数学 选择性必修 第二册 配人教B版 课堂·重难突破 解(1)要完成分配任务，可以分成三步：第一步，从6 探究一 简单的组合问题 本书中选2本给甲，有C日种方法：第二步，从其余的4本中 【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个 选2本给乙，有C?种方法：第三步，从余下的2本书中选2 黑球 本给丙，有C号种方法」 (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ ×1= (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少 周先先有不同的分法数为CCG-资×签 种取法？ 90 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取 (2)这是“不均匀分组”问题，分为三份，一共有CCC= 法？ 6xX1=0带方法。 解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是 (3)在(2)的基础上再进行全排列，将分好的三份分别分 -8×2-56 给甲、乙、丙三个人，有A种方法，所以一共有CCCA= (2)可以分成两步来完成：第一步，取出一个黑球，有C 6X5X4 2XX1X3×2×1=360种方法. 种方法：第二步，从7个白球中再取出2个，有C号种方法.因 (4)可以分为三类情况：①“2,2,2型”即(1)中的分配情 7X6 此取法种数是C4C号=2X=21. 况，有CCC?=90种方法：②“1,2,3型”即(3)中的分配情 况，有CCCA=360种方法：③“1,1,4型”，有CA3=90 (③)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个 种方法 白球中取出3个球，因此取法种教是Cg-X6X 3X2X1=35, 所以一共有CCC号+CCCA+CA=90+360+ 90=540种方法 ①反思感悟 1.解简单的组合应用题时，先要判断它是不是组 ①反思感悟 “分组”与“分配”间题的解法： 合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问 (1)分组问题属于组合问题，常见的分组问题有 题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元 三种： 素的顺序无关」 ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等： 2.要注意基本计数原理的运用，即分类与分步的 ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀， 灵活运用 最后必须除以n!: 在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏】 ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 【变式训练1】某食堂每天中午准备4种不同的荤菜， (2)分配问题属于排列问题，分配问题可以按要求逐 7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐： 个分配，也可以分组后再分配 (1)任选2种辈菜、2种素菜和白米饭；(2)任选1种荤菜、2 【变式训练2】从7名志愿者中安排6人在周六、周日 种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有( 两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方 A.210种 B.420种 案共有 种.（用数字作答） C.56种 D.22种 答案140 答案A 解析安排方案分为两步完成：第一步，从7名志愿者 解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之 中选3人安排在周六参加社区公盏活动，有C种方法；第二 和即为所求，因此每天不同午餐的搭配方法共有CC号十 步，再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公 cG-袋x+ 7×6 2×1210种. 益活动，有C种方法，故不同的安排方案共有CC= 7×6×5 3X2×7×4=140种. 探究二分组、分配问题 探究三排列、组合的综合应用 【例2】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的 分法： 【例3】有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5 (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本： 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (2)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (1)有女生但人数必须少于男生： (3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本： (2)某女生一定担任语文课代表； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表： 26
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 课堂·重难突破 探究一 简单的组合问题 【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个 黑球. (1)从口袋内取出3个小球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少 种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取 法? 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是 C 3 8= 8×7×6 3×2×1 =56. (2)可以分成两步来完成:第一步,取出一个黑球,有C 1 1 种方法;第二步,从7个白球中再取出2个,有C 2 7 种方法.因 此取法种数是C 1 1C 2 7= 7×6 2×1 =21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个 白球中取出3个球,因此取法种数是C 3 7= 7×6×5 3×2×1 =35. 1.解简单的组合应用题时,先要判断它是不是组 合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问 题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元 素的顺序无关. 2.要注意基本计数原理的运用,即分类与分步的 灵活运用. 在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏. 