9-7若简谐运动方程为x=0.10cos(20元t+0.25元)m)，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ot+o)作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果解（1）将×=0.10cos(20元t+0.25元)m)与x=Acos(ot+)比较后可得：振幅A=0.10m，角频率0=20元s，初相=0.25元，则周期T=2元/=0.1s，频率0=1/T Hz.（2）t=2s时的位移、速度、加速度分别为x=0.10 cos(40元t+0.25元)=7.07×10~mv=dx/dt=-2元sin(40元+0.25元)=-4.44m·sa=d°x/dt=-40元cos(40元+0.25元)=-2.79×10°m·s29-12一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=0.50s：当1=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在=-1.0×10-m处，向负方向运动；（4）物体在x=-1.0×10-m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即1=0时，xo和u来确定值（2）旋转失量法：如图（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置xo和速度w的方向与旋转矢量图相对应来确定。旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用，MA(a)(b)
9-7 若简谐运动方程为 x = 0.10 cos(20πt + 0.25π)(m) ，求：（1） 振幅、频率、角 频率、周期和初相；（2） t = 2s 时的位移、速度和加速度． 分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式 x = Acos(t +) 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速 度、加速度的表达式，代入 t 值后，即可求得结果． 解 （1） 将 x = 0.10 cos(20πt + 0.25π)(m) 与 x = Acos(t +) 比较后可得：振幅 A ＝ 0.10m， 角频 率 1 20π s − ω = ，初相 ＝ 0.25 π ， 则 周期 T = 2π /ω = 0.1s ，频率 v =1/T Hz ． （２） t = 2s 时的位移、速度、加速度分别为 0.10 cos(40π 0.25π) 7.07 10 m −2 x = t + = ( ) -1 v = dx /dt = −2πsin 40π + 0.25π = −4.44ms ( ) 2 2 2 2 -2 a = d x / d t = −40π cos 40π + 0.25π = −2.7910 ms 9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A＝2.0 ×10-2 m，周期 T＝0.50ｓ．当 t ＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在 x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在 x＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求 以上各种情况的运动方程． 分析 在振幅 A 和周期 T 已知的条件下，确定初相 φ 是求解简谐运动方程的关键．初 相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即 t ＝0 时， x ＝x0 和 v ＝v0 来确定 φ 值．（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点 P 在 Ox 轴上 振动的初始位置 x0 和速度 v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定 φ．旋转矢量法比较直观、 方便，在分析中常采用．
题 9-12 图解由题给条件知A=2.0×10-2m，の=2/T=4元s-，而初相可采用分析中的两种不同方法来求解析法：根据简谐运动方程x=Acos(ot+p)，当t=0时有xo=Acos(ot+p)，0=-Aosin 当（1)x= A时，cosq =1,则g =0:(2）=0时，cosp=0，2=±号，因<0，取，=号（3）=1.0×10~m时，cosp3=0.5，3=±≥，由%<0，取3=(4）x=-10×10~ m时，cosg=-0.5，4=元±号，由>0，取4=4旋转失量法：分别画出四个不同初始状态的旋转失量图，如图（b）所示，它们所对应的初和分别为0一0。一号。1一号。一等。振幅A、角频率の、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为(1) x=2.0×10-2 cos4t (m)(2) x=2.0×10-2 cos(4t+元/2) (m)(3) x=2.0x10-2 cos(4t+元/3) (m)(4) x= 2.0×10-2 cos(4t +4元/3) (m)9-13有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10-2m。若使物体上、下振动，且规定向下为正方向。（1）当1=0 时，物体在平衡位置上方 8.0×10-2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）当1=0时，物体在平衡位置并以0.6m-si的速度向上运动，求运动方程.分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、の和.其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即の=/k/mk可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算：振幅A和初相需要根据初始条件确定
