第一章数项级数 1.1数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系 设{an}是一个给定的序列我们称形式和∑a=a1+a2+…为序列{an}的数项级 数或无穷级数.我们希望将加法从有限个数的和推广到无穷,即希望求序列{an}的和 令Sn=∑a=a1+a2+…+an,s称为级数∑a4的部分和 如果序列{sn}是收敛的,则称∑a收敛,定义其和为∑a=msn 如果序列msn=土,则称∑a发散到±∞,记为∑a4=士 如果序列lmsn不存在,则称∑a发散,其和无意义 例等比级数∑2,其部分和sn=号c=1-q lim s= 级数∑cq收敛,∑cq4 当21时,∑cq4=+当q=-1c≠0时,∑c=c-c+c-c+…其发 散 当 cq 例通常一个实数r∈R可表示为无穷小数r=a0a1a2…,其中a0∈Z,0≤a1≤9 利用级数可将r表示为r=∑4 例3.1:1证明∑ k+收就并求其和
46 第一章 数项级数 §1. 1 数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系 设{ } an 是一个给定的序列, 我们称形式和å = + +L +¥ = 1 2 1 a a a k k 为序列{ } an 的数项级 数或无穷级数. 我们希望将加法从有限个数的和推广到无穷, 即希望求序列{ } an 的和. 令 n n n k sn ak a1 a2 a , s 1 = å = + + + = L 称为级数å +¥ k=1 ak 的部分和. 如果序列{ }n s 是收敛的, 则称å +¥ k=1 ak 收敛, 定义其和为 n k n åak s +¥ = ®+¥ = 1 lim ； 如果序列 = ±¥ ®+¥ n n lim s , 则称å +¥ k=1 ak 发散到± ¥ , 记为å = ± ¥ +¥ k=1 ak ； 如果序列 n n s ®+¥ lim 不存在, 则称å +¥ k=1 ak 发散, 其和无意义. 例 等比级数 å +¥ k =0 k cq , 其部分和 å= + - - = = n k n k n q q s cq c 0 1 1 1 . 当 q <1 时 q c s n n - = ® +¥ 1 lim , 级数å +¥ k =0 k cq 收敛, q c cq k k - å = +¥ =0 1 . 当 q ³1 时, å +¥ = = +¥ k 0 k cq . 当q = -1, c ¹ 0 时, å +¥ = = - + - + k 0 k cq c c c c L 其发 散. 当q < -1时, å = = ¥ +¥ = ®+¥ n k n k cq s 0 lim . 例 通常一个实数r Î R 可表示为无穷小数 r = a0 .a1a2L, 其中a0 Î Z,0 £ ai £ 9 . 利用级数可将r 表示为 å +¥ = = k 0 10k k a r . 例 3. 11：证明å +¥ =1 ( +1) 1 k k k 收敛, 并求其和
证明:级数的部分和sn=∑ 因此 k(k+1)(kk+1 k(k+1)=加msn 例3.1.2:任给x∈R,证明级数∑收敛,并求其和 证明:利用函数f(x)=e的 Taylor公式,对于任意n,存在日n,0<n<1,使得 0<e xx”c<-xe,因而lm k!(n+1)(n+1) kI 我们将级数∑a的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{sn}的收敛和求极限 问题.利用序列极限的性质容易得到 定理3.1如果∑a,∑b收敛,则vc∈R,∑ca和(a+b2)收敛并且 ∑a,∑(a+b)=∑a+∑ 定理312:如果∑an收敛,则 lim a=0 证明:由an=Sn-Sn an收敛等价于{sn}收敛因此 lim a,= lim(s,-Sn=lim s,-lim s_=0 设{Sn}是一给定的序列,定义a1=S,ak=Sk-Sk-1,k=2,3,…则{Sn}是级数 ∑a的部分和构成的序列因此}的收敛和求极限问题就是级数∑a的收敛和求和 问题.所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具.但另一方面级数作为加法的推广 又有其自身独特的问题、特点和研究方法.例如我们可以将级数看作一个无穷积分
47 证 明 ： 级数的部分和 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + ÷ = - ø ö ç è æ + = - + = å å = k k = k k n s n k n k n , 因 此 å +¥ = ®+¥ = = 1 + lim 1 ( 1) 1 k n n s k k . 例 3. 1. 2：任给x Î R , 证明级数å +¥ =0 ! k k k x 收敛, 并求其和. 证明：利用函数 x f (x) = e 的 Taylor 公式, 对于任意n , 存在qn , 0 < qn < 1, 使得 x n x n n k k x e n x e n x k x e ! ( 1)! ( 1)! 0 1 0 + < + < - = + = å q , 因而 x n k k n e k x å = = ®+¥ 0 ! lim . 我们将级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{ }n s 的收敛和求极限 问题. 利用序列极限的性质容易得到 定理 3. 1. 