数学 选择性必修 第二册 配人教B版 课前·基础认知 排列数的应用 A.192种 【问题思考】 B.216种 1.解决排列问题的方法： C.240种 (1)对于简单的没有限制条件的排列问题，在分清元素 D.288种 和位置的情况下，直接用排列数公式进行计算 答案B (2)对于有限制条件的排列问题，先考虑特殊元素的排 解析当最左端排甲的时候，排法的种数为A: 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素的位置（这种 当最左端排乙的时候，排法种数为4A 方法称为特殊元素法或特殊位置法)：或者，先求出无约束条 因此不同的排法的种数为A十4A=120十96=216 件的排列数，再减去不符合条件的排列数（也叫做间接法或 【思考辨析】 排除法)，这是解排列题的基本策略。 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素（位置） “/”,错误的画“X” 特殊考虑的结果，要求相邻的两个元素是特殊元素，先把这 (1)某会议室共有8个座位，现有3人就座，若要求每人 两个元素“捆绑”起来处理：要求不相邻的元素是特殊元素， (×) 一般考虑用“插空法” 左右均有空位，则不同的坐法有16种 2.做一做：已知六个人从左至右排成一行，最左端只能 (2)从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法，可得不同 的商共有13种。 (√) 排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() 课堂·重难突破 探究一无限制条件的排列问题 探究二对象的“相邻”与“不相邻”问题 【例1】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同 【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 同的排队方法的种数. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1 (1)全体站成一排，男生、女生各站在一起； 本，共有多少种不同的送法？ (2)全体站成一排，男生必须站在一起； 解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 (3)全体站成一排，男生不能站在一起， 于从7个元素中任取3个元素的一个排列，共有A=7X 解(1)分成三步来完成：第一步，男生必须站在一起是 6×5=210种不同的送法. 男生的全排列，有A?种方法：第二步，女生必须站在一起是 (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都 女生的全排列，有A种方法；第三步，全体男生、女生各视 不相同，根据分步乘法计数原理，共有7X7×7=343种不同 为一个元素进行全排列，有A好种方法。 的送法」 依据分步乘法计数原理，共有AAA=288种排队 金反思感悟 方法」 1.没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所 (2)分成两步来完成：第一步，先让男生站好，3名男生 排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分 全排列有A种方法：第二步，把3名男生视为一个整体，与 清元素和位置即可 4名女生站成一排，有A种方法. 2.在排列问题中，元素不能重复选取，而在用分步 由分步乘法计数原理可知，共有AA=720种排队 乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取 方法. 【变式训练1】有5个不同的科研小课题，从中选3个 (3)分成两步来完成：第一步，先安排女生，共有A:种 由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题， 方法：第二步，女生顺序确定之后，男生在4个女生隔成的五 共有多少种不同的安排方法？ 个空中安排，共有A种方法. 解从5个不同的课题中选3个，由3个学习兴趣小组 由分步乘法计数原理可知，共有AA=1440种方法. 进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素 延伸探究 的一个排列。 在例2中，若要求男生、女生各不相邻，共有多少种 因此有A=5×4×3=60种不同的安排方法. 排法？ 16
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 课前·基础认知 排列数的应用 【问题思考】 1.解决排列问题的方法: (1)对于简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素 和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算. (2)对于有限制条件的排列问题,先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法,再考虑其他元素的位置(这种 方法称为特殊元素法或特殊位置法);或者,先求出无约束条 件的排列数,再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或 排除法),这是解排列题的基本策略. 所谓“捆绑法”与“插空法”,实际上都是特殊元素(位置) 特殊考虑的结果.要求相邻的两个元素是特殊元素,先把这 两个元素“捆绑”起来处理;要求不相邻的元素是特殊元素, 一般考虑用“插空法”. 2.做一做:已知六个人从左至右排成一行,最左端只能 排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案 B 解析 当最左端排甲的时候,排法的种数为 A 5 5; 当最左端排乙的时候,排法种数为4A 4 4. 因此不同的排法的种数为 A 5 5+4A 4 4=120+96=216. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人 左右均有空位,则不同的坐法有16种. (×) (2)从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法,可得不同 的商共有13种. (√) 课堂·重难突破 探究一 无限制条件的排列问题 【例1】(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同 学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法? 解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当 于从7个元素中任取3个元素的一个排列,共有 A 3 7=7× 6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都 不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343种不同 的送法. 1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所 排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分 清元素和位置即可. 