5一9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为处的电场强度为EQ元4r-L(2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为F:2元80r/4r2+L?若棒为无限长（即L→），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较QE2m802+4r2(b)(a)题5-9图分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq=Qdx/L，它在点P的电场强度为IgedE=4元c0r整个带电体在点P的电场强度E=JdE接着针对具体问题来处理这个失量积分。（1）若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，E= JdEi(2）若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是E=J dE,j=I sin αdEj证（1）延长线上一点P的电场强度E=，利用几何关系=F—x统一积分变12元2or
5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 2 π 0 4 1 r L Q ε E − = (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2 2 2π 0 4 1 r r L Q ε E + = 若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电 荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意 取一线元dx，其电荷为dq ＝Qdx/L，它在点P 的电场强度为 r r q ε E e 2 0 d 4π 1 d = 整个带电体在点P 的电场强度 E = dE 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， = L E dEi (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性 叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 = = L E dEy j sin αdEj 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度 = L πε r q E 2 2 0 d ，利用几何关系 r′＝r －x统一积分变
量，则odxQ电场强度的方向E, 5 40, 705 40,[,-L/2 + /2] 0 4-7沿x轴(2）根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为E-1 magae利用几何关系sinα=r/r，r=P+x统一积分变量，则rOd0E-In e+3=2元eor/4r2+当棒长L→时，若棒单位长度所带电荷入为常量，则P点电场强度O/LE= lim 2meor /1+4rIr=2元00r此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足P/L2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线5-10一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小题5-10图分析这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5－3节的例1可以看出，所有平行圆环在轴线上P处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心0处的电场强度，解将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元dg=odS=8.2元R°sinQd0，在点0激发的电场强度为
量，则 ( ) 2 2 0 0 2 2 2 0 π 4 1 / 2 1 / 2 1 4π d 4π 1 r L Q ε L r L r L ε Q L r x Q x ε E L/ -L/ P − = + − − = − = 电场强度的方向 沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E ε r α q E L d 4π sin d 2 0 = 利用几何关系 sin α＝r/r′， 2 2 r = r + x 统一积分变量，则 ( ) 2 2 0 2 / 3 2 2 2 2 0 4 1 2π d 4π 1 ε r r L Q L x r rQ x ε E L/ -L/ + = + = 当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 ε r λ r L Q L ε r E l 0 2 2 0 2π 1 4 / / 2π 1 lim = + = → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1， 带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －10 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大 小. 分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组 平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处 的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元 dq δdS δ 2πR sin θ dθ 2 = = ，在点O 激发的电场强度为
xdqdE:4ne (P+rppsi由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系x=RcosO，r=RsinQ统一积分变量，有xdq Recos?g.2aR'sn 0dedE -40(+r134元0R3sinOcosde积分得E-I"2 sin osa -485一12两条无限长平行直导线相距为ro，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为入（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x)：(2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。S题5-12图分析（1）在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加。（2）由F=qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量，即：F=IE.应该注意：式中的电场强度E是另一根带电导线激发的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力。解（1）设点P在导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，则有
( ) E i 2 / 3 2 2 0 d 4π 1 d x r x q ε + = 由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系 x = Rcosθ ，r = Rsin θ 统 一积分变量，有 ( ) θ θ θ ε δ δ πR θ θ R R θ x r πε x q πε E sin cos d 2 2 sin d cos 4 d 1 4 1 d 0 2 3 0 2 / 3 2 2 0 = = + = 积分得 0 / 2 0 0 4 sin cos d 2 ε δ θ θ θ ε δ E π = = 5 －12 两条无限长平行直导线相距为r0 ，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ.(1) 求 两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x)；(2) 求每一根 导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力. 分析 (1) 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠 加.(2) 由F ＝qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以 单位长度导线所带电量，即：F ＝λE.应该注意：式中的电场强度E 是另一根带电导线激发 的电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力. 解 (1) 设点P 在导线构成的平面上，E＋、E－分别表示正、负带电导线在P 点的电场强度， 则有
E-E.+E,-2元80x-x2元x-x)(2）设F+、F-分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有F=E. =2元e1F, =-AE, =-2元2g0显然有F+=F-，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引5一15边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于OxyOy和Ozx平面，立方体的个项点为坐标原点.现将立方体置于电场强度E=(E,+kx)i+E,j(k,Ei，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。题5-15图解如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即PoABC=@DEFG=0.而@ABGP=E·dS-[(E, +kx)i+E,](dsi)= E,a?考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有@CDEO =-@ABGF =-E,d同理@AOEr =J E·dS = [(E;i+ E,j)] (-dsi)=-E,aDBcDG =[E - dS = [[(E, + ka)i+ E,]]- (dsi)=(E, + ka)a?因此，整个立方体表面的电场强度通量@=E@=kd
( ) i E E E i x r x r ε λ ε x r x λ − = − = − + + = + 0 0 0 0 0 2π 1 1 2π (2) 设F＋、F－分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有 F E i 2π 0 0 ε r λ + = λ − = F E i 0 0 2 2πε r λ − = −λ + = − 显然有F＋＝F－，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引. 5 －15 边长为a 的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz 和Ozx 平面，立方体的 一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强度 E = i + j (E kx E 1 2 + ) (k，E1 ，E2 为常数) 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量. 解 如图所示，由题意E 与Oxy 面平行，所以任何相对Oxy 面平行的立方体表面，电场强 度的通量为零，即 ΦOABC = ΦDEFG = 0 .而 ( ) ( ) 2 ABGF = d = E1 + k x + E2 dS = E2a Φ E S i j j 考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有 2 ΦCDEO = −ΦABGF = −E2a 同理 ( ) ( ) 2 AOEF = d = E1 + E2 − dS = −E1a Φ E S i j i ( ) ( ) ( ) 2 ΦBCDG = d = E1 + k a + E2 dS = E1 + k a a E S i j i 因此，整个立方体表面的电场强度通量 3 Φ = Φ = ka
5－17设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为p=kr (0≤r≤R)p=0(r>R)k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系。(a)(b)题5-17图分析通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有（E·dS=E.4元r根据高斯定理fE·ds=一[pdV，可解得电场强度的分布.(2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dg=p·4元rdr，每个带电球壳在壳内激发的电场dE=0，而在球壳外激发的电场d-由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布E(r)=’dE (0≤r≤R)E()=["'dE (r>R)解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理E·dS=-pdV得球体内（0≤<R)E(r)4mr2 -=,kr4r°dr
5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为 ( ) ρ (r R) ρ kr = = 0 0 r R k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系. 分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对 称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强 度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有 2 S d = E4πr E S 根据高斯定理 = ρ V ε d 1 d 0 E S ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球 壳，球壳带电荷为 dq = ρ 4πr dr 2 ，每个带电球壳在壳内激发的电场 dE = 0 ，而在球壳 外激发的电场 r ε r q E e 2 4π 0 d d = 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 ( ) ( ) (r) (r R) r R r = = d d 0 r R 0 0 E E E E 解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理 = ρ V ε d 1 d 0 E S 得球体内(0≤r≤R) ( ) 4 0 0 2 0 2 π 4π d 1 4π r ε k kr r r ε E r r r = =