的 错误,注意不要忽略n∈N+ . 2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排 列数、组合数公式,以及组合数的性质.求解时,要注意 由C m n 中的m∈N+ ,n∈N+ ,且n≥m 确定m,n的取值 范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意. 【变式训练3】求等式 C 5 n-1+C 3 n-3 C 3 n-3 = 19 5 中的n的值. 解 原方程可变形为 C 5 n-1 C 3 n-3 +1= 19 5 ,C 5 n-1= 14 5 C 3 n-3,即 (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) 5! = 14 5 · (n-3)(n-4)(n-5) 3! , 化简整理,得n2-3n-54=0,解得n=9或n=-6(不 合题意,舍去),所以n=9. 易 错 辨 析 忽视组合数中参数的限制条件而致误 【典例】已知 1 C m 5 - 1 C m 6 = 7 10C m 7 ,求m 的值. 错解 由已知 m! (5-m)! 5! - m! (6-m)! 6! = 7(7-m)! m! 10×7! , 即60-10(6-m)=(7-m)(6-m),即m2-23m+42=0, 解得m=21或m=2. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 这是一个含有组合数符号关于m 的方程.错解 中,转化为m 的一元二次方程后,忽略了m 的取值范围,导 致出错. 正解 由已知 m! (5-m)! 5! - m! (6-m)! 6! = 7(7-m)! m! 10×7! , 即m2-23m+42=0,解得m=21或m=2. 因为m≤5,所以m=21不符合题意应舍去,所以m=2. 解这类题时,要将 C m n 中m,n 的取值范围与方程 的解综合考虑,可以先解方程,后验根. 随堂训练 1.(多选题)下列问题中是组合问题的是( ) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇 的社会调查,有多少种不同的选法 B.有4张电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种 不同的选法 C.在一次射击训练中,某人射击8枪,击中目标4枪,且命 中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种 D.把3本不同的书送给三名同学,有多少种送法 答案 BC 解析 AD均与顺序有关,是排列问题,BC均与顺序无关, 是组合问题,故选BC. 2.已知集合 M={x|x=C n 4,n≥0,且n∈N},集合Q={1, 2,3,4},则下列结论正确的是( ) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q⊆M C.M⊆Q D.M∩Q={1,4} 答案 D 解析 由C n 4,知n≤4,即n=0,1,2,3,4.因为C 0 4=1,C 1 4= 4,C 2 4= 4×3 2×1 =6,C 3 4=C 1 4=4,C 4 4=1,所以 M={1,4,6}.故 M∩Q={1,4}. 3.若C n 12=C 2n-3 12 ,则n的值为( ) A.3或5 B.3或4 C.5 D.15 答案 A 解析 由组合数的性质,得n=2n-3或n+2n-3=12, 解得n=3或n=5.故选 A. 4.计算:C 48 50+C 49 50= . 答案 1275 解析 C 48 50+C 49 50=C 49 51=C 2 51= 51×50 2×1 =1275. 5.解方程:3C x-7 x-3=5A 2 x-4. 解 原方程可变形为3C 4 x-3=5A 2 x-4, 即 3(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) 4×3×2×1 =5(x-4)(x-5), 整理得(x-3)(x-6)=40. 解得x=11或x=-2(舍去). 经检验符合题意, 所以方程的解为x=11. 课后·训练提升 基础 巩固 1.(多选题)以下四个问题,属于组合问题的是( ) A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸 运之星 D.从13名司机中任选出3名进行培训 答案 CD 解析 “从100名幸运观众中选出2名幸运之星”与“从13 名司机中任选出3名进行培训”,与顺序无关,是组合 问题. 23