【变式训练1】某食堂每天中午准备4种不同的荤菜, 7种不同的素菜,用餐者可以按下述方法之一搭配午餐: (1)任选2种荤菜、2种素菜和白米饭;(2)任选1种荤菜、2 种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有( ) A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 答案 A 解析 由分类加法计数原理知,两类配餐的搭配方法之 和即为所求,因此每天不同午餐的搭配方法共有 C 2 4C 2 7+ C 1 4C 2 7= 4×3 2×1 × 7×6 2×1 +4× 7×6 2×1 =210种. 探究二 分组、分配问题 【例2】6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的 分法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (3)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (4)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 解 (1)要完成分配任务,可以分成三步:第一步,从6 本书中选2本给甲,有C 2 6 种方法;第二步,从其余的4本中 选2本给乙,有C 2 4 种方法;第三步,从余下的2本书中选2 本给丙,有C 2 2 种方法. 因此共有不同的分法数为C 2 6C 2 4C 2 2= 6×5 2×1 × 4×3 2×1 ×1= 90. (2)这是“不均匀分组”问题,分为三份,一共有C 1 6C 2 5C 3 3= 6× 5×4 2×1 ×1=60种方法. (3)在(2)的基础上再进行全排列,将分好的三份分别分 给甲、乙、丙三个人,有 A 3 3 种方法,所以一共有C 1 6C 2 5C 3 3A 3 3= 6× 5×4 2×1 ×1×3×2×1=360种方法. (4)可以分为三类情况:①“2,2,2型”即(1)中的分配情 况,有C 2 6C 2 4C 2 2=90种方法;②“1,2,3型”即(3)中的分配情 况,有C 1 6C 2 5C 3 3A 3 3=360种方法;③“1,1,4型”,有 C 4 6A 3 3=90 种方法. 所以一共有 C 2 6C 2 4C 2 2+C 1 6C 2 5C 3 3A 3 3+C 4 6A 3 3 =90+360+ 90=540种方法. “分组”与“分配”问题的解法: (1)分组问题属于组合问题,常见的分组问题有 三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复,有n 组均匀, 最后必须除以n!; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于排列问题,分配问题可以按要求逐 个分配,也可以分组后再分配. 【变式训练2】从7名志愿者中安排6人在周六、周日 两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方 案共有 种.(用数字作答) 答案 140 解析 安排方案分为两步完成:第一步,从7名志愿者 中选3人安排在周六参加社区公益活动,有C 3 7 种方法;第二 步,再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公 益活动,有 C 3 4 种方 法.故 不 同 的 安 排 方 案 共 有 C 3 7C 3 4 = 7×6×5 3×2×1 ×4=140种. 探究三 排列、组合的综合应用 【例3】有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5 门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; 26
第三章排列、组合与二项式定理 (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课 (34,12),共6种选择，但是(12,34)与(34,12)，(13.24)与 代表，但不担任数学课代表 (24,13),(14,23)与(23,14)是同一种选择，只是顺序不同 解(1)可以分两步来完成：第一步，分成两种情况，即2 而已 女3男和1女4男，共有CC十CC种方法：第二步，选出 正解分三步来完成：第一步，从6本书中任意选出2 的5人担任不同学科的课代表，共有A种方法， 本，共有C种方法：第二步，再从4本书中任意选出2本，共 因此共有(CC+CC)·A=5400种方法. 有C种方法：第三步，剩下的2本书恰好分成一份，有C种 (2)分两步来完成：第一步，去除该女生后有C:种组合 方法；第二步，选出的4人担任不同学科的课代表有A!种 方法因此共有 =15种方法 方法 飞防范措施 因此共有C·A=840种方法. “分组”和“分配”是两类不同的问题.“分组”没有 (3)分三步来完成：第一步，去除该男生后有C种组合 顺序，而“分配”是有顺序的.故对均匀分组问题要注意 方法；第二步，对该男生进行组合，从剩下的四科中选一科有 “消去顺序性”所带来的数据的变化 C】种方法：第三步，选出的4人担任不同学科的课代表有 A种方法. 随堂训练。。。。。。。· 因此共有C·C·A=3360种 1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选 (4)分三步来完成：第一步，先从去除该男生、该女生的 5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共 6人中选3人有C。种：第二步，再安排该男生有C种：第三 有() 步，选出的3人担任不同的学科有A种方法.因此共有 A.26种 B.84种 Cg·Cg·A=360种. C.35种 D.21种 ①反思感悟 答案C 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意 解析分两步来完成：第一步，从2名种子选手中选出2 以下两点： (1)审清题意，区分哪种是排列，哪种是组合： 人，有C号种不同选法；第二步，从7名队员中选出3人有 (2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析 C种选法」 确定分类还是分步 7X6×5 因此共有CC=3X2X35种选法. 【变式训练3】有6名男医生、4名女医生，从中选3名 2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同 男医生、2名女医生到5个不同的地区（记为A,B,C,D,E) 学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法种 巡回医疗，但规定男医生甲不能到A地区，则共有多少种不 数是( 同的分派方案？ A.5040 B.36 解分两类来完成： C.18 D.20 第一类，甲被选中，共有CCCA种分派方案； 答案D 第二类，甲不被选中，共有CCA种分派方案 解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只 根据分类加法计数原理，共有CCCA十CCA= 有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，因此排法 5760+7200=12960种分派方案 有C=20种. 3.