2.在排列问题中,元素不能重复选取,而在用分步 乘法计数原理解决的问题中,元素可以重复选取. 【变式训练1】有5个不同的科研小课题,从中选3个 由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题, 共有多少种不同的安排方法? 解 从5个不同的课题中选3个,由3个学习兴趣小组 进行研究,每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素 的一个排列. 因此有 A 3 5=5×4×3=60种不同的安排方法. 探究二 对象的“相邻”与“不相邻”问题 【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不 同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男生、女生各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起; (3)全体站成一排,男生不能站在一起. 解 (1)分成三步来完成:第一步,男生必须站在一起是 男生的全排列,有 A 3 3 种方法;第二步,女生必须站在一起是 女生的全排列,有 A 4 4 种方法;第三步,全体男生、女生各视 为一个元素进行全排列,有 A 2 2 种方法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 3 3A 4 4A 2 2 =288种排队 方法. (2)分成两步来完成:第一步,先让男生站好,3名男生 全排列有 A 3 3 种方法;第二步,把3名男生视为一个整体,与 4名女生站成一排,有 A 5 5 种方法. 由分步乘法计数原理可知,共有 A 3 3A 5 5 =720种排队 方法. (3)分成两步来完成:第一步,先安排女生,共有 A 4 4 种 方法;第二步,女生顺序确定之后,男生在4个女生隔成的五 个空中安排,共有 A 3 5 种方法. 由分步乘法计数原理可知,共有 A 4 4A 3 5=1440种方法. 在例2中,若要求男生、女生各不相邻,共有多少种 排法? 16
第三章排列、组合与二项式定理 解分两步来完成：第一步，先排好男生后，有A种方 方法二（元素分析法）可以分成三步来完成：第一步，0 法：第二步，男生顺序确定之后，女生在3名男生隔成的四个 不在两端有A种排法；第二步，从1,3,5中选1个排在个位 空中安排，共有A1种方法，由分步乘法计数原理可知，共有 有A种方法：第三步，剩下的4个数字全排列有A种方法 AA=144种排法， 依据分步乘法计数原理，共有AAA:=288个六位 ①反思感悟 奇数 1.解决元素“相邻”“不相邻”问题，应遵循“先整 飞反思感悟 体，后局部”的原则」 数字排列问题常见的解题方法： 2.解决元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻 (1)“优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优 的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 先填充.如“0”不排“首位” 列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列. (2)“分类讨论法”：先按照某一标准将排列分成几 3.解决元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不 类，再按照分类加法计数原理进行.要注意如下两点： 相邻元素以外的“普通”元素全排列，再在“普通”元素 一是分类标准必须恰当：二是分类过程要做到不重 之间及两端插入不相邻元素。 不漏 (3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排 【变式训练2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队 列数. 员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置 (4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数宇 上，从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不 的每个数位排好。 同的出场安排有 种。 答案252 【变式训练3】用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重 复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个 解析分成两步来完成：第一步，安排3名主力队员有 (1)能被5整除的五位数： A种方法：第二步，安排另2名队员有A号种排法.由分步乘 (2)能被3整除的五位数」 法计数原理可知，共有AA号=252种不同的出场安排. 解(1)满足条件的五位数可以分三类：第一类个位上 探究三数字排列问题 是0，有A;个. 第二类个位上的数字是5，该五位数不含0，则有A:个 【例3】用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重复数字的 第三类个位上的数字是5，该五位数含0，但0不作首 整数，求满足下列条件的数各有多少个， 位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法」 (1)六位数： 根据基本计数原理可知，共有A;十A:十A:A=216个 (2)六位奇数 能被5整除的五位数. 解(1)（间接法）0,1,2,3,4,5六个数字共有A8种 (2)满足条件的五位数可以分两类： 不同的排法，当0在首位时不满足题意.又因为0在首位的 第一类，这5个数是1,2,3,4,5，则有A个. 排列共有A个，所以可以组成A:一A=600个没有重复数 第二类，这5个数是0,1,2,4,5 字的六位数 可以分两步来完成： (2)方法一（位置分析法）①可以分成两步来完成：第 第一步，首位不为0，有A个： 一步，从个位入手，个位数排奇数，即从1,3,5中选1个有 第二步，其余各位有A个 A种方法：第二步，首位数在排除0及个位数余下的4位数 根据分步乘法计数原理，有AA个 字中选1个有A!种方法：第三步，余下的数字可在其他位 由基本计数原理可知，能被3整除的五位数有A十 置全排列有A种方法.由分步乘法计数原理可知，共有 A1A1=216个. AAA=288个不同的六位奇数. ②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类 易错辨析 进行. 忽视分类讨论而致误 第一类，可以分成三步来完成：第一步，首位排奇数，有 A种方法：第二步，个位排奇数有A:种方法：第三步，其余 【典例】甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙两人位 于甲同侧的排法总数是( 位置全排列有A:种方法. A.16 B.12 C.8 D.6 由分步乘法计数原理可知，共有AA2A=144种方法. 第二类，可以分成三步来完成：第一步，首位排非0偶 错解因为乙、丙两人位于甲同侧，所以可分为两类：第 数，有A种方法：第二步，个位数排奇数有A种方法；第三 一类，当甲在第三位时，不同的排法数为AA1:第二类，当甲 步，其余位置全排列有A:种方法. 在第四位时，不同的排法数为A.根据分类加法计数原理， 根据分步乘法计数原理，共有AAA=144种方法. 所求的不同排法的总数为A号A+A=2十6=8. 根据分类加法计数原理，共有144十144=288个六位 答案C 奇数. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 17