题 9-12 图 解 由题给条件知 A ＝2.0 ×10-2 m， 1 2/ 4π s − ω = T = ，而初相 φ 可采用分析中的两 种不同方法来求． 解 析 法 ： 根 据 简谐 运 动 方 程 x = Acos(t +) ， 当 t = 0 时 有 x = Acos(t +) 0 ， v0 = −Aωsin ．当（1） x0 = A 时， cos1 =1 ，则 1 = 0 ； （2） x0 = 0 时， cos2 = 0， 2 π 2 = ，因 v0 0 ，取 2 π 2 = ； （3） 1 0 10 m 2 0 − x = . 时， cos3 = 0.5， 3 π 3 = ，由 v0 0 ，取 3 π 3 = ； （4） 1 0 10 m 2 0 − x = − . 时， cos4 = −0.5， 3 π 4 = π ，由 v0 0 ，取 3 4π 4 = ． 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应 的初相分别为 1 = 0， 2 π 2 = ， 3 π 3 = ， 3 4π 4 = ． 振幅 A、角频率 ω、初相 φ 均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1） 2.0 10 cos4πt (m) −2 x = （2） 2.0 10 cos(4πt π/2) (m) 2 = + − x （3） 2.0 10 cos(4πt π/3) (m) 2 = + − x （4） 2.0 10 cos(4πt 4π/3) (m) 2 = + − x 9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为 m 的物体时， 伸长量为 9.8 ×10-2 m．若使物 体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当 t ＝0 时，物体在平衡位置上方 8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当 t ＝０ 时，物体在平衡位置并以 0.6ｍ·s-1 的速度向上运动，求运动方程． 分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量 A、ω 和 φ．其中振动的角频 率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量 m 及弹簧劲度系数 k）决定的，即 = k m/ ， k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅 A 和初相 φ 需要根据初始条件确定．
(b)(a)题9-13图解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F=mg，而此时弹簧的伸长量A/=9.8×102m.则弹簧的劲度系数k=F/ 4I=mg/4l.系统作简谐运动的角频率为0=/k/m=/g/N=10s-l（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向.由初始条件1=0时x10=8.0×10-2m、V10=0可得振幅A=/x%+(%/o)=8.0×10-2m；应用旋转失量法可确定初相，=元【图（a)］则运动方程为x, =8.0×10-2 cos(10t +元) (m)(2)1=0时，x20=0、1= 0.6m sl同理可得4=/%+(20/0=6.0×10-2m；2=元/2［图（b）】，则运动方程为x,=6.0x10-2 cos(10t+0.5元) (m)9-14某振动质点的x-1曲线如图（a）所示，试求：（1）运动方程：（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类间题，本题就是要通过×一1图线确定振动的三个特征量A、の和，从而写出运动方程。曲线最大幅值即为振幅A：而の、通常可通过旋转失量法或解析法解出，一般采用旋转失量法比较方便解（1）质点振动振幅A=0.10m.而由振动曲线可画出 to=0和=4 s时旋转矢量，如图（b）所示，由图可见初相。=-元/3（或。=5元/3），而由
题 9-13 图 解 物体受力平衡时，弹性力 F 与重力 P 的大小相等，即 F ＝mg．而此时弹簧的伸 长量 Δl ＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数 k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl．系统作简谐运动的角频 率为 1 10 s − = k / m = g / l = （1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为 x 轴正向．由初始条件 t ＝0 时， x10 ＝8.0 ×10-2 m、v10 ＝0 可得振幅 ( ) 8 0 10 m 2 2 10 2 10 − A = x + v / = . ；应用旋转矢量法 可确定初相 1 = π ［图（a）］．则运动方程为 8.0 10 cos(10t π) (m) 2 1 = + − x （ 2 ） t ＝ ０ 时 ， x20 ＝ 0 、 v20 ＝ 0.6 ｍ ·s-1 ，同理可得 ( ) 6 0 10 m 2 2 20 2 2 20 − A = x + v / = . ； 2 = π/ 2 ［图（b）］．则运动方程为 6.0 10 cos(10t 0.5π) (m) 2 2 = + − x 9-14 某振动质点的 x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点 P 对 应的相位；（3） 到达点 P 相应位置所需的时间． 分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问 题．本题就是要通过 x －t 图线确定振动的三个特征量 A、ω 和 0 ，从而写出运动方程．曲 线最大幅值即为振幅 A；而 ω、0 通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢 量法比较方便． 解 （1） 质点振动振幅 A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出 t0 ＝0 和 t1 ＝4 ｓ时旋 转矢量，如图（ b ） 所示．由图可见初相 0 = −π /3 （ 或 0 = 5π/3 ），而由