(多选题)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 易错辨析 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法 不理解平均分组而致误 种数为() 【典例】有6本不同的书，平均分成3份，每份2本，有 A.CIC+CC+CC] 多少种不同的分法？ B.C-C 错解分三步来完成：第一步，从6本书中任意选出2 C.CC+C 本，有C种方法：第二步，从剩下的4本书中任意选出2本， D.C-C-C 有C?种方法：第三步，剩下的2本书恰好分成一份，有C?种 答案AB 方法.因此共有CCC号=90种方法. 解析方法一（直接法）分三类：①1男3女共有CC种 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 选法，②2男2女共有CC种选法，③3男1女共有CC 你如何改正？你如何防范？ 种选法 提示“从6本书中任意选出2本”以及“从4本书中任 则共有CC十CC?十CC种选法. 意选出2本”，中间的选择过程虽然有顺序的不同，但是却有 方法二（间接法）从7人中任选4人，有C种选法， 选择重复的情况.例如：将1,2,3,4四个数字平均分成2份 其中不符合要求的有C:种选法，因此共有(C一C)种 的选择有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)以及 选法 27
第三章 排列、组合与二项式定理 (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课 代表,但不担任数学课代表. 解 (1)可以分两步来完成:第一步,分成两种情况,即2 女3男和1女4男,共有C 3 5C 2 3+C 4 5C 1 3 种方法;第二步,选出 的5人担任不同学科的课代表,共有 A 5 5 种方法. 因此共有(C 3 5C 2 3+C 4 5C 1 3)·A 5 5=5400种方法. (2)分两步来完成:第一步,去除该女生后有C 4 7 种组合 方法;第二步,选出的4人担任不同学科的课代表有 A 4 4 种 方法. 因此共有C 4 7·A 4 4=840种方法. (3)分三步来完成:第一步,去除该男生后有C 4 7 种组合 方法;第二步,对该男生进行组合,从剩下的四科中选一科有 C 1 4 种方法;第三步,选出的4人担任不同学科的课代表有 A 4 4 种方法. 因此共有C 4 7·C 1 4·A 4 4=3360种. (4)分三步来完成:第一步,先从去除该男生、该女生的 6人中选3人有C 3 6 种;第二步,再安排该男生有C 1 3 种;第三 步,选出的3人担任不同的学科有 A 3 3 种方法.因此共有 C 3 6·C 1 3·A 3 3=360种. 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意 以下两点: (1)审清题意,区分哪种是排列,哪种是组合; (2)往往综合问题会有多个限制条件,应认真分析 确定分类还是分步. 【变式训练3】有6名男医生、4名女医生,从中选3名 男医生、2名女医生到5个不同的地区(记为 A,B,C,D,E) 巡回医疗,但规定男医生甲不能到 A地区,则共有多少种不 同的分派方案? 解 分两类来完成: 第一类,甲被选中,共有C 2 5C 2 4C 1 4A 4 4 种分派方案; 第二类,甲不被选中,共有C 3 5C 2 4A 5 5 种分派方案. 根据分类加法计数原理,共有 C 2 5C 2 4C 1 4A 4 4+C 3 5C 2 4A 5 5= 5760+7200=12960种分派方案. 易 错 辨 析 不理解平均分组而致误 【典例】有6本不同的书,平均分成3份,每份2本,有 多少种不同的分法? 错解 分三步来完成:第一步,从6本书中任意选出2 本,有C 2 6 种方法;第二步,从剩下的4本书中任意选出2本, 有C 2 4 种方法;第三步,剩下的2本书恰好分成一份,有C 2 2 种 方法.因此共有C 2 6C 2 4C 2 2=90种方法. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 “从6本书中任意选出2本”以及“从4本书中任 意选出2本”,中间的选择过程虽然有顺序的不同,但是却有 选择重复的情况.例如:将1,2,3,4四个数字平均分成2份 的选择有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13)以及 (34,12),共6种选择,但是(12,34)与(34,12),(13,24)与 (24,13),(14,23)与(23,14)是同一种选择,只是顺序不同 而已. 正解 分三步来完成:第一步,从6本书中任意选出2 本,共有C 2 6 种方法;第二步,再从4本书中任意选出2本,共 有C 2 4 种方法;第三步,剩下的2本书恰好分成一份,有C 2 2 种 方法.因此共有 C 2 6C 2 4C 2 2 A 3 3 =15种方法. “分组”和“分配”是两类不同的问题.“分组”没有 顺序,而“分配”是有顺序的.故对均匀分组问题要注意 “消去顺序性”所带来的数据的变化. 随堂训练 1.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑选 5名选手参加比赛,种子选手必须在内,那么不同选法共 有( ) A.26种 B.84种 C.35种 D.21种 答案 C 解析 分两步来完成:第一步,从2名种子选手中选出2 人,有C 2 2 种不同选法;第二步,从7名队员中选出3人有 C 3 7 种选法. 因此共有C 2 2C 3 7= 7×6×5 3×2×1 =35种选法. 2.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同 学最高,左右两边分别顺次一个比一个矮,这样的排法种 数是( ) A.5040 B.36 C.18 D.20 答案 D 解析 最高的同学站中间,从余下6人中选3人在一侧只 有一种站法,另3人在另一侧也只有一种站法,因此排法 有C 3 6=20种. 3.(多选题)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法 种数为( ) A.C 1 4C 3 3+C 2 4C 2 3+C 3 4C 1 3 B.C 4 7-C 4 4 C.C 1 4C 3 3+C 2 4C 2 3 D.C 4 7-C 4 4-C 3 4 答案 AB 解析 方法一(直接法) 分三类:①1男3女共有C 1 4C 3 3 种 选法,②2男2女共有C 2 4C 2 3 种选法,③3男1女共有C 3 4C 1 3 种选法. 则共有C 1 4C 3 3+C 2 4C 2 3+C 3 4C 1 3 种选法. 方法二(间接法) 从7人中任选4人,有C 4 7 种选法, 其中不符合要求的有 C 4 4 种选法,因此共有(C 4 7-C 4 4)种 选法. 27
