绘制根轨迹的基本法则2 序号 内容 法则 根物的分离条根轨速分支相通其分离点坐由2∑ 确定分离角 点和分离角 角 等于(2a+)x!特殊情况:无有限零点\=0 影始角:9,=(+×/b 根轨速的起始 角与终止角 止角;线=21x-(∑-4 7根孰蘧与虚的交点根孰蘧与虚籼交点的K'值和值.可利用劳恩判据确定 很之和 ∑=∑
绘制根轨迹的基本法则2 特殊情况：无有限零点 0 1 1 i n i d p
确定分离点的第二种方法: 令+G(s)H()=1+k2P(9)=()=0 Q(S) S K 令 dk =0,即得根轨迹的分离点或汇合点 特征方程有重根时,fs)与s轴的交点只有一个 那只能是〔s)~s的极值点。 而df(s)ds=0与dK*s=0具有相同的方程,故 而可用dK*/ds=0求解此分离点
确定分离点的第二种方法： • 特征方程有重根时，f(s)与s轴的交点只有一个， 那只能是f(s)～s的极值点。 • 而df(s)/ds =0与dK*/ds =0具有相同的方程，故 而可用dK*/ds=0求解此分离点。 令 即得根轨迹的分离点或汇合点。 令 ＋ 0, * , ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 G( ) ( ) 1 * * ds dK P s Q s K f s Q s P s s H s K
例4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数为: K G(S) 试概略绘出相应的闭环根轨迹图 s(0.2s+1)(0.5+1) 解:G(s) K 10K S(0.2s+1)(0.55+1)s(S+5)(S+2) 习题集例4-2 k1=10X 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 (1)根轨迹的起点就是开环传递函数的极点:0,-2, 5。 (2)依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为5 (3)计算分离点:1+- 0 s(S+5)(S+2) K1=-s(S+5)(S+2) d K1=0 s(S+5)S+2)+K1=0 (s3+7s2+10s) 3s2+14s+10=0 得S1≈-0832≈-3.78舍去) 所以,分离点为S=-0.88
设单位反馈控制系统的开环传递函数为： 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 • 解： • 令 • 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点：0，－2， －5。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 （3）计算分离点： • 令 • 得 （舍去） • 所以，分离点为 。 • (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K G s ( 5)( 2) 10 (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K s s s K G s K1 10K 0 2 5 ( 5)( 2) 0 0 ( 5)( 2) 1 1 1 s s s K s s s K ( 7 10 ) ( 5)( 2) 3 2 1 s s s K s s s 0 1 ds dK 3 14 10 0 2 s s 0.88, 3.78 s1 s2 s 0.88 习题集例4-2 例4-1
(4)计算渐近线与实轴的交点: ∑ 渐近线与实轴的夹角:180×(2+1)a=2 ≈-23 3 3 3 所以,渐近线与实轴的夹角为60°,180°,300°。 (5)确定根轨迹与虚轴的交点: 闭环特征方程: S(S+2)(s+5)+K1=0 令s=j代入上式有:s3+7s2+10s+K1=0 ·整理得: (K=7) √10 令实部、虚部分别等于零, 得方程组:(K1-72)+(100-03)=0 解该方程组得:K1-702=0 10a-3=0 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。 K=K,/10=7
（4）计算渐近线与实轴的交点： • 渐近线与实轴的夹角： • 所以，渐近线与实轴的夹角为 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： • 闭环特征方程： • 令 代入上式有： • 整理得： • 令实部、虚部分别等于零， • 得方程组： • 解该方程组得: 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。 2.3 3 7 3 3 1 i pi 3 180 (2 1) k 7 10 0 ( 2)( 5) 0 1 3 2 1 s s s K s s s K s j ( 7 ) (10 ) 0 2 3 K1 j 10 0 7 0 3 2 1 K /10 7 K K1 60 , 180 , 300
根轨迹例4-2(教材P50) 单位反馈系统开环传递函数为((s)56S+3)s2+2s+2) 绘制其根轨迹图。 1.5 K=816 a=1.095 1.0 05 3.0 05 1.0 1.5
根轨迹 例4-2（教材P150) • 单位反馈系统开环传递函数为 绘制其根轨迹图。 s(s 3)(s 2s 2) K G(s) 2 g