第三章 排列、组合与二项式定理 解 分两步来完成:第一步,先排好男生后,有 A 3 3 种方 法;第二步,男生顺序确定之后,女生在3名男生隔成的四个 空中安排,共有 A 4 4 种方法.由分步乘法计数原理可知,共有 A 3 3A 4 4=144种排法. 1.解决元素“相邻”“不相邻”问题,应遵循“先整 体,后局部”的原则. 2.解决元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻 的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列. 3.解决元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不 相邻元素以外的“普通”元素全排列,再在“普通”元素 之间及两端插入不相邻元素. 【变式训练2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队 员,派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、五位置 上,从其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上,那么不 同的出场安排有 种. 答案 252 解析 分成两步来完成:第一步,安排3名主力队员有 A 3 3 种方法;第二步,安排另2名队员有 A 2 7 种排法.由分步乘 法计数原理可知,共有 A 3 3A 2 7=252种不同的出场安排. 探究三 数字排列问题 【例3】用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重复数字的 整数,求满足下列条件的数各有多少个. (1)六位数; (2)六位奇数. 解 (1)(间接法) 0,1,2,3,4,5六个数字共有 A 6 6 种 不同的排法,当0在首位时不满足题意.又因为0在首位的 排列共有 A 5 5 个,所以可以组成 A 6 6-A 5 5=600个没有重复数 字的六位数. (2)方法一(位置分析法) ①可以分成两步来完成:第 一步,从个位入手,个位数排奇数,即从1,3,5中选1个有 A 1 3 种方法;第二步,首位数在排除0及个位数余下的4位数 字中选1个有 A 1 4 种方法;第三步,余下的数字可在其他位 置全排列有 A 4 4 种方法.由分步乘法计数原理可知,共有 A 1 3A 1 4A 4 4=288个不同的六位奇数. ②从首位入手:对首位排奇数还是非 0偶数分两类 进行. 第一类,可以分成三步来完成:第一步,首位排奇数,有 A 1 3 种方法;第二步,个位排奇数有 A 1 2 种方法;第三步,其余 位置全排列有 A 4 4 种方法. 由分步乘法计数原理可知,共有 A 1 3A 1 2A 4 4=144种方法. 第二类,可以分成三步来完成:第一步,首位排非0偶 数,有 A 1 2 种方法;第二步,个位数排奇数有 A 1 3 种方法;第三 步,其余位置全排列有 A 4 4 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 A 1 2A 1 3A 4 4=144种方法. 根据分类加法计数原理,共有144+144=288个六位 奇数. 方法二(元素分析法) 可以分成三步来完成:第一步,0 不在两端有A 1 4 种排法;第二步,从1,3,5中选1个排在个位 有A 1 3 种方法;第三步,剩下的4个数字全排列有A 4 4 种方法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 1 4A 1 3A 4 4 =288个六位 奇数. 数字排列问题常见的解题方法: (1)“优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优 先填充.如“0”不排“首位”. (2)“分类讨论法”:先按照某一标准将排列分成几 类,再按照分类加法计数原理进行.要注意如下两点: 一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重 不漏. (3)“排除法”:全排列数减去不符合条件的排 列数. (4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字 的每个数位排好. 【变式训练3】用0,1,2,3,4,5这六个数字排成无重 复数字的整数,求满足下列条件的数各有多少个. (1)能被5整除的五位数; (2)能被3整除的五位数. 解 (1)满足条件的五位数可以分三类:第一类个位上 是0,有 A 4 5 个. 第二类个位上的数字是5,该五位数不含0,则有A 4 4 个. 第三类个位上的数字是5,该五位数含0,但0不作首 位,则0的位置有 A 1 3 种排法,其余各位有 A 3 4 种排法. 根据基本计数原理可知,共有 A 4 5+A 4 4+A 1 3A 3 4=216个 能被5整除的五位数. (2)满足条件的五位数可以分两类: 第一类,这5个数是1,2,3,4,5,则有 A 5 5 个. 第二类,这5个数是0,1,2,4,5. 可以分两步来完成: 第一步,首位不为0,有 A 1 4 个; 第二步,其余各位有 A 4 4 个. 根据分步乘法计数原理,有 A 1 4A 4 4 个. 由基本计数原理可知,能被3整除的五位数有 A 5 5+ A 1 4A 4 4=216个. 易 错 辨 析 忽视分类讨论而致误 【典例】甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙两人位 于甲同侧的排法总数是( ) A.16 B.12 C.8 D.6 错解 因为乙、丙两人位于甲同侧,所以可分为两类:第 一类,当甲在第三位时,不同的排法数为 A 2 2A 1 1;第二类,当甲 在第四位时,不同的排法数为 A 3 3.根据分类加法计数原理, 所求的不同排法的总数为 A 2 2A 1 1+A 3 3=2+6=8. 答案 C 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 17
