8一6一铁心上绕有线圈100币，已知铁心中磁通量与时间的关系为@=8.0×105sin100元t(Wb)，求在1=1.0×10-s时，线圈中的感应电动势分析由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电微感应定律通常写成=-N--%，其中=N称为微dtdt链解线圈中总的感应电动势=(2.51)cos(100元)当t=1.0x10~s时，=2.51V8一7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电酒均以兴的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。题8-7图dd分析本题仍可用法拉第电磁感应定律巴来求解。由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用Φ=[,B·dS来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度BI与B 之和），为了积分的需要，建立如图所示的坐标系。由于B仅与x有关，即B=B(x)，故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS=dxdy，则上述积分实际上为二重积分）。本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 Ew=-M%求解。解1穿过面元ds的磁通量为
8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为 8.0 10 sin 100π (Wb) 5 Φ = t ，求在 1.0 10 s −2 t = 时，线圈中的感应电动势． 分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数 和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成 t ψ t Φ ξ N d d d d = − = − ，其中 ψ = NΦ 称为磁 链． 解 线圈中总的感应电动势 ( ) ( )t t Φ ξ N 2.51 cos 100π d d = − = 当 1.0 10 s −2 t = 时，ξ = 2.51 V ． 8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流 均以 t I d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所 示．求线圈中的感应电动势． 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律 t Φ ξ d d = − 来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁 通量就需用 = S Φ B dS 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 与B2 之和）． 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即 B B x = ( ) ，故取一个平 行于长直导线的宽为ｄx、长为d 的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则 dS = ddx ，所以， 总磁通量可通过线积分求得（若取面元 dS = dxdy ，则上述积分实际上为二重积分）．本题 在工程技术中又称为互感现象，也可用公式 t l EM M d d = − 求解． 解1 穿过面元ｄS 的磁通量为
μol ddxdo= B.ds = B, ds+ B, -ds =ddx-2元(x+d)2元x因此穿过线圈的磁通量为- - 2- uolddx= 4HoldInd2再由法拉第电磁感应定律，有--()n4d解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为=线圈与两长直导线间的互感为M=0-4odin32元4当电流以变化时，线圈中的互感电动势为（)试想：如线圈又以速率v沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势。设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为，则穿过回路的磁通量Φ=[,B·dS=(l,)，它表现为变量/和的二元函数，将Φ代入E=即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中些=，再令=d即可求得图示位置处回路中的总电动势。最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势.8-11长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率α绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差
( ) d x x μ I d x x d μ I Φ d 2π d 2π d d d d 0 0 1 2 − + = B S = B S + B S = 因此穿过线圈的磁通量为 ( ) 4 3 ln 2π d 2π d 2π d 0 2 0 2 0 μ Id x x μ Id x x d μ Id Φ Φ d d d d − = + = = 再由法拉第电磁感应定律，有 t μ d I t Φ E d d 4 3 ln d 2π d 0 = − = 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 4 3 ln 2π μ0dI Φ = 线圈与两长直导线间的互感为 4 3 ln 2π μ0d I Φ M = = 当电流以 t l d d 变化时，线圈中的互感电动势为 t μ d I t I E M d d 4 3 ln d 2π d 0 = − = 试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势 呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距 离为ξ，则穿过回路的磁通量 Φ f ( ξ ) S = d = 1, B S ，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代 入 t Φ E d d = − 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中 = v t ξ d d ，再令ξ＝d 即可 求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感 生电动势． 8 －11 长为L的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转 动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．
(b)(a)惠8-11图分析应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同。在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）。本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图（b）所示。而EOA和EO B则可以直接利用第8-2节例1给出的结果解1如图（a）所示，在棒上距点O为1处取导体元d1，则Eab= JA (o×B) dl=[" -oBd/ =--oIB(L-2r)因此棒两端的电势差为olB(L-2r)UAB=EAB=-当L>2r时，端点A处的电势较高解2将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图（b）所示.其中[Eou-BorEo-oB(L-)则oBL(L- 2r)Ean =[Fol-|Fos| = -8－12如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕00’轴以角速度旋转，棒与转轴间夹角恒为0，磁感强度B与转轴平行。求OP棒在图示位置处的电动势
分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压 与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方 向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可 以将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EO A 和 EO B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果． 解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl，则 E ( ) ωlB l ωlB(L r) L-r AB r AB 2 2 1 = d = − d = − − - v B l 因此棒两端的电势差为 U E ωlB(L r) AB AB 2 2 1 = = − − 当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高 解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中 2 2 1 E Bωr OA = , ( ) 2 2 1 E ωB L r OB = − 则 E E E ωBL(L r) AB OA OB 2 2 1 = − = − − 8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转， 棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．
题8-12图do计算（此时必须构造一个分析如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E=-d包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO)，也可用E=[(o×B)-dl来计算。由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的解1由上分析，得Eop= Jo,(o×B) dl= J,oBsin 90° cos adl= [(sin 00)Bcos(90° -0)=Bsin e[" Id/ - _oB(L sin 0)由矢量U×B的方向可知端点P的电势较高。解2设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势dd=0=Eop+Epo+EooE=-dt显然，Eoo=0，所以Eop =-Epo =Eoo=B(PO)由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒OP等效，后者是重直切割的情况
分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律 t Φ E d d = − 计算（此时必须构造一个 包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO），也可用 = ( B) dl l E v 来 计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得 = ( B) dl OP EOP v B α l l o sin 90 cos d = v ( θω)B ( θ) l l o sin cos 90 d = l − ( ) = = L ωB θ l l ωB L θ 0 2 2 sin 2 1 sin d 由矢量 v B 的方向可知端点P 的电势较高． 解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势 EOP EPQ EQO t Φ E = − = 0 = + + d d 显然，EQO ＝0，所以 ( ) 2 2 1 EOP = −EPQ = EQO = ωB PQ 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂 直切割的情况．
8－19截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（a）所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝）求该螺绕环的自感(a)(b)题8-19图分析如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量，求自感L的方法有两种：1，设有电流I通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L=计算L。2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动计算L。式中EL和都较容易通过实验测定，所以此方法一般势EL，由公式Lal / dl适合于工程中。此外，还可通过计算能量的方法求解解用方法1求解，设有电流I通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（b）所示，由安培环路定理可求得在R1<r<R2范围内的磁场分布为B=LoNI2元X由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为W=NJ,B.dS=N"LoNIhdx=LoN"hnR2元X12元则L=兰oN"hinR12元P若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为ut，则自感将增大μ倍
8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图 中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L． 分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关 的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通 量，再用公式 I Φ L = 计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动 势EL ，由公式 I t E L L d / d = 计算L．式中EL 和 t I d d 都较容易通过实验测定，所以此方法一般 适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解． 解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环 路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范围内的磁场分布为 x μ NI B 2π 0 = 由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 1 2 2 0 0 ln 2π d 2π d 2 1 R μ N hI R h x x μ NI ψ N N S R R = = = B S 则 1 2 2 0 ln 2π R μ N h R I ψ L = 若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr倍．