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.（多选题)下列计算结果为21的是( 解析，m=C,n=A, A.A+C B.C ,.m:n=6:12=1:2 C.A D.C号 9.计算：(1)C十C8C8 答案AD (2)C+C+C+C+C+C: 解析A+C8=21:C=1:A号=42；C号=21. (3)C”+1C Aio c等于( 解(1)原式=C+C3X1=7X6X5+50×49 3×2X1 2×1 =35+ 1225=1260. B.101 C.107 D.6 (2)原式=2(C磐+C+C)=2(Cg+C号)=2(6+ 答案D Aiol 0=A=6. 解析cm十C一Cm+C。C 》=2 4.(多选题)下列等式正确的是() (3)方法-：原式=CC=aD!·n= n！ n! A.C=m！(n-m刀 n十1)：nL.n=(m十1)·n=2+n. n！ B.C=C 方法二：原式=(C”十C1)·C-1=(1十C)·C= C.C+=C+C (1十n)·n=n2十n. D.Cr=C+I 10.设x∈N+,求C十C的值. 答案ABC 2x-3x-1, 解析A是组合数公式；B,C是组合数性质；C= 解由题意可得+1≥2x-3, n！ (n+1)! 解得2≤x≤4. m1m-m刀C=m+1n-m,两者不相等， x∈N+, 故D错误. x=2或x=3或x=4 5.若A=6C4,则n的值为() 当x=2时，原式的值为4： A.6 B.7 C.8 D.9 当x=3时，原式的值为7： 答案B 当x=4时，原式的值为11. ∴，所求式子的值为4或7或11 解析由题意知n(n-1)(n-2)=6· n(n-1)(n-2)(n-3) 拓展·提高 4×3×2×1 化商每”31 1.已知C+1-C=C,则n等于() A.8 B.12 C.13 D.15 解得n=7. 答案A 6.已知C7+1-C=C,则n等于 解析因为C+1=C+1, 答案14 所以5十4=m十1， 解析C+1=C+1 所以n=8. .7+8=n十1， 2.已知集合M={xlx=C,n∈N},集合Q={1,2,3,4},则 .n=14. 下列结论正确的是(） 7.不等式C?一n<5的解集为 AMUQ={0,1,2,3,4}B.Q二M 答案{2,3,4} C.MCQ D.M∩Q={1,4} 解析由C-n<5,得n-) 答案D 2 -n5. 解析由C知，n=0,1,2,3,4. 即n2-3n-10<0, 解得-2<n<5. 国为c=1.c=4.c==6.C=C=4.c=1, 由题意知n≥2，且n∈N+, 所以M={1,4,6}, 则n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}。 故M∩Q={1,4},MUQ={1,2,3,4,6},选D 8.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不 3.C+C8的值是() 同的积：任取两个不同的数相除，有个不同的商，则 A.46或20 B.30 m:n= C.36 D.40 答案1：2 答案A 24
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.(多选题)下列计算结果为21的是( ) A.A 2 3+C 2 6 B.C 7 7 C.A 2 7 D.C 2 7 答案 AD 解析 A 2 3+C 2 6=21;C 7 7=1;A 2 7=42;C 2 7=21. 3. A 3 101 C 2 100+C 97 100 等于( ) A. 1 6 B.101 C. 1 107 D.6 答案 D 解析 A 3 101 C 2 100+C 97 100 = A 3 101 C 2 100+C 3 100 = A 3 101 C 3 101 =A 3 3=6. 4.(多选题)下列等式正确的是( ) A.C m n = n! m! (n-m)! B.C m n =C n-m n C.C m n+1=C m n +C m-1 n D.C m n =C m+1 n+1 答案 ABC 解析 A 是 组 合 数 公 式;B,C 是 组 合 数 性 质;C m n = n! m! (n-m)! ,C m+1 n+1 = (n+1)! (m+1)! (n-m)! ,两者不相等, 故D错误. 5.若 A 3 n=6C 4 n,则n的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 解析 由 题 意 知 n (n - 1)(n - 2)= 6 · n(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1 , 化简得 n-3 4 =1, 解得n=7. 6.已知C 7 n+1-C 7 n=C 8 n,则n等于 . 答案 14 解析 ∵C 7 n+1=C 8 n+1, ∴7+8=n+1, ∴n=14. 7.不等式C 2 n-n<5的解集为 . 答案 {2,3,4} 解析 由C 2 n-n<5,得 n(n-1) 2 -n<5, 即n2-3n-10<0, 解得-2<n<5. 由题意知n≥2,且n∈N+ , 则n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}. 8.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m 个不 同的积;任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则 m∶n= . 答案 1∶2 解析 ∵m=C 2 4,n=A 2 4, ∴m∶n=6∶12=1∶2. 9.计算:(1)C 4 7+C 48 50C 9 9; (2)C 0 5+C 1 5+C 2 5+C 3 5+C 4 5+C 5 5; (3)C n n+1C n-1 n . 