第三章排列、组合与二项式定理 6.现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的 来确定，分三步完成： 英语书，从中任取两本不同学科的书，共有 种 第一步：确定α的值，有3种方法： 不同的取法 第二步：确定b的值，有3种方法： 答案242 第三步：确定c的值，有1种方法. 解析取两本不同学科的书分三类：第一类，取数学书和 依据分步乘法计数原理，这样的抛物线有3×3X1= 语文书，分两步，先取数学书有10种取法，再取语文书有 9条. 9.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②， 9种取法，依据分步乘法计数原理，有10×9=90种：第二 类，取数学书和英语书，同理，有10×8=80种：第三类，取 ③，④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色 语文书和英语书，同理，有9X8=72种. (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法？ 依据分类加法计数原理，共有90十80十72=242种.」 (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值. 7.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞 ① 3 ① 赛，且每科只有1人，其中甲、乙两人不能参加生物竞赛， © 则不同的选派方法共有 种。 ④ ② ④ ② 答案240 解析不同的选派方式可分四步进行：第一步，由题意知， 甲 生物竞赛是特殊位置，故生物竞赛可有4种选派方法：第 解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为 二步，数学竞赛可有5种选派方法：第三步，物理竞赛可有 ①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分 4种选派方法：第四步，化学竞赛可有3种选派方法 步乘法计数原理确定总的方法数 依据分步乘法计数原理，不同的选派方法共有4X (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有 5×4×3=240种. 5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时 8.从{一3，一2，一1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛 有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有 物线方程y=ax2十bx十c的系数，若抛物线经过原点，且 6×5×4×4=480种. 顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？ (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域 解因为抛物线经过原点，所以c=0,从而知c只有1种 着色时有(m一1)种方法，为③区域着色时有(n一2)种方 取值 法，为④区域着色时有（一3）种方法，依据分步乘法计数 又抛物线y=a.x2十bx十c的顶，点在第一象限，所以 原理可得不同的着色方法数为n(n一1)(n一2)(n一3) b >0. 因此n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 2a 顶点坐标满足 整理得(n2-3m)(n2-3m十2)-120=0 4ac-b2 >0 即(n2-3m)2十2(n2-3m)-120=0. 4a 所以n2-3m-10=0或n2-31十12=0（舍去）. 由c=0,解得a<0,b>0,所以a∈{-3，-2，-1}， 解得n=5(n=一2舍去). b∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a,b,c的取值 3.1.2 排列与排列数 第1课时 排列与排列数 1.通过实例，理解排列的概念。 课标定位 2.能利用计数原理推导排列数公式， 素养阐释 3.体会数学抽象的过程，加强数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、排列的定义 提示不是 【问题思考】 (2)共有几种排法？ 1.在学校奖学金发放仪式上，校长和获得特等奖学金的 提示2种，男-校长-女，女-校长-男 两名学生（男、女各一名）合影留念.师生三人站成一排，校长 2.填空：(1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤) 站在中间. 个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中 (1)男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？ 11
第三章 排列、组合与二项式定理 6.现有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的 英语书,从中任取两本不同学科的书,共有 种 不同的取法. 答案 242 解析 取两本不同学科的书分三类:第一类,取数学书和 语文书,分两步,先取数学书有10种取法,再取语文书有 9种取法,依据分步乘法计数原理,有10×9=90种;第二 类,取数学书和英语书,同理,有10×8=80种;第三类,取 语文书和英语书,同理,有9×8=72种. 依据分类加法计数原理,共有90+80+72=242种. 7.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞 赛,且每科只有1人,其中甲、乙两人不能参加生物竞赛, 则不同的选派方法共有 种. 答案 240 解析 不同的选派方式可分四步进行:第一步,由题意知, 生物竞赛是特殊位置,故生物竞赛可有4种选派方法;第 二步,数学竞赛可有5种选派方法;第三步,物理竞赛可有 4种选派方法;第四步,化学竞赛可有3种选派方法. 