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 你如何改正？你如何防范？ 3.某单位安排7名员工在10月1日至7日值班，每天安排1 提示对“同侧”的理解不到位，认为只在甲左侧，未考 人，每人值班1天.若7名员工中的甲、乙被安排在相邻两 虑可以在甲右侧这种情况，因此遗漏计数而致误， 天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则 正解因为乙、丙两人位于甲同侧，可分为两类： 不同的安排方案共有( A.504种 第一类，乙、丙两人位于甲左侧，不同排法的总数为 B.960种 A2A:+A3=8; C.1008种 第二类，乙、丙两人位于甲右侧，排法总数与乙、丙两人 位于甲左侧的排法总数相同，也是8种.根据分类加法计数 D.1108种 原理，乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是16. 答案C 答案A 解析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班 飞防范措施 的方案共有AA:种，其中满足甲、乙两人被安排在相邻 解题的关键是审题，要对题意理解清楚，特别是需 两天值班，且丙在10月1日值班的方案共有AA种，满 要进行分类讨论时，要做到不重不漏. 足甲、乙两人被安排在相邻两天值班，且丁在10月7日值 班的方案共有AA种，满足甲、乙两人安排在相邻两天 随堂训练 值班，且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案 共有AA种 1.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端 因此，满足题意的方案共有AA一2AA十AA= 不能排甲，则不同的排法共有() 1440-2×240+48=1008种. A.192种 B.216种 4.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产 C.240种 D.288种 品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种 答案B 答案36 解析可以分为两类：第一类甲在最左端，有A种方法： 解析先将A,B捆绑在一起，有A号种摆法，再将它们与 第二类乙在最左端，且最右端不能排甲，有A!A:种方法 其他3件产品全排列，有A:种摆法，共有AA:种摆法 依据分类加法计数原理，共有A十AA=120十96=216 而A,B,C这3件产品在一起，且A,B相邻，A,C相邻有 种方法。 AA种摆法.故A,B相邻，A,C不相邻的摆法有AA: 26名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法 A号A=48-12=36种. 共有() 5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每 A.720种 B.360种 人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不 C.240种 D.120种 同的分法种数是 答案C 答案96 解析可以分两步来完成：第一步，将甲、乙两人视为1个 解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观 整体与其余4人排列，有A种排列方法；第二步，甲、乙两 券连号，方法数为1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号， 人可互换位置，有A种排列方法.依据分步乘法计数原 其他号码各为一组，分给4人，不同的分法种数共有 理，总的排法有AA=240种. 4A=96种. 课后 ·训练提升 基础·巩固 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 1.现有6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空 答案B 位连在一起，则停放的方法总数为( A.A 解析分两步来完成：第一步，A地区有A!种方法：第二 B.A C.A D.A 答案D 步，其余地区有A种方法，依据分步乘法计数原理，共有 A1A=240种. 解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4 3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某 个不同元素的全排列，故有A种停放方法. 项志愿者活动，要求每人参加一天，且每天至多安排一人， 2.某省有关部门从6人中选4人分别到A,B,C,D四个地区 并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有 调研，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6 ( 人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有( A.20种 B.30种C.40种 D.60种 18
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 你如何改正? 你如何防范? 提示 对“同侧”的理解不到位,认为只在甲左侧,未考 虑可以在甲右侧这种情况,因此遗漏计数而致误. 正解 因为乙、丙两人位于甲同侧,可分为两类: 第一类,乙、丙两人位于甲左侧,不同排法的总数为 A 2 2A 1 1+A 3 3=8; 第二类,乙、丙两人位于甲右侧,排法总数与乙、丙两人 位于甲左侧的排法总数相同,也是8种.根据分类加法计数 原理,乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是16. 答案 A 解题的关键是审题,要对题意理解清楚,特别是需 要进行分类讨论时,要做到不重不漏. 随堂训练 1.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端 不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案 B 解析 可以分为两类:第一类甲在最左端,有 A 5 5 种方法; 第二类乙在最左端,且最右端不能排甲,有 A 1 4A 4 4 种方法. 依据分类加法计数原理,共有 A 5 5+A 1 4A 4 4=120+96=216 种方法. 2.6名同学排成一排,其中甲、乙必须排在一起的不同排法 共有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 答案 C 解析 可以分两步来完成:第一步,将甲、乙两人视为1个 整体与其余4人排列,有A 5 5 种排列方法;第二步,甲、乙两 人可互换位置,有 A 2 2 种排列方法.依据分步乘法计数原 理,总的排法有 A 2 2A 5 5=240种. 3.某单位安排7名员工在10月1日至7日值班,每天安排1 人,每人值班1天.