数学 选择性必修 第二册 配人教B版 A.11种 B.30种 C.55种 D.65种 答案9 答案B 解析设4人为甲、乙、丙、丁，分两步进行： 解析先选1名男队员有6种方法，再选1名女队员有5 第一步，让甲拿，有三种方法： 种方法，故共有6×5=30种不同的组队方法. 第二步，让写甲拿到的卡片的人去拿，有三种方法，剩 2.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶 余两人只有一种拿法，故共有3×3×1X1=9种不同的分 点的连线称为它的对角线，则一个正五棱柱对角线的条数 配方式 为() 7.用0,1,2,3可以排成多少个数字不重复的三位偶数？ A.20 B.15 C.12 D.10 解第1类：末位为0. 答案D 第1步，排末位，有1种方法：第2步，排首位，从1,2 解析由题意，正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点 3中选1个，有3种方法：第3步，排十位，有2种方法. 和下底面的一个顶点的连线.因为不同在任何侧面内，所 故此类方法中有1×3×2=6个偶数. 以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱对角线 第2类：末位为2. 的条数为2×5=10. 第1步，排末位，有1种方法：第2步，排首位，从1,3 3.(多选题)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则 中选1个，有2种方法：第3步，排十位，有2种方法」 方程(x一a)2十(y一b)2=r2可表示不同的圆的个数用式 故此类方法中有1×2×2=4个偶数 子表示为( 则一共有6十4=10个满足条件的不同数字 A.4+4十4十4十4十4 B.4+4+4+4 8.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参 C.3×4 D.3×4×2 加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，从其余7 答案AD 名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排 共有多少种？ 解析方法一：完成表示不同的圆这件事可以分三步完 解按出场位置顺序逐一安排： 成：第一步，确定α有3种不同的选取方法：第二步，确定 b有4种不同的选取方法：第三步，确定r有2种不同的 第一位置有3种安排方法： 选取方法」 第二位置有7种安排方法： 由分步乘法计数原理，方程(x一a)2十(y一b)2=r2 第三位置有2种安排方法： 可表示不同的圆共有3×4×2=24个. 第四位置有6种安排方法； 方法二：由分类加法计数原理，得当a=1时，b=4,5, 第五位置有1种安排方法. 6,7,r=8或9，有4十4种：当a=2时，b=4,5,6,7,r=8 由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3X 或9，有4十4种：当a=3时，b=4,5,6,7,r=8或9，有 7×2×6×1=252种】 4十4种，故方程(x-a)2十(y-b)2=r2可表示不同的圆 挑战·创新 共有4十4十4十4十4十4=24个. 4.已知三个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中两个 (1)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位 车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为 密码？ n,则n的值为 (2)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位数？ 答案74 解(1)完成“排成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤： 解析不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类」 第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取 从甲、乙车队各抽取一辆车共有4×5=20种方案；从 方法； 甲、丙车队各抽取一辆车共有4X6=24种方案：从乙、丙 第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取 车队各抽取一辆车共有5×6=30种方案，所以共有20十 方法； 24十30=74种抽调方案」 第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取 5.三边均为整数，且最大边长为11的三角形有 个 方法： 答案36 第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取 解析另两边长分别用x,y表示，且不妨设1ry11 方法. 要构成三角形，需x十y≥12.当y=11时，x∈{1,2，…， 由分步乘法计数原理知，可排成不同的四位密码共有 11},有11个三角形：当y=10时，x∈{2,3，…，10}，有9个 N=5×4×3×2=120个. 三角形：…当y=6时，x=6,有1个三角形. (2)完成“排成无重复数字的四位数”这件事，可以分 故满足条件的三角形有11十9+7+5十3十1=36个. 四个步骤： 6.同寝室四人各写一张贺卡，首先集中起来，然后每人从中 第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有 拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同的分配方式有 4种不同的选取方法； 种 第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数 6