依据分步乘法计数原理,不同的选派方法共有4× 5×4×3=240种. 8.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取3个不同的数作为抛 物线方程y=ax2+bx+c的系数,若抛物线经过原点,且 顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条? 解 因为抛物线经过原点,所以c=0,从而知c只有1种 取值. 又抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,所以 顶点坐标满足 - b 2a >0, 4ac-b2 4a >0, 由c=0,解得a<0,b>0,所以a∈{-3,-2,-1}, b∈{1,2,3},这样要求的抛物线的条数可由a,b,c的取值 来确定,分三步完成: 第一步:确定a的值,有3种方法; 第二步:确定b的值,有3种方法; 第三步:确定c的值,有1种方法. 依据分步乘法计数原理,这样的抛物线有3×3×1= 9条. 9.用n种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②, ③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)若为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值. 甲 乙 解 完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为 ①,②,③,④这四个区域着色时各自的方法数,再利用分 步乘法计数原理确定总的方法数. (1)为①区域着色时有6种方法,为②区域着色时有 5种方法,为③区域着色时有4种方法,为④区域着色时 有4种方法,依据分步乘法计数原理,不同的着色方法有 6×5×4×4=480种. (2)由题意知,为①区域着色时有n种方法,为②区域 着色时有(n-1)种方法,为③区域着色时有(n-2)种方 法,为④区域着色时有(n-3)种方法,依据分步乘法计数 原理可得不同的着色方法数为n(n-1)(n-2)(n-3). 因此n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 整理得(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0, 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0. 所以n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去). 解得n=5(n=-2舍去). 3.1.2 排列与排列数 第1课时 排列与排列数 课标定位 素养阐释 1.通过实例,理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式. 3.体会数学抽象的过程,加强数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、排列的定义 【问题思考】 1.在学校奖学金发放仪式上,校长和获得特等奖学金的 两名学生(男、女各一名)合影留念.师生三人站成一排,校长 站在中间. (1)男生在左边和女生在左边是相同的排法吗? 提示 不是. (2)共有几种排法? 提示 2种,男 校长 女,女 校长 男. 2.填空:(1)一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n) 个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n 个不同对象中 11
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 取出m个对象的一个排列。 2.填空： (2)特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列） 从n个不同对象中取出m个对象的所有 称为全排列. 排列数定义 排列的个数，称为从n个不同对象中取 二、排列数与排列数公式 出m个对象的排列数 【问题思考】 1.两名同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进 排列数的符号表示 A 行组数字游戏. A=2(n-1)…[n-(m-1)]=n(m-1)… 乘积式 m个数 排列数 1234 公式 (n-m+1) 阶乘式 Am=7 n！ (n-m)！ (1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字 性质 A=nl,A9=1, 的两位数？ 0!=1 提示4×3=12个无重复数字的两位数. 备注 符号Aw中，n,m∈N+,m≤n (2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字 【思考辨析】 的三位数？ 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 提示4×3×2=24个无重复数字的三位数. “√”，错误的画“X” (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一 (1)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞 列，共有多少种不同的排法？ 赛，共有多少种选法属于排列问题」 (/) 提示n(n一1)(m一2)…(n一m十1)种不同的排法. (2)排列数与排列是相同的概念 (×) 课堂·重难突破 样的，不存在顺序问题，不是排列问题」 探究一排列的有关概念 (2)每人的职务不同，例如甲当班长和当学习委员是不 【例1】下列问题是排列问题吗？ 同的，存在顺序问题，属于排列问题 (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做加法，其结 (3)A给B写信与B给A写信是不同的，存在顺序问 果有多少种不同的可能？ 