解 (1)原式=C 3 7 +C 2 50×1= 7×6×5 3×2×1 + 50×49 2×1 =35+ 1225=1260. (2)原式=2(C 0 5 +C 1 5 +C 2 5)=2(C 1 6 +C 2 5)=2 6+ 5×4 2×1 =32. (3)方 法 一:原 式 = C n n+1C 1 n = (n+1)! n! ·n = (n+1)·n! n! ·n=(n+1)·n=n2+n. 方法二:原式=(C n n+C n-1 n )·C n-1 n =(1+C 1 n)·C 1 n= (1+n)·n=n2+n. 10.设x∈N+ ,求C x-1 2x-3+C 2x-3 x+1 的值. 解 由题意可得 2x-3≥x-1, x+1≥2x-3, 解得2≤x≤4. ∵x∈N+ , ∴x=2或x=3或x=4. 当x=2时,原式的值为4; 当x=3时,原式的值为7; 当x=4时,原式的值为11. ∴所求式子的值为4或7或11. 拓展 提高 1.已知C 5 n+1-C 4 n=C 3 n,则n等于( ) A.8 B.12 C.13 D.15 答案 A 解析 因为C 5 n+1=C 4 n+1, 所以5+4=n+1, 所以n=8. 2.已知集合M={x|x=C n 4,n∈N},集合Q={1,2,3,4},则 下列结论正确的是( ) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q⊆M C.M⊆Q D.M∩Q={1,4} 答案 D 解析 由C n 4 知,n=0,1,2,3,4. 因为C 0 4=1,C 1 4=4,C 2 4= 4×3 2 =6,C 3 4=C 1 4=4,C 4 4=1, 所以M={1,4,6}, 故M∩Q={1,4},M∪Q={1,2,3,4,6},选D. 3.C x+1 10 +C 17-x 10 的值是( ) A.46或20 B.30 C.36 D.40 答案 A 24
第三章排列、组合与二项式定理 x+1≤10， 即m+5)(n十4)(n十3)n十2)n+1) 17-x10 6 解析因为 x+1≥0， m+4)(m+3)(n+2)(n+1Dm+15(m+3)(n+2), 17-x≥0， 6 所以7≤x≤9. 所以(n+5)(n十4)(n十1)-(n+4)(n十1)n=90, 又x∈N+, 即5(m+4)(n+1)=90. 所以x=7,8,9 所以n2+5m-14=0, 当x=7时，C。十C0=46: 即n=2或n=-7. 当x=8时，C90十C1o=20: 注意到n≥1，且n∈N+, 当x=9时，C8十C。=46. 所以n=2. 故选A 挑战·创新 4.解不等式：Cg-1>3Cg 从n个红球和n个白球，总计2m个球中取出m(m≤n)个 8! 3×8! 解由m-11(9-m1产m!(8-m1 球的方法数是C,该方法数我们还可以用如下方法得 到：只取m个红球：取m一1个红球，1个白球：取m一2 得>品 个红球，2个白球：…于是可得到组合数公式：C”= 所以m>27-31, CCg十C-C十…十CCr+…十CC(m≤n),按如上 方法化简：CC9十CC十十CC十…十CC(其中m≤ n),其结果为 又因为0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N, 答案C+m(或C+m) 所以m=7或8. 解析因为C=C:, 5.已知20C+s=4(n+4)C+15A+3,求n的值， 解原方程可化为20x0+5=4m+4×0+ 所以原式=CC十CC十…十CC%十…十CCm= X 5！n！ (n-1)！41 CC十CC1+…十CCr十…十CC=C+m(或 15(n十3)(n+2). Cata). 第2课时 组合数的应用 A入M入AA 1.能用组合知识解决一些简单的组合问题. 课标定位 2.能综合运用排列与组合知识解决实际问题， 素养阐释 3.加强对数学抽象、数学建模与数学运算能力的培养。 课前·基础认知 组合数的应用 生、3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若 【问题思考】 要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 1.解决组合问题的方法： ( (1)对于简单的无限制条件的组合问题，直接用组合数 A.45种 B.56种 公式进行计算. C.90种 D.120种 (2)对于有限制条件的组合问题，基本方法是“直接法” 答案A 和“间接法（排除法）”.其中用直接法求解时，应坚持特殊元 【思考辨析】 素优先选取”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 素.而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题 “/”,错误的画“X” 分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，看是 (1)5个不同的球放人4个不同的盒子中，每个盒子中 否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如 至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是 此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的 72. (×) 确切含义是解决这些组合问题的关键， (2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个 2.做一做：某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男 偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为180. (/) 25