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 A.11种 B.30种 C.56 种 D.65 种 答案 B 解析 先选1名男队员有6种方法,再选1名女队员有5 种方法,故共有6×5=30种不同的组队方法. 2.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶 点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线的条数 为( ) A.20 B.15 C.12 D.10 答案 D 解析 由题意,正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点 和下底面的一个顶点的连线.因为不同在任何侧面内,所 以从一个顶点出发的对角线有2条.所以正五棱柱对角线 的条数为2×5=10. 3.(多选题)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则 方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数用式 子表示为( ) A.4+4+4+4+4+4 B.4+4+4+4 C.3×4 D.3×4×2 答案 AD 解析 方法一:完成表示不同的圆这件事可以分三步完 成:第一步,确定a 有3种不同的选取方法;第二步,确定 b有4种不同的选取方法;第三步,确定r 有2种不同的 选取方法. 由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆共有3×4×2=24个. 方法二:由分类加法计数原理,得当a=1时,b=4,5, 6,7,r=8或9,有4+4种;当a=2时,b=4,5,6,7,r=8 或9,有4+4种;当a=3时,b=4,5,6,7,r=8或9,有 4+4种,故方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆 共有4+4+4+4+4+4=24个. 4.已知三个车队分别有4辆、5辆、6辆车,现欲从其中两个 车队各抽取一辆车外出执行任务,设不同的抽调方案数为 n,则n的值为 . 答案 74 解析 不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分3类. 从甲、乙车队各抽取一辆车共有4×5=20种方案;从 甲、丙车队各抽取一辆车共有4×6=24种方案;从乙、丙 车队各抽取一辆车共有5×6=30种方案,所以共有20+ 24+30=74种抽调方案. 5.三边均为整数,且最大边长为11的三角形有 个. 答案 36 解析 另两边长分别用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11. 要构成三角形,需x+y≥12.当y=11时,x∈{1,2,…, 11},有11个三角形;当y=10时,x∈{2,3,…,10},有9个 三角形;……当y=6时,x=6,有1个三角形. 故满足条件的三角形有11+9+7+5+3+1=36个. 6.同寝室四人各写一张贺卡,首先集中起来,然后每人从中 拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同的分配方式有 种. 答案 9 解析 设4人为甲、乙、丙、丁,分两步进行: 第一步,让甲拿,有三种方法; 第二步,让写甲拿到的卡片的人去拿,有三种方法,剩 余两人只有一种拿法,故共有3×3×1×1=9种不同的分 配方式. 7.用0,1,2,3可以排成多少个数字不重复的三位偶数? 解 第1类:末位为0. 第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,2, 3中选1个,有3种方法;第3步,排十位,有2种方法. 故此类方法中有1×3×2=6个偶数. 第2类:末位为2. 第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,3 中选1个,有2种方法;第3步,排十位,有2种方法. 故此类方法中有1×2×2=4个偶数. 则一共有6+4=10个满足条件的不同数字. 8.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参 加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,从其余7 名队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的出场安排 共有多少种? 解 按出场位置顺序逐一安排: 第一位置有3种安排方法; 第二位置有7种安排方法; 第三位置有2种安排方法; 第四位置有6种安排方法; 第五位置有1种安排方法. 由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有3× 7×2×6×1=252种. 挑战 创新 (1)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位 密码? (2)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位数? 解 (1)完成“排成无重复数字的四位密码”这件事,可以 分四个步骤: 第一步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取 方法; 第二步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取 方法; 第三步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取 方法; 第四步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取 方法. 由分步乘法计数原理知,可排成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120个. (2)完成“排成无重复数字的四位数”这件事,可以分 四个步骤: 第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有 4种不同的选取方法; 第二步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数 6
第三章排列、组合与二项式定理 字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法： 字，有2种不同的选取方法 第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数 由分步乘法计数原理知，可排成不同的四位数共有 字，有3种不同的选取方法： N=4×4×3×2=96个. 第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数 习题课—基本计数原理的综合应用 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系， 课标定位 2能综合运用两个原理解决一些实际问题」 素养阐释 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养」 课前·基础认知 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 法的种数分别是( 和联系 A.4320,39 B.39,39 【问题思考】 C.39,4320 D.4320,4320 1. 