题，属于排列问题 (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做除法有多 探究二排列的列举问题 少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，若选出3个座位安排3位客人入 【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字排成 座，有多少种方法？ 不同的两位数，一共可以排成多少个？ 解(1)不是；(2)是：(3)是.理由是：因为加法运算满足 (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有 交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素 排列： 的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数谁作被除 解(1)由题意作“树状图”，如下. 数不一样，此时与位置有关.“入座”问题同“排队”问题，与顺 序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题. 反思感悟 企个在个 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征： 故排成的所有两位数为12.13.14.21,23.24,31,32. (1)取出的元素无重复. 34,41,42,43,共有12个. (2)取出的元素必须按顺序排列，元素有序还是无 (2)由题意作“树状图”，如下 序是判断是不是排列问题的关键 【变式训练1】判断下列问题是否为排列问题 (I)北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线的飞机 票价格（假设来回的票价相同）： (2)从班里选出3人分别担任班长、学习委员、生活 委员： 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad, (3)某班40名学生在假期期间相互通信. bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac, 解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一 dba,dbc,dca,dcb. 12
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 取出m 个对象的一个排列. (2)特别地,m=n 时的排列(即取出所有对象的排列) 称为全排列. 二、排列数与排列数公式 【问题思考】 1.两名同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进 行组数字游戏. (1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字 的两位数? 提示 4×3=12个无重复数字的两位数. (2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字 的三位数? 提示 4×3×2=24个无重复数字的三位数. (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一 列,共有多少种不同的排法? 提示 n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种不同的排法. 2.填空: 排列数定义 从n个不同对象中取出m 个对象的所有 排列的个数,称为从n 个不同对象中取 出m 个对象的排列数 排列数的符号表示 A m n 排列数 公式 乘积式 A m n =n(n-1)…[n-(m-1)] m个数 =n(n-1)… (n-m+1) 阶乘式 A m n = n! (n-m)! 性质 A n n=n!,A 0 n=1, 0! =1 备注 符号 A m n 中,n,m∈N+ ,m≤n 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞 赛,共有多少种选法属于排列问题. (√) (2)排列数与排列是相同的概念. (×) 课堂·重难突破 探究一 排列的有关概念 【例1】下列问题是排列问题吗? (1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数字做加法,其结 果有多少种不同的可能? (2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数字做除法有多 少种不同的可能? (3)会场有50个座位,若选出3个座位安排3位客人入 座,有多少种方法? 解 (1)不是;(2)是;(3)是.理由是:因为加法运算满足 交换律,所以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素 的位置无关,但列除法算式时,两个元素谁作除数谁作被除 数不一样,此时与位置有关.“入座”问题同“排队”问题,与顺 序有关,故选3个座位安排3位客人入座是排列问题. 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征: (1)取出的元素无重复. (2)取出的元素必须按顺序排列.元素有序还是无 序是判断是不是排列问题的关键. 【变式训练1】判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线的飞机 票价格(假设来回的票价相同); (2)从班里选出3人分别担任班长、学习委员、生活 委员; (3)某班40名学生在假期期间相互通信. 解 (1)票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一 样的,不存在顺序问题,不是排列问题. (2)每人的职务不同,例如甲当班长和当学习委员是不 同的,存在顺序问题,属于排列问题. (3)A给B写信与 B给 A 写信是不同的,存在顺序问 题,属于排列问题. 