若7名员工中的甲、乙被安排在相邻两 天值班,丙不在10月1日值班,丁不在10月7日值班,则 不同的安排方案共有( ) A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种 答案 C 解析 由题意知,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班 的方案共有 A 2 2A 6 6 种,其中满足甲、乙两人被安排在相邻 两天值班,且丙在10月1日值班的方案共有 A 2 2A 5 5 种,满 足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丁在10月7日值 班的方案共有 A 2 2A 5 5 种,满足甲、乙两人安排在相邻两天 值班,且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案 共有 A 2 2A 4 4 种. 因此,满足题意的方案共有 A 2 2A 6 6-2A 2 2A 5 5+A 2 2A 4 4= 1440-2×240+48=1008种. 4.把5件不同产品摆成一排.若产品 A与产品B相邻,且产 品 A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种. 答案 36 解析 先将 A,B捆绑在一起,有 A 2 2 种摆法,再将它们与 其他3件产品全排列,有 A 4 4 种摆法,共有 A 2 2A 4 4 种摆法. 而 A,B,C这3件产品在一起,且 A,B相邻,A,C相邻有 A 2 2A 3 3 种摆法.故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有A 2 2A 4 4- A 2 2A 3 3=48-12=36种. 5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每 人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不 同的分法种数是 . 答案 96 解析 5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观 券连号,方法数为1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号, 其他号码各为一组,分给 4 人,不同的分法种数共有 4A 4 4=96种. 课后·训练提升 基础 巩固 1.现有6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空 位连在一起,则停放的方法总数为( ) A.A 3 3 B.A 3 6 C.A 4 6 D.A 4 4 答案 D 解析 3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4 个不同元素的全排列,故有 A 4 4 种停放方法. 2.某省有关部门从6人中选4人分别到A,B,C,D四个地区 调研,要求每个地区只有1人,每人只去一个地区,且这6 人中甲、乙两人不去 A地区,则不同的安排方案有( ) A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 答案 B 解析 分两步来完成:第一步,A 地区有 A 1 4 种方法;第二 步,其余地区有 A 3 5 种方法.依据分步乘法计数原理,共有 A 1 4A 3 5=240种. 3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某 项志愿者活动,要求每人参加一天,且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有 ( ) A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 18
第三章排列、组合与二项式定理 答案A 8.用1,2,3.4,5,6,7,8排成没有重复数字的八位数.要求1与2 解析分成三类：第一类，甲排周一，乙、丙只能从周二至 相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 周五这4天中选2天排，有A2种安排方法」 第二类，甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中 答案960 选2天排，有A种安排方法. 解析分两步来完成：第一步，把相邻的两个数捆绑（看成 第三类，甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A好 一个整体)，三捆组内部都有同样的排列方法，即AA?A号 种安排方法， 种排列方法：第二步，它们与另外2个数之间有A种排列 由分类加法计数原理可知，共有A?十A好十A=12十 方法.根据分步乘法计数原理，共有AAAA=8X 6十2=20种不同的安排方法. 120=960个八位数. 4.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排 9.7名班委中有A,B,C三人，有7种不同的职务，现对7名班 法种数为( 委进行职务具体分工 A.AA B.AgAio (1)若正，副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任，有多 C.AgA D.AgA 少种分工方案？ 答案A (2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任，有 解析分两步来完成：第一步，运用插空法，8名学生间共 多少种分工方案？ 有9个空隙（加上边上空隙），先把老师排在9个空隙中， 解(1)分两步来完成：第一步，先排正、副班长有A种方 有A种排法；第二步，再把8名学生排列，有A⑧种排法 法：第二步，再安排其余职务有A种方法. 根据分步乘法计数原理可知，共有A。A种排法 依据分步乘法计数原理，共有AA=720种分工 5.用0到9这10个数字可以排成没有重复数字的三位偶数 方案」 的个数为( (2)7人中任意分工方案有A好种，A,B,C三人中无 A.324 B.328 一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A,B,C三 C.360 D.648 人中至少有一人任正、副班长的方案有A?一AA= 答案B 5040-1440=3600种. 解析分成两类：第一类，若个位数是0，从其余9个数中 10.从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数分别作 为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的 取出两个数排在前两位，有A号种排法，第二类，若个位数 对数值？其中比1大的有几个？ 不是0，先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数 (不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数（包 解从2,3，…，9这8个数中任取2个数组成对数，有A日 括0)中取出一个数排在十位，有AA:Ag=4×8×8=256 个，在这些对数值中，log24=l1og9,log2=logg3,log23= 种排法 log9,log2=log4,重复计数4次，又1不能作为对数的 依据分类加法计数原理，满足条件的三位偶数的个数 底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0. 