答案C 联系与 解析①任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪个 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别 人，“任选1人去献血”的事情都可以完成，根据分类加法计 数原理，共有18十10十8十3=39种不同选法.②要从四种血 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决的都是 联系 型的人中各选1人去献血，即要在每种血型的人中依次选出 关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 1人后，“从四种血型的人中各选1人去献血”的事情才能完 分类加法计数原理针对的 分步乘法计数原理针对的 成，因此用分步乘法计数原理，共有18×10×8×3=4320 区别 是“分类”问题 是“分步”问题 种不同的选法」 【思考辨析】 区别二 各种方法相互独立 各个步骤互相依存 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 任何一种方法都可以完成只有各个步骤都完成才算 “√”，错误的画“X”. 区别三 这件事 完成这件事 (1)如果完成一件事有两类办法，第一类办法中有m种 不同的方法，第二类办法中有n种不同的方法，那么完成这 2.做一做：某单位职工开展无偿献血活动，在体检合格 件事有mm种方法. (×) 的员工中，O型血的有18人，A型血的有10人，B型血的有 (2)在分步乘法计数原理中，只有所有步骤都完成，才能 8人，AB型血的有3人.若完成下面两件事：①从中任选1 完成这件事 (/) 人去献血：②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选 课堂 重难突破 第二步，确定十位上的数字，共有5种方法： 探究一 组数问题 第三步，确定个位上的数字，共有5种方法 【例1】用0,1,2,3,4五个数字， 依据分步乘法计数原理，共有4×5×5=100种方法. (1)可以排成多少个三位数字的号码？（数字允许重复） (3)被2整除的数即偶数，未位数字可取0,2,4，因此， (2)可以排成多少个三位数？（各位上数字允许重复） 可以分两类：一类是末位数字是0，分两步，第一步，首位有4 (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三 种排法，第二步，十位有3种排法，依据分步乘法计数原理， 位数？ 则有4×3=12种排法：一类是末位数字不是0，分三步，第 解(1)三位数字的号码，首位可以是0，数字也可以重 一步，未位有2种排法，即2或4，第二步，再排首位，因为0 不能在首位，所以有3种排法，第三步，十位有3种排法，依 复，每个位置都有5种排法，故可以分3步进行，每步有5种方 据分步乘法计数原理，有2X3X3=18种排法 法，依据分步乘法计数原理，共有5X5×5=5=125种方法. 综上所述，依据分类加法计数原理，有12十18=30种排 (2)排成一个三位数，可以分为三步：第一步，确定百位 法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 上的数字，百位上数字不能为0，共有4种方法：
第三章 排列、组合与二项式定理 字中选取一个数字作百位数字,有4种不同的选取方法; 第三步,从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数 字,有3种不同的选取方法; 第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数 字,有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理知,可排成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96个. 习题课———基本计数原理的综合应用 课标定位 素养阐释 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系. 2.能综合运用两个原理解决一些实际问题. 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 和联系 【问题思考】 1. 联系与 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是 关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一 分类加法计数原理针对的 是“分类”问题 分步乘法计数原理针对的 是“分步”问题 区别二 各种方法相互独立 各个步骤互相依存 区别三 任何一种方法都可以完成 这件事 只有各个步骤都完成才算 完成这件事 2.做一做:某单位职工开展无偿献血活动,在体检合格 的员工中,O型血的有18人,A型血的有10人,B型血的有 8人,AB型血的有3人.若完成下面两件事:①从中任选1 人去献血;②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选 法的种数分别是( ) A.4320,39 B.39,39 C.39,4320 D.4320,4320 答案 C 解析 ①任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪个 人,“任选1人去献血”的事情都可以完成,根据分类加法计 数原理,共有18+10+8+3=39种不同选法.②要从四种血 型的人中各选1人去献血,即要在每种血型的人中依次选出 1人后,“从四种血型的人中各选1人去献血”的事情才能完 成,因此用分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4320 种不同的选法. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)如果完成一件事有两类办法,第一类办法中有m 种 不同的方法,第二类办法中有n 种不同的方法,那么完成这 件事有mn种方法. (×) (2)在分步乘法计数原理中,只有所有步骤都完成,才能 完成这件事. (√) 课堂·重难突破 探究一 组数问题 【例1】用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的号码? (数字允许重复) (2)可以排成多少个三位数? (各位上数字允许重复) (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三 位数? 解 (1)三位数字的号码,首位可以是0,数字也可以重 复,每个位置都有5种排法,故可以分3步进行,每步有5种方 法,依据分步乘法计数原理,共有5×5×5=53=125种方法. (2)排成一个三位数,可以分为三步:第一步,确定百位 上的数字,百位上数字不能为0,共有4种方法; 第二步,确定十位上的数字,共有5种方法; 第三步,确定个位上的数字,共有5种方法. 