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比 故符合条件的偶数共有CA8十CA=120个 40000大的偶数共有( 5.安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不 A.144个 B.120个 同的分配方案共有 种.（用数字作答） C.96个 D.72个 答案210 答案B 解析分成两类：每校1人或1校1人，1校2人 解析分成两类：首位数字为4和首位数字为5，当首位数 每人去一所学校有A。种，有两人去一所学校有CX 字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有C2A个偶 A种. 数：当首位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共 因此共有不同分配方案的种数为A十C×A=210. 有CA个偶数. 课后·训练提升 基础·巩固 答案B 解析方法一：分两类完成： 1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使 第一类，选派1名女生、3名男生，有CC种选派 其和为奇数，则不同的取法共有() 方案： A.30种 B.33种 C.37种 D.40种 第二类，选派2名女生、2名男生，有CC2种选派 答案D 方策. 解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使 故共有CC十CC?=14种不同的选派方案. 其和为奇数的情况分两类：取出的3个数都是奇数和取出 方法二：6人中选派4人的组合数为C。,其中都选男 的3个数中有2个偶数、1个奇数. 生的组合数为C,因此至少有1名女生的选派方案有 第一类，取出的3个数都是奇数，取法有C种：第二 C4-C4=14种. 类，取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有CC 5.某高校运动会期间，有14名志愿者参加接待工作，若每天 种.根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有C十 早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式 CCg=10+30=40种. 当天不同的排班种数为( 2.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告 A.CCizC B.CiAi2Ag 和2个不同的公益广告.要求最后必须播放公益广告，且 c.clcic 2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A D.CCiCA A.120种 B.48种 C.36种 D.18种 答案A 答案C 解析分三步来完成：第一步，从14人中选出12人共C? 解析分三步来完成：第一步，最后必须播放公盏广告有 种：第二步，早班从12人中选取4人，有C2种：第三步， C,种方法： 中班从剩下的8人中选4人，有C种，剩下的4人是晚 第二步，2个公益广告不能连续播放，倒数第2个广 班.因此开幕式当天不同的排班种数有CC2C种.故 告有C种方法： 选A 第三步，剩下的3个广告全排列，有A种方法，因此 6.某省高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生 共有C2CgA=2×3×3×2×1=36种不同的播放方式. 物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考 3.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏 试.如果小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择 灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮灯方案有( 一门，那么小明同学的选择方案有 种 A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 答案10 答案C 解析分两类：在生物、政治、历史三门中选择1门或都 解析分两步来完成：第一步，先安排四盏不亮的灯，有1 不选 种情况，第二步，四盏不亮的灯产生的5个空当中放入3 第一类，在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物 盏亮灯，有Cg=10种方策. 理、化学、地理中选2门，有CC种选法： 因此共有1×C=10种 第二类，在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、 4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区 化学、地理全选，有C种选法. 服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种 因此共有选法CC号十C=9十1=10种. 数为() 7.某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门课程由 A.24种 B.14种 于上课时间相同，每位学生至多选一门课程.学校规定，每 C.28种 D.48种 位学生选修4门课程，共有」 种不同选修方案 28
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比 40000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 解析 分成两类:首位数字为4和首位数字为5,当首位数 字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有 C 1 2A 3 4 个偶 数;当首位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共 有C 1 3A 3 4 个偶数. 故符合条件的偶数共有C 1 2A 3 4+C 1 3A 3 4=120个. 5.安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,则不 同的分配方案共有 种.(用数字作答) 答案 210 解析 分成两类:每校1人或1校1人,1校2人. 每人去一所学校有 A 3 6 种,有两人去一所学校有C 2 3× A 2 6 种. 因此共有不同分配方案的种数为A 3 6+C 2 3×A 2 6=210. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取3个不同的数,使 其和为奇数,则不同的取法共有( ) A.30种 B.33种 C.37种 D.40种 答案 D 解析 从1,2,3,…,9这9个数中取出3个不同的数,使 其和为奇数的情况分两类:取出的3个数都是奇数和取出 的3个数中有2个偶数、1个奇数. 第一类,取出的3个数都是奇数,取法有 C 3 5 种;第二 类,取出的3个数中有2个偶数、1个奇数,取法有 C 2 4C 1 5 种.根据分类加法计数原理,满足题意的取法共有 C 3 5+ C 2 4C 1 5=10+30=40种. 2.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告 和2个不同的公益广告.