探究二 排列的列举问题 【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字排成 不同的两位数,一共可以排成多少个? (2)写出从4个元素a,b,c,d 中任取3个元素的所有 排列. 解 (1)由题意作“树状图”,如下. 故排成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32, 34,41,42,43,共有12个. (2)由题意作“树状图”,如下. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad, bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac, dba,dbc,dca,dcb. 12
第三章排列、组合与二项式定理 ①反思感悟 n! n! 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及 (n一m)! (n-m)月· n+1-m 策略： =m· n! (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多 n+1-m (n+1-m刀=mA,所以A1-A= 的问题时，是一种比较有效的表示方式 mA-1. (2)策略：在操作中首先将元素按一定顺序排出， 方法二：A+1表示从n十1个元素中取出m个元素的 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排 排列个数，其中不含元素a1的有A”个 第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个 含有元素a1的可这样进行排列： 排列，这样能做到不重不漏，最后按树状图写出排列. 先排元素a1,有m种排法，再从另外n个元素中取出 m一1个元素排在剩下的m一1个位置上，有A种排法. 【变式训练2】某药品研究所研制了5种消炎药a1, 故A+1=mA-1+A, a2,ag,a4,a5,4种退热药b,b2,b,b,现从中取两种消炎药 所以A+1一A”=mA- 和一种退热药同时进行药效试验，但a1,a2两种药或同时用 ①反思感悟 或同时不用，a,b,两种药不能同时使用，试写出所有不同试 排列数公式的形式及选择方法： 验方法 排列数公式有两种形式，一种是乘积式，另一种是 解如图， 阶乘式.若要计算含有数字的排列数的值，常用乘积式 a1,a2 进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形 或作有关的论证时，一般用阶乘式， 同时用 同时不用 (4种) a用 a不用 【变式训练】计慎：略智 A (2×3种 (1×4种) 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1, 解1A-7X6x5X4X3X2X1=6 A 7×6×5×4 aazba,aazbs,aazb,agab,agaba,asaba,asas bi,asasba (n-1)! agas ba,aa5b1,a4ab2,aua5bg,a,asb4,共14种. (2)原式=m-m-1Jn-m)!‘m-D (n-1)! 1 探究三排列数公式及应用 (n-m)! ·(n-m)！ (n-1)1=1. 【例3】1)计算：A:(2)计算。-定 A+A 易错辨析 忽视排列数公式中的隐含条件而致误 (3)求证：A+1-A=mA 【典例】解不等式：<6A (1)解A8=6!=6×5×4×3×2×1=720. 8! 8! A3+A; (2)解方法一：A。-A。 错解由<6A,得8P<6×a0·化简 得x2-19x十84<0，解得7<x<12. 9X8×7×6×5+9×8×7×6 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ =10x9X8×7×6X5-10×9X8X7X6 你如何改正？你如何防范？ 9×8×7×6×(5+1) 提示本题若忽视符号A中的条件“m,n∈N+”,则易 =10X9×8×7×6×(5=d 得到7<x<12.若忽视符号A中的条件“m≤n”,则易得到 “7<x<12,且x∈N+,即x=8,9,10,11”的错误结论 器+開 正解由A<6A,得8<6Xao 8! A+A 方法二：。-。0-可 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12.① 4！5! 0<x≤8， 故2<x≤8.② (+)×器 又0-2∠8， 由①②及x∈N+,得x=8. -)×9 飞防范措施 在解排列数的方程或不等式时，要注意排列数A 6×9! =1x0时 中，m,n∈N+,且m≤n这些限制条件，要注意含排列 数的方程和不等式中未知数的取值范围， (n+1)! 随堂训练 (3)证明方法一：因为A1一A=(十1-m月 1.(多选题)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数运算，按照 13