依据分步乘法计数原理,共有4×5×5=100种方法. (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此, 可以分两类:一类是末位数字是0,分两步,第一步,首位有4 种排法,第二步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理, 则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,分三步,第 一步,末位有2种排法,即2或4,第二步,再排首位,因为0 不能在首位,所以有3种排法,第三步,十位有3种排法,依 据分步乘法计数原理,有2×3×3=18种排法. 综上所述,依据分类加法计数原理,有12+18=30种排 法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 7
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 延伸探究 解(1)从中选派1名去参加外出学习，共有三类不同 由本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位 的选法： 奇数？ 第一类，选出的是医生，有3种选法； 解完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 第二类，选出的是护士，有5种选法： 四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法： 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法」 第二步定千位，有3种方法：第三步定百位，有3种方法：第 根据分类加法计数原理，共有3十5十2=10种选法. 四步定十位，有2种方法 (2)组成1个医疗小组，分三步： 依据分步乘法计数原理，共有2×3×3X2=36个无重 第一步，选1名医生，有3种选法： 复数字的四位奇数」 第二步，选1名护士，有5种选法： 反思感悟 第三步，选1名麻醉师，有2种选法」 对于组数问题，应掌握以下原则： 根据分步乘法计数原理，共有3×5×2=30种选法。 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类” 反思感悟 还是“分步”的关键.一殼按特殊位置（末位或首位）分 解决选（抽）取与分配问题的方法： 类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树 步完成：如果正面分类较多，那么可采用间接法求解， 状图法、框图法或者图表法」 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： 以上的数的最高位 ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘 法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进 【变式训练1】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两 行：若是按对象特征抽取的，则按分类进行 个数字，排成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ②间接法.先去掉限制条件，计算所有的抽取方法 ,奇数的个数为 数，再减去所有不符合条件的抽取方法数即可 答案1218 【变式训练2】有一项活动，需在3名教师、8名男学 解析若要求排成的数字是偶数，分为三步完成：第一 生和5名女学生中选人参加. 步，从0和2中任选一个数字放在个位，有2种选法：第二 (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ 步，从1,3,5中选1个数字放在百位，有3种选法：第三步， (2)若需教师、男学生、女学生各一人参加，有多少种不 从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位，有2种 同选法？ 选法 (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ 依据分步乘法计数原理，偶数共有2×3×2=12个. 解(1)只需一人参加共有三类选人的方法：第一类，从 若是奇数，此三位数可以分成两种情况，即奇偶奇，偶奇 奇.若是第一种奇偶奇的情况，则可以分三步完成：第一步， 3名教师中选一人，有3种方法：第二类，从8名男学生中选 一人，有8种方法：第三类，从5名女学生中选一人，有5种 从1,3,5中选1个数字放在个位，有3种选法：第二步，从0， 2中选1个数字放在十位，有2种选法：第三步，从1,3,5中 方法 剩下的2个数字中选1个数字放在百位，有2种选法」 依据分类加法计数原理，共有3十8十5=16种选法 (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法：第二步选 根据分步乘法计数原理，不同的选法有3×2×2= 12种 男学生，有8种方法：第三步选女学生，有5种方法 若是第二种偶奇奇的情况，可以分三步完成：第一步，从 依据分步乘法计数原理，共有3×8×5=120种选法. 1,3,5中选1个数字放在个位，有3种选法：第二步，从1,3， (3)可分两类，每一类又分两步，第一类：先选一名教师， 再选一名男学生，共有3×8=24种选法：第二类：先选一名 5剩下的2个数字中选1个数字放在十位，有2种选法：第 三步，从0,2中，排除0，共有1个数字放在百位，有1种 教师，再选一名女学生，共有3×5=15种选法. 选法 依据分类加法计数原理，共有24十15=39种选法」 依据分步乘法计数原理，不同的选法共有3X2X1一 探究三涂色与种植问题 6种. 故奇数共有12十6=18个」 【例3】(1)如图，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜 探究二选（抽）取与分配问题 色多次使用，则不同的涂法种数为( ) 【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的 选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师 D 组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 8