第三章 排列、组合与二项式定理 解析 因为 x+1≤10, 17-x≤10, x+1≥0, 17-x≥0, 所以7≤x≤9. 又x∈N+ , 所以x=7,8,9. 当x=7时,C 8 10+C 10 10=46; 当x=8时,C 9 10+C 9 10=20; 当x=9时,C 10 10+C 8 10=46. 故选 A. 4.解不等式:C m-1 8 >3C m 8 . 解 由 8! (m-1)! (9-m)!> 3×8! m! (8-m)! , 得 1 9-m > 3 m , 所以m>27-3m, 所以m> 27 4 =7- 1 4 . 又因为0≤m-1≤8,且0≤m≤8,m∈N, 所以m=7或8. 5.已知20C 5 n+5=4(n+4)C n-1 n+3+15A 2 n+3,求n的值. 解 原方程可化为20× (n+5)! 5!n! =4(n+4)× (n+3)! (n-1)! 4!+ 15(n+3)(n+2), 即 (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) 6 = (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n 6 +15(n+3)(n+2), 所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90, 即5(n+4)(n+1)=90, 所以n2+5n-14=0, 即n=2或n=-7. 注意到n≥1,且n∈N+ , 所以n=2. 挑战 创新 从n个红球和n个白球,总计2n个球中取出m(m≤n)个 球的方法数是 C m 2n,该方法数我们还可以用如下方法得 到:只取m 个红球;取m-1个红球,1个白球;取m-2 个红球,2个白球;……于是可得到组合数公式:C m 2n = C m nC 0 n+C m-1 n C 1 n+…+C r nC m-r n +…+C 0 nC m n (m≤n),按如上 方法化简:C 0 nC 0 m+C 1 nC 1 m+…+C r nC r m+…+C m nC m m(其中m≤ n),其结果为 . 答案 C m n+m(或C n n+m) 解析 因为C k n=C n-k n , 所以原式=C 0 nC 0 m+C 1 nC 1 m +…+C r nC r m +…+C m nC m m = C 0 nC m m +C 1 nC m-1 m +…+C r nC m-r m + … +C m nC 0 m =C m n+m (或 C n n+m). 第2课时 组合数的应用 课标定位 素养阐释 1.能用组合知识解决一些简单的组合问题. 2.能综合运用排列与组合知识解决实际问题. 3.加强对数学抽象、数学建模与数学运算能力的培养. 课前·基础认知 组合数的应用 【问题思考】 1.解决组合问题的方法: (1)对于简单的无限制条件的组合问题,直接用组合数 公式进行计算. (2)对于有限制条件的组合问题,基本方法是“直接法” 和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特殊元 素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素,再安排其他元 素.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题 分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是 否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如 此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的 确切含义是解决这些组合问题的关键. 2.做一做:某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男 生、3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若 要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有 ( ) A.45种 B.56种 C.90种 D.120种 答案 A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中 至少有一个球,若甲球必须放入 A盒,则不同的放法种数是 72. (×) (2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个 偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为180. (√) 25