第三章 排列、组合与二项式定理 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及 策略: (1)适用范围:“树状图”在解决排列元素个数不多 的问题时,是一种比较有效的表示方式. (2)策略:在操作中首先将元素按一定顺序排出, 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排 第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个 排列,这样能做到不重不漏,最后按树状图写出排列. 【变式训练2】某药品研究所研制了5种消炎药a1, a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药 和一种退热药同时进行药效试验,但a1,a2 两种药或同时用 或同时不用,a3,b4 两种药不能同时使用,试写出所有不同试 验方法. 解 如图, 由树状 图 可 写 出 所 有 不 同 试 验 方 法 如 下:a1a2b1, a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2, a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种. 探究三 排列数公式及应用 【例3】(1)计算:A 6 6;(2)计算: A 5 9+A 4 9 A 6 10-A 5 10 ; (3)求证:A m n+1-A m n =mA m-1 n . (1)解 A 6 6=6!=6×5×4×3×2×1=720. (2)解 方法一: A 5 9+A 4 9 A 6 10-A 5 10 = 9×8×7×6×5+9×8×7×6 10×9×8×7×6×5-10×9×8×7×6 = 9×8×7×6×(5+1) 10×9×8×7×6×(5-1) = 3 20 . 方法二: A 5 9+A 4 9 A 6 10-A 5 10 = 9! 4!+ 9! 5! 10! 4! - 10! 5! = 1+ 1 5 × 9! 4! 1- 1 5 × 10! 4! = 6×9! 4×10! = 3 20 . (3)证明 方法一:因为 A m n+1 -A m n = (n+1)! (n+1-m)! - n! (n-m)! = n! (n-m)! · n+1 n+1-m -1 = n! (n-m)! · m n+1-m =m· n! (n+1-m)!=mA m-1 n ,所以 A m n+1-A m n = mA m-1 n . 方法二:A m n+1 表示从n+1个元素中取出m 个元素的 排列个数,其中不含元素a1 的有 A m n 个. 含有元素a1 的可这样进行排列: 先排元素a1,有m 种排法,再从另外n 个元素中取出 m-1个元素排在剩下的m-1个位置上,有 A m-1 n 种排法. 故 A m n+1=mA m-1 n +A m n, 所以 A m n+1-A m n =mA m-1 n . 排列数公式的形式及选择方法: 排列数公式有两种形式,一种是乘积式,另一种是 阶乘式.若要计算含有数字的排列数的值,常用乘积式 进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形 或作有关的论证时,一般用阶乘式. 【变式训练3】计算:(1) A 7 7 A 4 7 ;(2) A m-1 n-1A n-m n-m A n-1 n-1 . 解 (1) A 7 7 A 4 7 = 7×6×5×4×3×2×1 7×6×5×4 =6. (2)原式= (n-1)! [n-1-(m-1)]! ·(n-m)! · 1 (n-1)!= (n-1)! (n-m)! ·(n-m)! · 1 (n-1)!=1. 易 错 辨 析 忽视排列数公式中的隐含条件而致误 【典例】解不等式:A x 8<6A x-2 8 . 错解 由 A x 8<6A x-2 8 ,得 8! (8-x)!<6× 8! (10-x)! ,化简 得x2-19x+84<0,解得7<x<12. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 本题若忽视符号 A m n 中的条件“m,n∈N+ ”,则易 得到7<x<12.若忽视符号A m n 中的条件“m≤n”,则易得到 “7<x<12,且x∈N+ ,即x=8,9,10,11”的错误结论. 正解 由 A x 8<6A x-2 8 ,得 8! (8-x)!<6× 8! (10-x)! , 化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12.① 又 0<x≤8, 0<x-2≤8, 故2<x≤8.② 由①②及x∈N+ ,得x=8. 在解排列数的方程或不等式时,要注意排列数 A m n 中,m,n∈N+ ,且m≤n 这些限制条件,要注意含排列 数的方程和不等式中未知数的取值范围. 随堂训练 1.(多选题)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数运算,按照 13
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 计算结果，可以看作排列问题的运算为( 为30-n. A.加法 B.减法 4.若A"=17X16×15×…×5×4,则n= m= C.乘法 D.除法 答案BD 答案1714 解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加 解析因为A"=n(n-1)(n-2)…(n-m十1)=17× 法和乘法运算时，结果与两数字位置无关，故不是排列问 16×15×…×5×4,所以n=17.又n-m十1=4，所以 题，而减法和除法运算与两数字的位置有关，故是排列 m=14. 问题 5.(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且 2.A,B,C三名同学照相留念，三人站成一排，所有排列的方 n<55): 法种数为( A.3 B.4 (2)计算，2A+7A A8-A5 C.6 D.12 解(1)图为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69- 答案C n,且共有69一n一(55一n)+1=15个元素，所以(55一n)· 解析列举如下：A-B-C,A-C-B,BA-C,B-C-A,CA-B,C (56-n)…(69-n)=A8。 B-A.共6种. (2)2A+74 3.若n∈N+,n<20,则(20-n)(21-n)(22-n)…(29-n)· AS-AS (30一n)等于( 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 A.A8-。 B.A0- 8×7X6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 C.A9- D.A”- 8×7×6×5×(8+7) 8X7×6X5×(24-9) 答案D =1 解析从(20一n)到(30一n)共有11个数，其中最大的数 课后·训练提升 1.