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 由本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位 奇数? 解 完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分 四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法; 第二步定千位,有3种方法;第三步定百位,有3种方法;第 四步定十位,有2种方法. 依据分步乘法计数原理,共有2×3×3×2=36个无重 复数字的四位奇数. 对于组数问题,应掌握以下原则: (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类” 还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分 类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分 步完成;如果正面分类较多,那么可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 以上的数的最高位. 【变式训练1】从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两 个数字,排成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 ,奇数的个数为 . 答案 12 18 解析 若要求排成的数字是偶数,分为三步完成:第一 步,从0和2中任选一个数字放在个位,有2种选法;第二 步,从1,3,5中选1个数字放在百位,有3种选法;第三步, 从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种 选法. 依据分步乘法计数原理,偶数共有2×3×2=12个. 若是奇数,此三位数可以分成两种情况,即奇偶奇,偶奇 奇.若是第一种奇偶奇的情况,则可以分三步完成:第一步, 从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从0, 2中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,从1,3,5中 剩下的2个数字中选1个数字放在百位,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法有 3×2×2= 12种. 若是第二种偶奇奇的情况,可以分三步完成:第一步,从 1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从1,3, 5剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法;第 三步,从0,2中,排除0,共有1个数字放在百位,有1种 选法. 依据分步乘法计数原理,不同的选法共有3×2×1= 6种. 故奇数共有12+6=18个. 探究二 选(抽)取与分配问题 【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的 选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师 组成1个医疗小组,有多少种不同的选法? 解 (1)从中选派1名去参加外出学习,共有三类不同 的选法: 第一类,选出的是医生,有3种选法; 第二类,选出的是护士,有5种选法; 第三类,选出的是麻醉师,有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法. (2)组成1个医疗小组,分三步: 第一步,选1名医生,有3种选法; 第二步,选1名护士,有5种选法; 第三步,选1名麻醉师,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法. 解决选(抽)取与分配问题的方法: (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树 状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘 法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进 行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法.先去掉限制条件,计算所有的抽取方法 数,再减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 【变式训练2】有一项活动,需在3名教师、8名男学 生和5名女学生中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男学生、女学生各一人参加,有多少种不 同选法? (3)若需一名教师、一名学生参加,有多少种不同选法? 解 (1)只需一人参加共有三类选人的方法:第一类,从 3名教师中选一人,有3种方法;第二类,从8名男学生中选 一人,有8种方法;第三类,从5名女学生中选一人,有5种 方法. 依据分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法. (2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法;第二步选 男学生,有8种方法;第三步选女学生,有5种方法. 依据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类,每一类又分两步.第一类:先选一名教师, 再选一名男学生,共有3×8=24种选法;第二类:先选一名 教师,再选一名女学生,共有3×5=15种选法. 依据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法. 探究三 涂色与种植问题 【例3】(1)如图,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜 色多次使用,则不同的涂法种数为( ) 8