共有A号十A1A8A=72十256=328. 所以可以得到A一4十1=53个不同的对数值. 6.8次投篮，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有 要求对数值比1大，可分类完成：当底数为2时，真 种 数从3,4,5，·，9中任取一个，有7种选法：底数为3时， 答案30 真数从4,5，…，9中任取一个，有6种选法；…；依次类 推，当底数为8时，真数只能取9，有1种选法」 解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入 依据分类加法计数原理共有7十6十5十4十3十2十 另外5次不命中形成的6个空里进行排列，有A=30种 1=28个 情形. 但其中l0g24=log39,log23=log9,所以其中比1大 7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门 的对数值有28一2=26个. 课各一节的课程表.要求数学课排在前3节，英语课不排 11.3名女生和5名男生排成一排。 在第6节，则不同的排法种数为 ,(用数字 (1)若女生必须全排在一起，则可有多少种不同的排法？ 作答) (2)若女生必须全分开，则有多少种不同的排法？ 答案288 (3)若两端都不能排女生，则可有多少种不同的排法？ 解析分成三步来完成：第一步，先在前3节课中选一节 解(1)分两步来完成：第一步，先让3名女生站好，有 安排数学，有A种安排方法：第二步，在除了数学课与第 A种排法：第二步，把女生看成一个整体，与5名男生站 6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方 在一起，有Ag种排法 法；第三步，其余4节课无约束条件，有A种安排方法. 依据分步乘法计数原理，共有AA=4320种不同 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为AAA= 排法 3×4×24=288. (2)分两步来完成：第一步，先确定5名男生的先后 19
第三章 排列、组合与二项式定理 答案 A 解析 分成三类:第一类,甲排周一,乙、丙只能从周二至 周五这4天中选2天排,有 A 2 4 种安排方法. 第二类,甲排周二,乙、丙只能从周三至周五这3天中 选2天排,有 A 2 3 种安排方法. 第三类,甲排周三,乙、丙只能排周四和周五,有 A 2 2 种安排方法. 由分类加法计数原理可知,共有 A 2 4+A 2 3+A 2 2=12+ 6+2=20种不同的安排方法. 4.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排 法种数为( ) A.A 8 8A 2 9 B.A 8 8A 2 10 C.A 8 8A 2 7 D.A 8 8A 2 6 答案 A 解析 分两步来完成:第一步,运用插空法,8名学生间共 有9个空隙(加上边上空隙),先把老师排在9个空隙中, 有 A 2 9 种排法;第二步,再把8名学生排列,有 A 8 8 种排法. 根据分步乘法计数原理可知,共有 A 8 8A 2 9 种排法. 5.用0到9这10个数字可以排成没有重复数字的三位偶数 的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 答案 B 解析 分成两类:第一类,若个位数是0,从其余9个数中 取出两个数排在前两位,有 A 2 9 种排法,第二类,若个位数 不是0,先从2,4,6,8中取一个放在个位,在其余8个数 (不包括0)中取出1个数排在百位,再从其余8个数(包 括0)中取出一个数排在十位,有 A 1 4A 1 8A 1 8=4×8×8=256 种排法. 依据分类加法计数原理,满足条件的三位偶数的个数 共有 A 2 9+A 1 4A 1 8A 1 8=72+256=328. 6.8次投篮,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有 种. 答案 30 解析 将2次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入 另外5次不命中形成的6个空里进行排列,有A 2 6=30种 情形. 7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门 课各一节的课程表.要求数学课排在前3节,英语课不排 在第6 节,则不同的排法种数为 .(用数字 作答) 答案 288 解析 分成三步来完成:第一步,先在前3节课中选一节 安排数学,有 A 1 3 种安排方法;第二步,在除了数学课与第 6节课外的4节课中选一节安排英语课,有 A 1 4 种安排方 法;第三步,其余4节课无约束条件,有 A 4 4 种安排方法. 根据分步乘法计数原理,不同的排法种数为 A 1 3A 1 4A 4 4= 3×4×24=288. 8.用1,2,3,4,5,6,7,8排成没有重复数字的八位数,要求1与2 相邻,3 与 4 相 邻,5 与 6 相 邻,这 样 的 八 位 数 共 有 个.(用数字作答) 答案 960 解析 分两步来完成:第一步,把相邻的两个数捆绑(看成 一个整体),三捆组内部都有同样的排列方法,即 A 2 2A 2 2A 2 2 种排列方法;第二步,它们与另外2个数之间有A 5 5 种排列 方法.根据分步乘法计数原理,共有 A 2 2A 2 2A 2 2A 5 5 =8× 120=960个八位数. 9.7名班委中有 A,B,C三人,有7种不同的职务,现对7名班 委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任,有多 少种分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任,有 多少种分工方案? 解 (1)分两步来完成:第一步,先排正、副班长有 A 2 3 种方 法;第二步,再安排其余职务有 A 5 5 种方法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 2 3A 5 5 =720种分工 方案. (2)7人中任意分工方案有 A 7 7 种,A,B,C三人中无 一人任正、副班长的分工方案有 A 2 4A 5 5 种,因此 A,B,C三 人中至少有一人任正、副班长的方案有 A 7 7 -A 2 4A 5 5 = 5040-1440=3600种. 10.从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个不同的数分别作 为一个对数的底数和真数,一共可以得到多少个不同的 对数值? 其中比1大的有几个? 解 从2,3,…,9这8个数中任取2个数组成对数,有A 2 8 个,在这些对数值中,log24=log39,log42=log93,log23= log49,log32=log94,重复计数4次,又1不能作为对数的 底数,1作为真数时,不论底数为何值,其对数值均为0. 