(多选题)下列为排列问题的是( A从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理 A-Ai=( 4. A 兴趣小组 A.12 B.24 C.30 D.36 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 答案D C.从a,b,c,d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两 解析因为A9=7X6X,A=6X代，所以原式=36A A 位数 36. 答案AD 5.(多选题)下列各式与排列数A相等的是() 解析由排列的定义知A,D是排列问题」 n! 2.89×90×91×…×100可表示为() Am-m+1)刀 A.Aioo B.Aio C.Aio D.A18 B.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 答案C C.nA” “n-m+1 解析A1。=100×99×…×(100-12+1)=100× D.ALA 99×…X89. 答案BD 3.已知A8n=2A+1,则log25的值为( ) A.1 B.2 解析由排列数公式可知A=n(n一1)(n一2)…(n C.4 D.不确定 m十1)，故B正确： 答案B N=a两心A=×积器- 解析因为A=2A+1,所以2m·(21-1)·(2n-2)= n! 2(n+1)·n·(n-1)·(n-2). n-m刀，即AA=A八，故D正确 由题意知2n≥3，且n十1≥4. 6.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成 即n≥3，整理方程， 个以b为首的不同的排列，它们分别是 解得n=5, 所以l10g25=2. 14
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 计算结果,可以看作排列问题的运算为( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 答案 BD 解析 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加 法和乘法运算时,结果与两数字位置无关,故不是排列问 题,而减法和除法运算与两数字的位置有关,故是排列 问题. 2.A,B,C三名同学照相留念,三人站成一排,所有排列的方 法种数为( ) A.3 B.4 C.6 D.12 答案 C 解析 列举如下:A-B-C,A-C-B,B-A-C,B-C-A,C-A-B,CB-A.共6种. 3.若n∈N+ ,n<20,则(20-n)(21-n)(22-n)…(29-n)· (30-n)等于( ) A.A 10 20-n B.A 11 20-n C.A 10 30-n D.A 11 30-n 答案 D 解析 从(20-n)到(30-n)共有11个数,其中最大的数 为30-n. 4.若 A m n =17×16×15×…×5×4,则n= ,m= . 答案 17 14 解析 因为 A m n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=17× 16×15×…×5×4,所以n=17.又n-m+1=4,所以 m=14. 5.(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+ ,且 n<55); (2)计算: 2A 5 8+7A 4 8 A 8 8-A 5 9 . 解 (1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69- n,且共有69-n-(55-n)+1=15个元素,所以(55-n)· (56-n)…(69-n)=A 15 69-n. (2) 2A 5 8+7A 4 8 A 8 8-A 5 9 = 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 = 8×7×6×5×(8+7) 8×7×6×5×(24-9) =1. 课后·训练提升 1.(多选题)下列为排列问题的是( ) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理 兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a,b,c,d 中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两 位数 答案 AD 解析 由排列的定义知 A,D是排列问题. 2.89×90×91×…×100可表示为( ) A.A 10 100 B.A 11 100 C.A 12 100 D.A 13 100 答案 C 解析 A 12 100 =100×99× … × (100-12+1)=100× 99×…×89. 3.已知 A 3 2n=2A 4 n+1,则logn25的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 答案 B 解析 因为 A 3 2n=2A 4 n+1,所以2n·(2n-1)·(2n-2)= 2(n+1)·n·(n-1)·(n-2). 由题意知2n≥3,且n+1≥4, 即n≥3,整理方程, 解得n=5, 所以logn25=2. 4. A 6 7-A 5 6 A 4 5 =( ) A.12 B.24 C.30 D.36 答案 D 解析 因为A 6 7=7×6×A 4 5,A 5 6=6×A 4 5,所以原式= 36A 4 5 A 4 5 = 36. 5.(多选题)下列各式与排列数 A m n 相等的是( ) A. n! (n-m+1)! B.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) C. nA m n-1 n-m+1 D.A 1 nA m-1 n-1 答案 BD 解析 由排列数公式可知 A m n =n(n-1)(n-2)…(nm+1),故B正确; A m n = n! (n-m)! ,而 A 1 nA m-1 n-1 =n × (n-1)! (n-m)! = n! (n-m)! ,即 A 1 nA m-1 n-1=A m n,故D正确. 6.从a,b,c,d,e 五个元素中每次取出三个元素,可组成 个以b为首的不同的排列,它们分别是 . 14