要求最后必须播放公益广告,且 2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A.120种 B.48种 C.36种 D.18种 答案 C 解析 分三步来完成:第一步,最后必须播放公益广告有 C 1 2 种方法; 第二步,2个公益广告不能连续播放,倒数第2个广 告有C 1 3 种方法; 第三步,剩下的3个广告全排列,有 A 3 3 种方法,因此 共有C 1 2C 1 3A 3 3=2×3×3×2×1=36种不同的播放方式. 3.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏 灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的亮灯方案有( ) A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 答案 C 解析 分两步来完成:第一步,先安排四盏不亮的灯,有1 种情况,第二步,四盏不亮的灯产生的5个空当中放入3 盏亮灯,有C 3 5=10种方案. 因此共有1×C 3 5=10种. 4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区 服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种 数为( ) A.24种 B.14种 C.28种 D.48种 答案 B 解析 方法一:分两类完成: 第一类,选派1名女生、3名男生,有 C 1 2C 3 4 种选派 方案; 第二类,选派2名女生、2名男生,有 C 2 2C 2 4 种选派 方案. 故共有C 1 2C 3 4+C 2 2C 2 4=14种不同的选派方案. 方法二:6人中选派4人的组合数为 C 4 6,其中都选男 生的组合数为 C 4 4,因此至少有1名女生的选派方案有 C 4 6-C 4 4=14种. 5.某高校运动会期间,有14名志愿者参加接待工作,若每天 早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式 当天不同的排班种数为( ) A.C 12 14C 4 12C 4 8 B.C 12 14A 4 12A 4 8 C. C 12 14C 4 12C 4 8 A 3 3 D.C 12 14C 4 12C 4 8A 3 8 答案 A 解析 分三步来完成:第一步,从14人中选出12人共C 12 14 种;第二步,早班从12人中选取4人,有 C 4 12 种;第三步, 中班从剩下的8人中选4人,有 C 4 8 种,剩下的4人是晚 班.因此开幕式当天不同的排班种数有 C 12 14C 4 12C 4 8 种.故 选 A. 6.某省高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生 物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考 试.如果小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择 一门,那么小明同学的选择方案有 种. 答案 10 解析 分两类:在生物、政治、历史三门中选择1门或都 不选. 第一类,在生物、政治、历史三门中选择1门,则在物 理、化学、地理中选2门,有C 1 3C 2 3 种选法; 第二类,在生物、政治、历史三门中选择0门,则物理、 化学、地理全选,有C 3 3 种选法. 因此共有选法C 1 3C 2 3+C 3 3=9+1=10种. 7.某校开设9门课程供学生选修,其中 A,B,C三门课程由 于上课时间相同,每位学生至多选一门课程.学校规定,每 位学生选修4门课程,共有 种不同选修方案. 28
第三章排列、组合与二项式定理 (用数字作答) (3)在(1)中七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数 答案75 也排在一起的个数共有CCAA1A=5760个 解析这里A,B,C三门课程“至多选一门”，即A,B,C三 (4)可以分两步来完成：第一步，偶数都不相邻，可先 门课程都不选或A,B,C这三门误程恰好选一门课程. 把4个奇数排好，有A:个：第二步，再将3个偶数分别插 入4个奇数排好后形成的5个空中 因此，分两类完成：第一类，A,B,C三门课程都不选， 有C4种不同选修方案；第二类，A,B,C三门课程恰好选 因此共有C4CgAA=28800个符合题意的七 位数 修一门课程，有CC。种不同选修方案. 因此共有C；十CC=75种不同的选修方案. 拓展·提高 8.5名羽毛球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中 1.若6人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘 选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名 车方法数为( 队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员 A.40 B.50 的排法有 种 C.60 D.70 答案48 答案B 解析分两类：两老一新和两新一老.第一类，当两老一新 解析先分组再排列，一组2人一组4人有C?=15种不同 时，有CCA号=12种排法；第二类，当两新一老时，有 C2CA=36种排法.因此共有48种排法. 的分法：两组各3人共有： =10种不同的分法，故乘车方 9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 法数为(15+10)×2=50. 4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色， 2.若安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每 且红色卡片至多1张，求不同取法的种数， 项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( 解不考虑特殊情况，共有C。种取法，其中每一种卡片 A.12种 B.18种 各取三张，有4C种取法，两种红色卡片，共有CC2种取 C.24种 D.36种 法，因此所求的取法共有C。一4C-CC2=560-16一 答案D 72=472种. 解析由题意4项工作分配给3名志愿者，分配方式只能 10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名 能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜 为(2,1,1)，故安排方式有C2·A=36种. 任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名 3.某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作， 从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种 每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不 不同的选法？ 