例3求函数 y=的导数 解：(1)求增量： △y=f(x+△x)-f(x) =(c+△x)2-x2=2x△x+(△x)2 (2)算比值： Ay =2x+Ax △x (3)取极限： y'=lim Ar lm (2x+A)=2x △x→0△x △x→0 同理可得：(x")/=x”(n为正整数) 特别地，(x)=1.(n=) 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, . 2 y = x = + − y f x x f x ( ) ( ) 2 2 2 = + − = + ( ) 2 ( ) x x x x x x x x x y = + 2 x x x x y y x x lim lim (2 ) 2 0 0 = + = = → → (x n ) = nx n−1 (n为正整数） ( ) ( ) x n = = 1 1
例4求曲线y=在点 处的切线与法线方程， 解：因为(x3y导数几何意义，曲线 y=x3 在点(2，的切线与法线的斜率分别为： e1三6x=2k,==】 12 于是所求的切线方程为：y-8=12(x-2) 即 12x-Jy-16=0 法线方程为：y-8=-（x-2) 12 即 x+12y-98=0 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为: 即 法线方程为: 3 y = x (2,8) 3 2 (x ) = 3x 3 y = x (2,8) 12 1 1 (3 ) 12, 1 2 2 2 1 2 = = = = − = − = = k k y x k x x y −8 =12(x − 2) 12x − y −16 = 0 ( 2) 12 1 y − 8 = − x − 即 x +12y − 98 = 0
2.1.4可导性与连续性的关系 定理2若函数y=fx)在点x处可导则fx)在点x,处连续 证因为fx)在点x处可导，故有f'(x,)=m △y Ax0△x 根据函数极限与无穷小的关系，可得： =fx,)+c,其中a=0. △x △x>0 两端乘以△x得：△y=f'(x,)·△x+a·△x 由此可见： iAy=lim (()Ax+aAx)=0. △→0 Λx0 即函数y=fc)在点xo处连续证毕 前页后页结束
前页 后页 结束 2.1.4 可导性与连续性的关系 定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续. 证 因为f (x)在点x0处可导，故有 0 0 ( ) lim . x y f x → x = 根据函数极限与无穷小的关系,可得: 0 0 ( ) lim 0. x y f x x → = + = ，其中 两端乘以 得: 0 x = + y f x x x ( ) 由此可见: 0 0 0 lim lim( ( ) ) 0. x x y f x x x → → = + = 即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕
例5证明函数yx|在x=0处连续但不可导 证因为limx=0 x->0 所以Jy=x在x=0连 续 而 (0)=im lim =1 △x→0t△x△x-→0+△x △x f(0)=lim Ay lim. =-1 △x→0△x△x0△x 即函数y=x|在x=0处左右导数不相等，从而在x=0不可导 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件 即可导定连续连续不一定可导. 前页 后页结束
前页 后页 结束 例5 证明函数 在x=0处连续但不可导. y x =| | 证 因为 0 lim | | 0 x x → = 所以 在x =0连 续 y x =| |0 0 (0) lim lim 1 x x y x f x x + + + → → === (0) lim lim 1 0 0 = − − = = − → − → − x x x y f x x 而 即函数 y x =| | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件 即可导定连续,连续不一定可导
2.2 导数的运算 2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 定理一设函数u(x)与V(x)在点x处均可导，则： (I)儿u(x±v(x'=u(x)±v(x； (2[u(x)v(x)=u(x)y(x)+u(x)p(x), 特别地v(x)=C(C为常数)，则Cw)'=Cu = u'(x)v(x)-u(x)v'(x) [v(x2 特别地，如果(x)=1, 可得公式 -v'(x) (v(x)≠0) v(x) [v(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则: (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); ' ' ' u x v x = u x v x (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ), ' ' ' u x v x = u x v x + u x v x 特别地,v(x) = C(C为常数）,则(Cu) = Cu 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) v x u x v x u x v x v x u x − = u x( ) 1, = 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 导数的运算 特别地,如果 可得公式 2 1 ( ) ( ( ) 0) ( ) [ ( )] v x v x v x v x − =