第三章排列、组合与二项式定理 A.280 B.180 颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同，则E区城有2种涂 C.96 D.60 色方法；若B区域与D区域所涂的颜色不相同，则E区域只 (2)如图，将3种作物全部种植在这5块试验田中，每块 有1种涂色方法. 种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同 因此应先分类后分步 的种植方法共有 种。 答案(1)B(2)42 解析(1)按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可 (1)当B区域与D区域同色时，依据分步乘法计数原 选：第二步B区战有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜 理，有4×3×2×2=48种涂色方法； 色可选：第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，因 (2)当B区域与D区域不同色时，依据分步乘法计数原 此D区域也有3种颜色可选用. 理，有4×3×2×1×1=24种涂色方法】 依据分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种 综上所述，依据分类加法计数原理，共有48十24=72种 涂法 不同的涂色方法 (2)分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有3 种方法，不妨设种植a,再安排第二块田，有2种方法b或c, 易错辨析 不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或℃ 因计数时出现遗漏而致误 若第三块田种植c: 【典例】有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2=4种方法 旗纵向排列在某一旗杆上，表示不同的信号，顺序不同也表 若第三块田种植a:第四块田有b或c2种方法， 示不同的信号，一共可以组成多少种不同的信号？ ①若第四块种植c:第五块田有2种方法： 错解每次升1面旗可组成1种不同的信号：每次升2 ②若第四块种植b:第五块田只能种作物c,共1种 面旗可组成2种不同的信号：每次升3面旗可组成3种不同 方法 的信号.根据分类加法计数原理，一共可以组成1十2十3=6 综上所述，依据基本计数原理，共有3×2×(2×2十2十 种不同的信号。 1)=42种方法. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ ①反思感悟 你如何改正？你如何防范？ 解决涂色（种植）问题的一般思路： 涂色问题一般是综合利用基本计数原理求解，有 提示错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同信号，顺 几种常用方法： 序不同也表示不同的信号 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步 正解每次升1面旗可组成3种不同的信号：每次升2 乘法计数原理分析 面旗可组成3×3=9种不同的信号：每次升3面旗可组成 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段” 3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可 等问题，用分类加法计数原理分析. 组成3十9十27=39种不同的信号. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 防苑措施 问题 解决此类问题要仔细审题，正确理解题意.一般是 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计 先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类 案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连 加法计数原理计数. 续性。 【变式训练3】如图，用红、黄、绿、黑4种不同的颜色 随堂训练 分别涂入5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色不相同， 问：有多少种不同的涂色方法？ 1.已知x∈{1,2,3,4}y∈{5,6,7,8}，则xy的不同值的个 数为( A.2 B.4 C.8 D.15 答案D 解析完成xy这件事分两步： 第一步，从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法： 解如图，将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区 第二步，从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法」 域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D 依据分步乘法计数原理，共有4×4=16种选法， 区域有2种，但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的 其中3×8=4×6，所以xy的不同值的个数为15. 9
第三章 排列、组合与二项式定理 A.280 B.180 C.96 D.60 (2)如图,将3种作物全部种植在这5块试验田中,每块 种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同 的种植方法共有 种. 答案 (1)B (2)42 解析 (1)按区域分四步:第一步 A区域有5种颜色可 选;第二步B区域有4种颜色可选;第三步C区域有3种颜 色可选;第四步由于可重复使用区域 A中已有过的颜色,因 此D区域也有3种颜色可选用. 依据分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种 涂法. (2)分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3 种方法,不妨设种植a,再安排第二块田,有2种方法b或c, 不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或c. 若第三块田种植c: 第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法. 若第三块田种植a:第四块田有b或c2种方法, ①若第四块种植c:第五块田有2种方法; ②若第四块种植 b:第五块田只能种作物c,共1种 方法. 综上所述,依据基本计数原理,共有3×2×(2×2+2+ 1)=42种方法. 解决涂色(种植)问题的一般思路: 涂色问题一般是综合利用基本计数原理求解,有 几种常用方法: (1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步 乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段” 等问题,用分类加法计数原理分析. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色 问题. 种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类 加法计数原理计数. 【变式训练3】如图,用红、黄、绿、黑4种不同的颜色 分别涂入5个区域内,要求相邻的两个区域的颜色不相同, 问:有多少种不同的涂色方法? 