同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数 是( 解可以分三类： A.252 B.288 C.360 D.216 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译 答案A 工作，有CC种选法： 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译 解析根据题意，分两步进行分析： 工作，有CC种选法； ①在6名教师中选派3名教师，要求甲和乙不同去， 第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工 甲和丙只能同去或同不去，分两种情况讨论： 作，有CC种选法。 甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C=3种不同 根据分类加法计数原理，一共有CC十CC十CC= 选法； 18+12+12=42种不同的选法. 甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C 11.从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则： 4种不同选法； (1)能排成多少个没有重复数字的七位数？ 则有3十4=7种不同的选法： (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ ②在4项工作中任选2项，安排给3人中的1人，再 (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起 将剩下的2项工作全排列，安排给剩下的2人，有C?· 的有几个？ C·A=36种情况，则有36×7=252种不同的选派 (4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？ 方法。 解(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 4.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言，要 种情况：第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况：第 求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则 三步，3个偶数、4个奇数进行排列，有A?种情况.因此 他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 共有CCgA?=100800个符合题意的七位数. (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有 答案264 C8CgA3Ag=14400个. 解析根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参 29
第三章 排列、组合与二项式定理 (用数字作答) 答案 75 解析 这里 A,B,C三门课程“至多选一门”,即 A,B,C三 门课程都不选或 A,B,C这三门课程恰好选一门课程. 因此,分两类完成:第一类,A,B,C三门课程都不选, 有C 4 6 种不同选修方案;第二类,A,B,C三门课程恰好选 修一门课程,有C 1 3C 3 6 种不同选修方案. 因此共有C 4 6+C 1 3C 3 6=75种不同的选修方案. 8.5名羽毛球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中 选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名 队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员 的排法有 种. 答案 48 解析 分两类:两老一新和两新一老.第一类,当两老一新 时,有 C 1 3C 1 2A 2 2 =12种排法;第二类,当两新一老时,有 C 1 2C 2 3A 3 3=36种排法.因此共有48种排法. 9.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多1张,求不同取法的种数. 解 不考虑特殊情况,共有 C 3 16 种取法,其中每一种卡片 各取三张,有4C 3 4 种取法,两种红色卡片,共有C 2 4C 1 12 种取 法,因此所求的取法共有 C 3 16-4C 3 4-C 2 4C 1 12=560-16- 72=472种. 10.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作,有4名 能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜 任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名 从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种 不同的选法? 解 可以分三类: 第一类,让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译 工作,有C 2 4C 2 3 种选法; 第二类,让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译 工作,有C 3 4C 1 3 种选法; 第三类,让两项工作都能胜任的青年不从事任何工 作,有C 3 4C 2 3 种选法. 根据分类加法计数原理,一共有C 2 4C 2 3+C 3 4C 1 3+C 3 4C 2 3= 18+12+12=42种不同的选法. 11.从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数,则: (1)能排成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起 的有几个? (4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个? 解 (1)分三步完成:第一步,在4个偶数中取3个,有C 3 4 种情况;第二步,在5个奇数中取4个,有 C 4 5 种情况;第 三步,3个偶数、4个奇数进行排列,有 A 7 7 种情况.因此 共有C 3 4C 4 5A 7 7=100800个符合题意的七位数. (2)上述七位数中,3个偶数排在一起的个数共有 C 3 4C 4 5A 5 5A 3 3=14400个. (3)在(1)中七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数 也排在一起的个数共有C 3 4C 4 5A 3 3A 4 4A 2 2=5760个. (4)可以分两步来完成:第一步,偶数都不相邻,可先 把4个奇数排好,有A 4 4 个;第二步,再将3个偶数分别插 入4个奇数排好后形成的5个空中. 因此 共 有 C 3 4C 4 5A 4 4A 3 5 =28800 个 符 合 题 意 的 七 位数. 拓展 提高 1.