龙格-库塔法基本原理(续) 将(2)式与(1)式进行比较,可得: a1+a2=1,a2b1=1/2,a2b2=1/2 四个未知数a1,a2,b,b2,但只有三个方 程,因此有无穷多个解 若限定a1=a2,则a1=a2 今计算公式: y1=y+(k1+k2) 其中k=f(,y),k2=f(to+h,y+kh)
龙格-库塔法基本原理（续） ❖ 将(2)式与(1)式进行比较，可得： ❖ 四个未知数 但只有三个方 程，因此有无穷多个解。 ❖ 若限定 ，则 ❖ 计算公式： ❖ 其中 a1 +a2 =1, a2 b1 =1 / 2, a2 b2 =1 / 2 a1，a2，b1，b2， a a 1 = 2 a1 a2 b1 b2 1 2 = = ， = = 1 ( ) 2 1 0 1 2 k k h y = y + + ( , ) ( ) k1 = f t 0 y0 ，k2 = f t 0 + h，y0 + k1 h
龙格库塔法基本原理(续) 若写成一般递推形式,即为: t;)三 (k+k2) 其中k=f(ny,k2=f(n+h,yn+kh 截断误差正比于h3,称为二阶龙格-库塔法 (简称RK-2)。 令截断误差正比于作的四阶龙格一库塔法(简称 RK-4)公式:y0n)=m1=+(+2k2+2,+k) 今其中:k=f(Un,yn)k2=10+h,x+bk) 2 kg=f(n+2, yn+2k2)ka=f(n+h, yn+ hk,)
龙格-库塔法基本原理（续） ❖ 若写成一般递推形式，即为： ❖ 其中 ❖ 截断误差正比于h3，称为二阶龙格-库塔法 （简称RK-2）。 ❖ 截断误差正比于h5的四阶龙格--库塔法（简称 RK-4）公式： ❖ 其中： ( ) 2 ( ) 1 1 1 2 k k h y t y y n+ n+ = n + + ( , ) ( , ) k1 = f t n yn ，k2 = f t n + h yn + k1 h ( 2 2 ) 6 ( ) 1 1 1 2 3 4 k k k k h y t y y n+ n+ = n + + + + ( , ) 1 n n k = f t y ) 2 2 ( 2 1 k h y h k f t = n + ， n + ) 2 2 ( 3 2 k h y h k f t = n + ， n + ( ) 4 hk3 k f t h y = n + ， n +
222龙格-库塔法的特点 ÷1形式多样性 令例:a,a2,h,b非唯一解,可以得到许多种 龙格一库塔公式:ym=yn+k2h(中点公式 其中k=f(n,y)k=+,+k) 各种龙格一库塔法可以写成如下一般形式: yn=yn+b∑Ck 其中:k=∫(n+ah,yn+b∑bk)i=1,2,…,s
2.2.2龙格--库塔法的特点 ❖ 1.形式多样性 ❖ 例： 非唯一解，可以得到许多种 龙格--库塔公式： (中点公式) ❖ 其中 ❖ 各种龙格---库塔法可以写成如下一般形式： ❖ 其中 : a1，a2，b1，b2 yn+1 = yn + k2 h ( , ) 1 n n k = f t y ) 2 2 ( 2 1 k h y h k f t = n + ， n + = + = + s i n n i i y y h C k 1 1 ( ) 1 1 − = = + + i j i n i n ij j k f t a h，y h b k i =1，2，，s
龙格-库塔法的特点(续) 式中各系数满足以下关系 ∑ l三2 s称为级数,表示每步计算右端函数f最少次数。 可以证明,1阶公式至少要计算一次,2阶公 式 ;4阶公式Sm=4;依此类推。有时 为了某种特殊需要,可以选择s>sm的计算公式
龙格--库塔法的特点(续） ❖ 式中各系数满足以下关系 ❖ s称为级数，表示每步计算右端函数f的最少次数。 可以证明，1阶公式至少要计算一次，2阶公 式 ；….；4阶公式 ；依此类推。有时 为了某种特殊需要，可以选择 的计算公式。 a a b i s C i ij j i i i s 1 1 1 1 0 2 3 1 = = = = = − = ， ，， s min = 2 s min = 4 min s s
龙格-库塔法的特点(续) 2单步法 在计算ym时只用到yn,而不直接用yn,yn2 等项。优点:存储量减小,可以自启动 3可变步长 步长h在整个计算中并不要求固定,可以根 据精度要求改变 令但是在一步中,为计算若干个系数k,则 必须用同一个步长h
龙格--库塔法的特点(续） ❖ 2.单步法 ❖ 在计算 时只用到 ，而不直接用 等项。优点：存储量减小，可以自启动 ❖ 3.可变步长 ❖ 步长h在整个计算中并不要求固定，可以根 据精度要求改变 ❖ 但是在一步中，为计算若干个系数 ，则 必须用同一个步长h。 n+1 y n y n−1 n−2 y ，y i k