解 如图,将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区 域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D 区域有2种,但E区域的涂色依赖于B区域与 D区域涂的 颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同,则E区域有2种涂 色方法;若B区域与D区域所涂的颜色不相同,则E区域只 有1种涂色方法. 因此应先分类后分步. (1)当B区域与 D区域同色时,依据分步乘法计数原 理,有4×3×2×2=48种涂色方法; (2)当B区域与D区域不同色时,依据分步乘法计数原 理,有4×3×2×1×1=24种涂色方法. 综上所述,依据分类加法计数原理,共有48+24=72种 不同的涂色方法. 易 错 辨 析 因计数时出现遗漏而致误 【典例】有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面 旗纵向排列在某一旗杆上,表示不同的信号,顺序不同也表 示不同的信号,一共可以组成多少种不同的信号? 错解 每次升1面旗可组成1种不同的信号;每次升2 面旗可组成2种不同的信号;每次升3面旗可组成3种不同 的信号.根据分类加法计数原理,一共可以组成1+2+3=6 种不同的信号. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同信号,顺 序不同也表示不同的信号. 正解 每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2 面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成 3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可 组成3+9+27=39种不同的信号. 解决此类问题要仔细审题,正确理解题意.一般是 先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方 案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连 续性. 随堂训练 1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy 的不同值的个 数为( ) A.2 B.4 C.8 D.15 答案 D 解析 完成xy这件事分两步: 第一步,从集合{1,2,3,4}选一个数,共有4种选法; 第二步,从集合{5,6,7,8}选一个数,共有4种选法. 依据分步乘法计数原理,共有4×4=16种选法. 其中3×8=4×6,所以xy的不同值的个数为15. 9
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.有A,B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人， 共8种情况，分为8类，在每一类中满足题目要求的两位 其中甲、乙都会操作A,B两种车床，丙只会操作A种车 数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个 床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则 根据分类加法计数原理，符合题意的两位数共有1十 不同的选派方法有( 2+3+4+5+6+7+8=36个. A.6种 B.5种 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别 C.4种 D.3种 种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多 答案C 少种不同的种植方法 解析不同的选派精况可分为3类：若选甲、乙，则有2种 解方法一（直接法）不同的种植方法可分为3类：若黄 方法；若选甲、丙，则有1种方法：若选乙、丙，则有1种方 瓜种在第一块土地上，则有3×2×1=6种不同种植方法. 法，根据分类加法计数原理，不同的选派方法有2十1十 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3X2X 1=4种 1=6种不同种植方法. 3.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 依据分类加法计数原理，不同的种植方法共有6十 个 6十6=18种. 答案36 方法二（间接法）从4种蔬莱中选出3种，种在三块 地上，有4×3×2=24种，其中不种黄瓜有3X2×1=6 解析根据题意，个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9 种，故共有不同种植方法24一6=18种 课后·训练提升 1.用0,1，…，9这10个数字可以排成有重复数字的三位数 的个数为( A.243 B.252 C.261 D.648 答案B 解析0,1,2，·，9共能排成9×10×10=900个三位数， 其中无重复数字的三位数有9X9×8=648个，所以有重 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 复数字的三位数有900一648=252个. 答案D 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、 解析如图，将4个部分分别标记为A,B,C,D,分四步完 跳远四项比赛，若每班每项限报1人，则这3名学生参赛 成：第一步，确定A部分的颜色，共有4种方法；第二步， 的不同方法有( 确定B部分的颜色，共有3种方法：第三步，确定C部分 A.24种 B.48种 的颜色，共有2种方法，第四步，确定D部分的颜色，共有 C.64种 D.81种 2种方法.依据分步乘法计数原理，共有4×3X2X2 答案A 48种. 解析由于每班每项限报1人，图此当前面的学生选了某 项之后，后面的学生不能再报，依据分步乘法计数原理，共 有4×3X2=24种不同的参赛方法 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法 种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 答案D 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的 “甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配， 解析先將3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和 用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、已、未、酉、 两边有4个空隙供3人（不妨记为甲、乙、丙）选择就座，因 亥”相配，共可配成 组 此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同 答案60 的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不 同的选择：丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种 解析分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地 不同的选择.