若6人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘 车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案 B 解析 先分组再排列,一组2人一组4人有C 2 6=15种不同 的分法;两组各3人共有 C 3 6 A 2 2 =10种不同的分法,故乘车方 法数为(15+10)×2=50. 2.若安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每 项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案 D 解析 由题意4项工作分配给3名志愿者,分配方式只能 为(2,1,1),故安排方式有C 2 4·A 3 3=36种. 3.某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作, 每人至少完成一项,每项工作由1人完成,其中甲和乙不 同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案种数 是( ) A.252 B.288 C.360 D.216 答案 A 解析 根据题意,分两步进行分析: ①在6名教师中选派3名教师,要求甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去,分两种情况讨论: 甲去,则丙一定去,乙一定不去,有 C 1 3 =3种不同 选法; 甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有C 3 4= 4种不同选法; 则有3+4=7种不同的选法; ②在4项工作中任选2项,安排给3人中的1人,再 将剩下的2项工作全排列,安排给剩下的2人,有 C 2 4· C 1 3·A 2 2=36种情况,则有 36×7=252种不同的选派 方法. 4.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言,要 求甲、乙2人中至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则 他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 . 答案 264 解析 根据题意,分两种情况讨论,若甲、乙其中一人参 29
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 加，则有CCA=192种情况： 9.在∠MON的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个 若甲、乙两人都参加，则有CAA=72种情况： 异于O的点，以这10个点（含O)为顶点，可以得到多少 故不同的发言顺序种数为192十72=264 个三角形？ 5.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封 解方法一：（直接法）分三种情况考虑：点O为顶点的三角 中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一 形中，必须另外两个顶点分别在OM,ON上，则有CC个 信封，则不同的放法共有」 种 点O不为顶，点的三角形中，两个顶，点在OM上，一个 答案18 顶点在ON上的有CC个；一个顶点在OM上，两个顶 解析因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片， 点在ON上的有CgC?个. 有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个 因为这是分类问题，所以依据分类加法计数原理，共 放入一个信封有C?=6种选法，余下的放入最后一个信 有CgC!+CC+CgC=5×4+10X4+5×6=90个. 封，所以共有3C=18种不同的放法. 方法二：（间接法）先不考虑点共线的问题，从10个不 6.有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的 同元素中任取三，点的组合数是C。,但其中OM上的6个 卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同 点（含O点）中任取三，点不能构成三角形，O八N上的5个点 牌号的总数是 种 (含O点)中任取三，点也不能构成三角形，故共可以得到 答案4020 C。-C8-Cg个三角形， 即C。-C8-Cg=120-20-10=90个. 解析若无字母A,则有A种：若含有一个字母A,则有 CA;种：若含有两个字母A,则有CA种：若含有三个字 挑战·创新 母A,则有CA号种. 车间里有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外 综上所述，共有A十CA十CA十C2A=4020种 两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工 不同牌号 人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种 7.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定六个位置的螺 选派方法？ 丝如图所示，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的 解方法一：设A,B代表两名老师傅」 (距离它最远的，下同)螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个 A,B都不在内的选派方法有C·C4=5种： 也拧它对角线上的螺丝，第五个和第六个以此类推，则不 A,B都在内且当钳工的选派方法有C号·C·C= 同的固定方式有 种 10种： A,B都在内且当车工的选派方法有C2·C·C2= 30种： A,B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有 C号·A经·Cg·C=80种： A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C·Cg· C4=20种： 答案48 A,B有一人在内且当车工的选派方法有C·C 解析先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有C日种 C=40种. 方法，再随意拧第三个螺丝和其对角线上的，有C种方 故共有5+10十30十80十20+40=185种选派方法. 法，最后随意拧第五个螺丝和其对角线上的，有C种方 方法二：5名钳工有4名被选上的方法有C；·C十 法，故固定方式共有CCC2=48种. C·C·C十Cg·C·C=75种； 8将4名大学生分配到A,B,C三个工厂参加实习活动，其 5名钳工有3名被选上的方法有Cg·C·C十C: 中A工厂只能安排1名大学生，其余工厂至少安排1名 C·A=100种： 大学生，且甲同学不能分配到C工厂，则不同的分配方案 5名钳工有2名被选上的方法有C号·C·C= 种数是」 10种. 答案15 故共有75十100十10=185种选派方法， 解析若甲同学分配到A工厂，则其余3人应分配到B,C 方法三：4名车工都被选上的方法有C·C十C· 两个工厂，一共有CA号种分配方案，若甲同学分配到B Cg·C+C4·C号·C=35种； 工厂，则又分为两类：一是其余3人分配到A,C两个工 4名车工有3名被选上的方法有C·C·C十C· 厂，而A工厂只能安排1名同学，所以一共有C种分配 Cg·A=120种： 方案：二是从其余3人中选出1人分配到B工厂，其余2 4名车工有2名被选上的方法有C日·C号·C= 人分配到A,C工厂，所以一共有CA种分配方案. 30种. 综上，共有CA号十Cg十CA号=15种不同的分配 故共有35十120+30=185种选派方法. 方策. 30