0-1）=元/2+元/3得0=5元/24s-，则运动方程为x=0.10com/m0.09x/1/r(a)(b)(e)题 9-14 图（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。对应的旋转失量图如图（c）所示，当初相取。=-元/3时，点P的相位为9,=%+ol，-0)=0（如果初相取成。=5元/3，则点P相应的相位应表示为=。+，-0)=2元（3）由旋转矢量图可得t，-0)=元/3，则t，=1.6s9-15作简谐运动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到x=A/2处；（3）由×=A/2处到最大位移处.解采用旋转失量法求解较为方便.按题意作如图所示的旋转失量图，平衡位置在点0.（1）平衡位置xi到最大位移x处，图中的旋转失量从位置1转到位置3，故△，=元/2，则所需时间Nt =Aq /0=T/4（2）从平衡位置xI到x2=A/2处，图中旋转量从位置1转到位置2，故有△2=元/6，则所需时间Nt, = Ap, / 0= T /12（3）从x2=A/2运动到最大位移x3处，图中旋转矢量从位置2转到位置3，有△3=元/3，则所需时间N,=Aβ,/0=T/6
(t 1 − t 0 ) = / 2 + / 3 得 1 5π/ 24 s − ω = ，则运动方程为 π / 3 (m) 24 5π 0.10 cos x = t − 题 9-14 图 （2） 图（a）中点 P 的位置是质点从 A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量 图如图（c） 所示．当初相取 0 = −π /3 时，点 P 的相位为 p = 0 +(t p − 0) = 0 （如果 初相取成 0 = 5π/3 ，则点 P 相应的相位应表示为 p = 0 + ω(t p − 0) = 2π ． （3） 由旋转矢量图可得 ω(t p − 0) = π /3 ，则 =1.6 s p t ． 9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向 x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最 短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到 x ＝ A/2 处； （3） 由 x ＝A/2 处到最大位移处． 解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点 O． （1） 平衡位置 x1 到最大位移 x3 处，图中的旋转矢量从位置 1 转到位置 3，故 Δ 1 = π/ 2 ，则所需时间 t 1 = 1 / =T / 4 （2） 从平衡位置 x1 到 x2 ＝A/2 处，图中旋转矢量从位置 1 转到位置 2，故有 Δ 2 = π/6 ，则所需时间 t 2 = 2 / =T / 12 （3） 从 x2 ＝A/2 运动到最大位移 x3 处，图中旋转矢量从位置 2 转到位置 3，有 Δ 3 = π/3 ，则所需时间 t 3 = 3 / = T / 6
题 9-15 图9-25质量为0.10kg的物体，以振幅1.0x10-2m作简谐运动，其最大加速度为4.0m-s求：（1）振动的周期：（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能：（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?分析在简谐运动过程中，物体的最大加速度amx=Ao，由此可确定振动的周期T.另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量EkA2/2.当动能与势能相等时，E=Ep=kAP/4.因而可求解本题.解（1）由分析可得振动周期T=2元/0=2元/A/am=0.314s（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即E =E-ImA"--mAd=2.0×103 J（3）设振子在位移xo处动能与势能相等，则有k/2=k/4得x=±V2A/2=±7.07×10m（4）物体位移的大小为振幅的一半（即x=A/2）时的势能为E,==()=E/4212则动能为Ek =E-E, =3E/4
题 9-15 图 9-25 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 ｍ·s-1 求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其 动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多 少？ 分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度 2 amax = A ，由此可确定振动的周期 T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量 E ＝ kA2 /2．当动能与势能相等时，Ek ＝EP ＝kA2 /4．因而可求解本题． 解 （1） 由分析可得振动周期 2π/ 2π / 0.314 s T = ω = A amax = （2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总 能量，即 2 0 10 J 2 1 2 1 3 max 2 2 k − = = = = . E E mA mAa （3） 设振子在位移 x0 处动能与势能相等，则有 2 4 2 2 0 kx / = kA / 得 2 2 7 07 10 m 3 0 − x = A/ = . （４） 物体位移的大小为振幅的一半（即 x A = / 2 ）时的势能为 4 2 2 1 2 1 2 P E / A E kx k = = = 则动能为 EK = E − EP = 3E / 4