根据分步乘法计数原理，任何两人不相邻的 支的“子、寅、辰、午、中、戌”相配，分两步，先从天千里选1 坐法种数为4×3×2=24.故选D. 种，有5种选法，再从地支里选1种，有6种选法，依据分 4.如图，现有4种不同颜色对四个部分进行着色，要求有公 步乘法计数原理，则有5×6=30组不同的结果，第二类也 共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 有30组不同的结果 依据分类加法计数原理，共可配成30十30=60组 10
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.有 A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人, 其中甲、乙都会操作 A,B两种车床,丙只会操作 A 种车 床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则 不同的选派方法有( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 答案 C 解析 不同的选派情况可分为3类:若选甲、乙,则有2种 方法;若选甲、丙,则有1种方法;若选乙、丙,则有1种方 法.根据分类加法计数原理,不同的选派方法有2+1+ 1=4种. 3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 个. 答案 36 解析 根据题意,个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9 共8种情况,分为8类,在每一类中满足题目要求的两位 数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个. 根据分类加法计数原理,符合题意的两位数共有1+ 2+3+4+5+6+7+8=36个. 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别 种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多 少种不同的种植方法. 解 方法一(直接法) 不同的种植方法可分为3类:若黄 瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2× 1=6种不同种植方法. 依据分类加法计数原理,不同的种植方法共有6+ 6+6=18种. 方法二(间接法) 从4种蔬菜中选出3种,种在三块 地上,有4×3×2=24种,其中不种黄瓜有3×2×1=6 种,故共有不同种植方法24-6=18种. 课后·训练提升 1.用0,1,…,9这10个数字可以排成有重复数字的三位数 的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.648 答案 B 解析 0,1,2,…,9共能排成9×10×10=900个三位数, 其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个,所以有重 复数字的三位数有900-648=252个. 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、 跳远四项比赛,若每班每项限报1人,则这3名学生参赛 的不同方法有( ) A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 答案 A 解析 由于每班每项限报1人,因此当前面的学生选了某 项之后,后面的学生不能再报,依据分步乘法计数原理,共 有4×3×2=24种不同的参赛方法. 3.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任意两人不相邻的坐法 种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 解析 先将3把空椅子隔开摆放,此时3把空椅子中间和 两边有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座,因 此,可分三步:甲从4个空隙中任选一个空隙,有4种不同 的选择;乙从余下的3个空隙中任选一个空隙,有3种不 同的选择;丙从余下的2个空隙中任选一个空隙,有2种 不同的选择.根据分步乘法计数原理,任何两人不相邻的 坐法种数为4×3×2=24.故选D. 4.如图,现有4种不同颜色对四个部分进行着色,要求有公 共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 ( ) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 答案 D 解析 如图,将4个部分分别标记为 A,B,C,D,分四步完 成:第一步,确定 A 部分的颜色,共有4种方法;第二步, 确定B部分的颜色,共有3种方法;第三步,确定 C部分 的颜色,共有2种方法,第四步,确定 D部分的颜色,共有 2种方法.依据分步乘法计数原理,共有4×3×2×2= 48种. 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的 “甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配, 用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、 亥”相配,共可配成 组. 答案 60 解析 分两类:第一类,由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地 支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,分两步,先从天干里选1 种,有5种选法,再从地支里选1种,有6种选法.依据分 步乘法计数原理,则有5×6=30组不同的结果.第二类也 有30组不同的结果. 依据分类加法计数原理,共可配成30+30=60组. 10