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 加,则有C 3 4C 1 2A 4 4=192种情况; 若甲、乙两人都参加,则有C 2 4A 2 2A 2 3=72种情况; 故不同的发言顺序种数为192+72=264. 5.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封 中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一 信封,则不同的放法共有 种. 答案 18 解析 因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片, 有3种不同的选法,再从剩下的4个标号的卡片中选两个 放入一个信封有 C 2 4=6种选法,余下的放入最后一个信 封,所以共有3C 2 4=18种不同的放法. 6.有3张都标着字母 A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的 卡片,若任取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同 牌号的总数是 种. 答案 4020 解析 若无字母 A,则有 A 5 6 种;若含有一个字母 A,则有 C 4 6A 4 5 种;若含有两个字母A,则有C 3 6A 3 5 种;若含有三个字 母 A,则有C 2 6A 2 5 种. 综上所述,共有 A 5 6+C 4 6A 4 5+C 3 6A 3 5+C 2 6A 2 5=4020种 不同牌号. 7.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺 丝如图所示,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的 (距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个 也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,则不 同的固定方式有 种. 答案 48 解析 先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有C 1 6 种 方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有 C 1 4 种方 法,最后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有 C 1 2 种方 法,故固定方式共有C 1 6C 1 4C 1 2=48种. 8.将4名大学生分配到 A,B,C三个工厂参加实习活动,其 中 A工厂只能安排1名大学生,其余工厂至少安排1名 大学生,且甲同学不能分配到C工厂,则不同的分配方案 种数是 . 答案 15 解析 若甲同学分配到 A工厂,则其余3人应分配到B,C 两个工厂,一共有 C 2 3A 2 2 种分配方案.若甲同学分配到 B 工厂,则又分为两类:一是其余3人分配到 A,C两个工 厂,而 A工厂只能安排1名同学,所以一共有 C 1 3 种分配 方案;二是从其余3人中选出1人分配到B工厂,其余2 人分配到 A,C工厂,所以一共有C 1 3A 2 2 种分配方案. 综上,共有 C 2 3A 2 2 +C 1 3 +C 1 3A 2 2 =15 种不同的分配 方案. 9.在∠MON 的边OM 上有5个异于O 的点,ON 上有4个 异于O 的点,以这10个点(含O)为顶点,可以得到多少 个三角形? 解 方法一:(直接法)分三种情况考虑:点O 为顶点的三角 形中,必须另外两个顶点分别在OM,ON 上,则有C 1 5C 1 4 个. 点O 不为顶点的三角形中,两个顶点在OM 上,一个 顶点在ON 上的有 C 2 5C 1 4 个;一个顶点在OM 上,两个顶 点在ON 上的有C 1 5C 2 4 个. 因为这是分类问题,所以依据分类加法计数原理,共 有C 1 5C 1 4+C 2 5C 1 4+C 1 5C 2 4=5×4+10×4+5×6=90个. 方法二:(间接法)先不考虑点共线的问题,从10个不 同元素中任取三点的组合数是C 3 10,但其中OM 上的6个 点(含O 点)中任取三点不能构成三角形,ON 上的5个点 (含O 点)中任取三点也不能构成三角形,故共可以得到 C 3 10-C 3 6-C 3 5 个三角形, 即C 3 10-C 3 6-C 3 5=120-20-10=90个. 挑战 创新 车间里有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外 两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工 人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种 选派方法? 解 方法一:设 A,B代表两名老师傅. A,B都不在内的选派方法有C 4 5·C 4 4=5种; A,B都在内且当钳工的选派方法有 C 2 2·C 2 5·C 4 4= 10种; A,B都在内且当车工的选派方法有 C 2 2·C 4 5·C 2 4= 30种; A,B都在内,一人当钳工,一人当车工的选派方法有 C 2 2·A 2 2·C 3 5·C 3 4=80种; A,B有一人在内且当钳工的选派方法有 C 1 2·C 3 5· C 4 4=20种; A,B有一人在内且当车工的选派方法有 C 1 2·C 4 5· C 3 4=40种. 故共有5+10+30+80+20+40=185种选派方法. 方法二:5名钳工有4名被选上的方法有 C 4 5·C 4 4+ C 4 5·C 3 4·C 1 2+C 4 5·C 2 4·C 2 2=75种; 5名钳工有3名被选上的方法有C 3 5·C 4 4·C 1 2+C 3 5· C 3 4·A 2 2=100种; 5名钳工有 2 名被选上的方法有 C 2 5 ·C 2 2 ·C 4 4= 10种. 故共有75+100+10=185种选派方法. 方法三:4名车工都被选上的方法有 C 4 4·C 4 5+C 4 4· C 3 5·C 1 2+C 4 4·C 2 5·C 2 2=35种; 4名车工有3名被选上的方法有C 3 4·C 1 2·C 4 5+C 3 4· C 3 5·A 2 2=120种; 4名车工有 2 名被选上的方法有 C 2 4 ·C 2 2 ·C 4 5= 30种. 故共有35+120+30=185种选派方法. 30