所以可以得到 A 2 8-4+1=53个不同的对数值. 要求对数值比1大,可分类完成:当底数为2时,真 数从3,4,5,…,9中任取一个,有7种选法;底数为3时, 真数从4,5,…,9中任取一个,有6种选法;…;依次类 推,当底数为8时,真数只能取9,有1种选法. 依据分类加法计数原理共有7+6+5+4+3+2+ 1=28个. 但其中log24=log39,log23=log49,所以其中比1大 的对数值有28-2=26个. 11.3名女生和5名男生排成一排. (1)若女生必须全排在一起,则可有多少种不同的排法? (2)若女生必须全分开,则有多少种不同的排法? (3)若两端都不能排女生,则可有多少种不同的排法? 解 (1)分两步来完成:第一步,先让3名女生站好,有 A 3 3 种排法;第二步,把女生看成一个整体,与5名男生站 在一起,有 A 6 6 种排法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 6 6A 3 3=4320种不同 排法. (2)分两步来完成:第一步,先确定5名男生的先后 19
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 顺序有A种排法：第二步，这5名男生之间和两端有6 C.1195秒 D.1190秒 个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法. 答案C 依据分步乘法计数原理，共有AA=120×120= 解析由题意知，每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A 14400种不同排法. 个，相邻两个闪炼的时间间隔为5秒，因此需要的时间至 (3)分两步来完成，第一步，因为两端不排女生，只能 少是5A+(A-1)×5=1195秒. 从5名男生中选2人排列，有A种排法；第二步，剩余的 5.某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有 位置没有特殊要求，有A。种排法 语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午 依据分步乘法计数原理，共有AA=20×720= 或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排 14400种不同排法 在下午的第三节，则不同的安排方案有() 拓展·提高 A.120 B.480 C.600 D.720 1.某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8个座位，有 答案C 4名同学和她们的妈妈共8人坐在第一排的这8个座位 解析若数学安排在下午，则只能安排在6,7节，其余5 上，则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 节课全排列，有A=120种不同的安排方案：若数学安排 ( 在上午，则可以是12,23,34,45，共4种，其余5节课全排 A.378 B.384 列，有4×A=4×120=480种不同的安排方案，共有 C.396 D.412 120十480=600种不同的安排方案. 答案B 6.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每 解析由排列中的相邻问题得，每名同学和她们的妈妈坐 人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不 在一起的不同排法种数为A2·A号·A号·A号·A=384, 同的分法种数是」 2.用5,6,7,8,9排成没有重复数字的五位数，其中有且仅有 答案96 一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( ) 解析5张参观券分为4组，其中2张连号的有4种分法， A.36 B.48 每一种分法中的排列方法有A!种，因此共有不同的分法 C.72 D.120 有4A=4×24=96种. 答案A 7.用1,2,3,4,5,6排成没有重复数字的六位数，要求任何相 解析分三步来完成.第一步，将3个奇数全排列有A种 邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的 方法： 个数是 第二步，将2个偶数插入，使它们之间只有一个奇数 答案40 共3种方法： 解析可分为三步来完成这件事： 第三步，将2个偶数全排列有A?种方法，故满足题意 第一步，先将3,5进行排列，共有A种排法； 的五位数的个数为3AA=36. 第二步，再将4,6插空排列，共有2A?种排法： 3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市 第三步，将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A5种 游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且 排法 这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共 由分步乘法计数原理得，共有A2×2A2A5=40种不 有() 同的排法」 A.300种 B.240种 8.市内某公共汽车站有7个候车位（成一排），现有甲、乙 C.144种 D.96种 丙、丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车，则甲、乙相 答案B 邻，且丙、丁不相邻的不同的坐法种数为 .(用 解析先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其 数字作答) 余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同的选择方 答案480 案A;·A3=240种. 解析甲、乙相邹用捆绑法，有A种，然后从4个位置选 4.某地为了迎接国庆节，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮 两个安排甲乙、戊，有A种，最后用插空法安排丙、丁2 的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一 人，即从5个空中插入2人，有A号种，故共有AAA= 种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个 2×12×20=480种不同的坐法. 彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒 9.(1)用0,1,2,3,4可排成多少个五位数？ 钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均 (2)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位数？ 为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至 (3)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字，且是3的倍 少是() 数的三位数？ A.1205秒 B.1200秒 (4)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位奇数？ 20