第三章排列、组合与二项式定理 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde, 所以3x2-17x+10=0. bea,bec,bed 解析画出树状图如下： 解得r=5或x=子（合去）. 所以x=5. -bac 10.解不等式：A2+1<140A3. bad |2x+14, hae 解根据原不等式，x∈N+,且应满足 x≥3， bca bed 解得x≥3. bce 根据排列数公式，原不等式可化为(2x十1)·2x· bda (2x-1)·(2x-2)<140x·(x-1)·(x-2). bdc x≥3， bde ∴.两边同除以4x(x一1)，得(2x十1)·(2x一1)< a- bea bec 35(x-2). bed 即4x2-35.x+690. 它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,be,bda,bdc, bde,bea,bec,bed,共l2个. 韩得3C15是 7.若集合P={x|x=A:,m∈N+},则集合P中共有 ,x∈N+, ∴.x=4或x=5. 个元素. 11.(1)解不等式：A2<6A5: 答案3 (2)证明A+一A:=nA:,并用此结论计算A十2A十 解析由题意知，m=1,2,3,4,由A=A,故集合P中共 3Ag十+8A8. 有3个元素. (1)解原不等式等价于 8满足不等 元>12的n的最小值为 8！ 8! [8-(x+2Jj<6×(8=x 答案10 x+2≤8，且x∈N+, 解折向持列数公式，得 >12, 整理得15x+50<0. x≤6，且x∈N+. 即(n-5)(n-6)>12, 即5<x≤6，且x∈N+,从而解得x=6. 解得n>9或n<2. (2)证明A+1-A=(n十1)！-n! 又n≥7，所以n>9. =(n十1)n!-n! 又n∈N,, =n·n! 所以n的最小值为10. =nA". 9.(1)计算A和A8: A1+2A+3A++8A (2)若3A=2A+1十6A2,求x的值 =(A-A)+(Ag-A)+…+(A;-A)+(Ag 解(1)A=15×14X13=2730,Ag=6×5×4×3×2× A8) 1=720. =A8-A (2)由3A3=2A2+1十6A2,得3x(x-1)(x-2)= =9!-1 2(x+1)x+6.x(x-1). =362879, 因为x≥3，且x∈N+, 第2课时 排列数的应用 1.会用排列数公式解决一些简单的实际问题 课标定位 2.掌握有限制条件的排列问题的基本解法】 素养阐释 3.加强数学建模、数学抽象和数学运算能力的培养 15
第三章 排列、组合与二项式定理 答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde, bea,bec,bed 解析 画出树状图如下: 它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc, bde,bea,bec,bed,共12个. 7.若集合 P = {x|x=A m 4 ,m ∈N+ },则集合 P 中共有 个元素. 答案 3 解析 由题意知,m=1,2,3,4,由 A 3 4=A 4 4,故集合P 中共 有3个元素. 8.满足不等式 A 7 n A 5 n >12的n的最小值为 . 答案 10 解析 由排列数公式,得 n! (n-5)! (n-7)! n!>12, 即(n-5)(n-6)>12, 解得n>9或n<2. 又n≥7,所以n>9, 又n∈N+ , 所以n的最小值为10. 9.(1)计算 A 3 15 和 A 6 6; (2)若3A 3 x=2A 2 x+1+6A 2 x,求x 的值. 解 (1)A 3 15=15×14×13=2730,A 6 6=6×5×4×3×2× 1=720. (2)由3A 3 x =2A 2 x+1+6A 2 x,得3x(x-1)(x-2)= 2(x+1)x+6x(x-1). 因为x≥3,且x∈N+ , 所以3x2-17x+10=0. 解得x=5或x= 2 3 (舍去). 所以x=5. 10.解不等式:A 4 2x+1<140A 3 x. 解 根据原不等式,x∈N+ ,且应满足 2x+1≥4, x≥3, 解得x≥3. 根据排列数公式,原不等式可化为(2x+1)·2x· (2x-1)·(2x-2)<140x·(x-1)·(x-2). ∵x≥3, ∴两边同除以4x(x-1),得(2x+1)·(2x-1)< 35(x-2), 即4x2-35x+69<0, 解得3<x<5 3 4 . ∵x∈N+ , ∴x=4或x=5. 11.(1)解不等式:A x+2 8 <6A x 8; (2)证明 A n+1 n+1-A n n=nA n n,并用此结论计算A 1 1+2A 2 2+ 3A 3 3+…+8A 8 8. (1)解 原不等式等价于 8! [8-(x+2)]!<6× 8! (8-x)! , x+2≤8,且x∈N+ , 整理得 x2-15x+50<0, x≤6,且x∈N+ . 即5<x≤6,且x∈N+ ,从而解得x=6. (2)证明 A n+1 n+1-A n n=(n+1)! -n! =(n+1)n! -n! =n·n! =nA n n. A 1 1+2A 2 2+3A 3 3+…+8A 8 8 =(A 2 2-A 1 1)+(A 3 3-A 2 2)+…+(A 8 8-A 7 7)+(A 9 9- A 8 8) =A 9 9-A 1 1 =9! -1 =362879. 第2课时 排列数的应用 课标定位 素养阐释 1.会用排列数公式解决一些简单的实际问题. 2.掌握有限制条件的排列问题的基本解法. 3.加强数学建模、数学抽象和数学运算能力的培养. 15