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 顺序有 A 5 5 种排法;第二步,这5名男生之间和两端有6 个位置,从中选取3个位置排女生,有 A 3 6 种排法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 5 5A 3 6=120×120= 14400种不同排法. (3)分两步来完成,第一步,因为两端不排女生,只能 从5名男生中选2人排列,有A 2 5 种排法;第二步,剩余的 位置没有特殊要求,有 A 6 6 种排法. 依据分步乘法计数原理,共有 A 2 5A 6 6=20×720= 14400种不同排法. 拓展 提高 1.某小学开家长会,会场第一排有连在一起的8个座位,有 4名同学和她们的妈妈共8人坐在第一排的这8个座位 上,则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 ( ) A.378 B.384 C.396 D.412 答案 B 解析 由排列中的相邻问题得,每名同学和她们的妈妈坐 在一起的不同排法种数为 A 2 2·A 2 2·A 2 2·A 2 2·A 4 4=384. 2.用5,6,7,8,9排成没有重复数字的五位数,其中有且仅有 一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( ) A.36 B.48 C.72 D.120 答案 A 解析 分三步来完成.第一步,将3个奇数全排列有 A 3 3 种 方法; 第二步,将2个偶数插入,使它们之间只有一个奇数, 共3种方法; 第三步,将2个偶数全排列有A 2 2 种方法,故满足题意 的五位数的个数为3A 3 3A 2 2=36. 3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市 游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且 这6人 中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共 有( ) A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 答案 B 解析 先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎,再从其 余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科,共有不同的选择方 案 A 1 4·A 3 5=240种. 4.某地为了迎接国庆节,某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮 的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一 种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个 彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒 钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均 为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至 少是( ) A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 答案 C 解析 由题意知,每次闪烁共5秒,所有不同的闪烁为 A 5 5 个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至 少是5A 5 5+(A 5 5-1)×5=1195秒. 5.某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有 语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育,其中数学是上午 或下午连续的两节课,其余课程各一节,现将体育课安排 在下午的第三节,则不同的安排方案有( ) A.120 B.480 C.600 D.720 答案 C 解析 若数学安排在下午,则只能安排在6,7节,其余5 节课全排列,有 A 5 5=120种不同的安排方案;若数学安排 在上午,则可以是12,23,34,45,共4种,其余5节课全排 列,有4×A 5 5 =4×120=480种不同的安排方案,共有 120+480=600种不同的安排方案. 6.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每 人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不 同的分法种数是 . 答案 96 解析 5张参观券分为4组,其中2张连号的有4种分法, 每一种分法中的排列方法有 A 4 4 种,因此共有不同的分法 有4A 4 4=4×24=96种. 7.用1,2,3,4,5,6排成没有重复数字的六位数,要求任何相 邻两个数字的奇偶性不同,且1,2相邻,这样的六位数的 个数是 . 答案 40 解析 可分为三步来完成这件事: 第一步,先将3,5进行排列,共有 A 2 2 种排法; 第二步,再将4,6插空排列,共有2A 2 2 种排法; 第三步,将1,2放入3,5,4,6形成的空中,共有A 1 5 种 排法. 由分步乘法计数原理得,共有 A 2 2×2A 2 2A 1 5=40种不 同的排法. 8.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲、乙、 丙、丁、戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲、乙相 邻,且丙、丁不相邻的不同的坐法种数为 .(用 数字作答) 答案 480 解析 甲、乙相邻用捆绑法,有 A 2 2 种,然后从4个位置选 两个安排甲乙、戊,有 A 2 4 种,最后用插空法安排丙、丁2 人,即从5个空中插入2人,有A 2 5 种,故共有 A 2 2A 2 4A 2 5= 2×12×20=480种不同的坐法. 9.(1)用0,1,2,3,4可排成多少个五位数? (2)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位数? (3)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字,且是3的倍 数的三位数? (4)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位奇数? 20