1：如果å å +¥ = +¥ =1 1 , k k k ak b 收敛, 则"c Î R , å å( ) +¥ = +¥ = + 1 k 1 k k k cak和 a b 收敛并且 å å å( ) å å +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = = + = + 1 1 1 1 1 , k k k k k k k k k k cak c a a b a b . 定理 3. 1. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则 lim = 0 ®+¥ n n a . 证明：由 n = n - n-1 a s s , å +¥ n=1 an 收敛等价于{ }n s 收敛. 因此 lim lim ( ) lim lim 0 = - 1 = - -1 = ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ n n n n n n n n n a s s s s . 设 { }n s 是一给定的序列, 定义 a1 = s1 , ak = sk - sk-1 , k = 2,3,L . 则{ }n s 是级数 å +¥ k=1 ak 的部分和构成的序列. 因此{ }n s 的收敛和求极限问题就是级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和 问题. 所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具. 但另一方面级数作为加法的推广, 又有其自身独特的问题、特点和研究方法. 例如我们可以将级数看作一个无穷积分
定理3..3:设∑a是给定的级数,定义[O+∞)上的函数f(x)为f(x)=a4如果 x∈[k,k+1),则∑a收敛的充分必要条件是「,f(x)d收敛如果∑a收敛,则 ∑a=「"f(x)dk 证明:如果厂f(x)收敛则由∑a=sn=」 f(x)dx得 ∑a=lms=lmn∫"f()k=lmn「,f(x)k 反之,设∑a收敛,则对T∈(1+),有 ∫f(k=门/(k+m/(k=+(-pn 由∑a收敛知mna4=0.因此 lm∫/(对k=m+m(-pm1=lm=∑a 由这一定理,级数可以表示为无穷积分.因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数 §3.2无穷级数的 Cauchy准则和绝对收敛性 设{sn}是级数∑a的部分和,利用序列极限的 Cauchy准则,我们不难得到级数收敛 的 Cauchy准则 定理3.2.1 Cauchy准则):级数∑an收敛的充分必要条件是vE>0,N,只要 n>Nk=012…,就有snk-sn|=km+…+ank|<E 证明:(思考题) 在 Cauchy准则中令k→+∞,则得
48 定理 3. 1. 3：设å +¥ k=1 ak 是给定的级数, 定义[0,+¥) 上的函数 f (x) 为 ak f (x) = . 如果 x Î[k, k + 1) , 则å +¥ k=1 ak 收敛的充分必要条件是 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛. 如果 å +¥ k=1 ak 收敛, 则 å ò +¥ = +¥ = 1 1 ( ) k ak f x dx . 证明：如果ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 则由å ò + = = = 1 1 1 ( ) n n k ak sn f x dx 得 å ò ò +¥ ®+¥ + ®+¥ +¥ = ®+¥ = = = 1 1 1 1 a lim s lim f (x)dx lim f (x)dx n n n k n n k . 反之, 设å +¥ k=1 ak 收敛, 则对"T Î (1,+¥) , 有 [ ] [ ] [ ] ( [ ]) T [T ] T T T T f x dx = f x dx + f x dx = s + T - T a ò ò ò -1 1 1 ( ) ( ) ( ) . 由å +¥ k=1 ak 收敛知 lim = 0 ®+¥ k k a . 因此 [ ] ( [ ]) ò [ ] [ ] å +¥ = - ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ = + - = = 1 1 1 1 lim ( ) lim lim lim k T k T T T T T T T f x dx s T T a s a . 由这一定理, 级数可以表示为无穷积分. 因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数. §3. 2 无穷级数的 Cauchy 准则和绝对收敛性 设{ }n s 是级数å +¥ k=1 ak 的部分和, 利用序列极限的 Cauchy 准则, 我们不难得到级数收敛 的 Cauchy 准则. 定理 3. 2. 1（Cauchy 准则）：级数 å +¥ n=1 an 收敛的充分必要条件是 "e > 0, $N , 只要 n > N, k = 0,1,2L, 就有 - = + + < e n+k n an+ an+k s s 1 L . 证明：（思考题）. 在 Cauchy 准则中令k ® +¥, 则得
定理322:如果∑an收敛,则对vE>0,3N,只要n>N,就有∑a<E 如果在 Cauchy准则中令k=1,则有 定理3.2.3:如果∑a4收敛,则ima4=0 例321:级数∑称为调和级数求证=+∞ k 11 证明:对于任意n,-+-+… 令 则对 nn+1 2n2 任意n,有++…+>0.∑不满足 Cauchy准则,因而∑发散由 0得 k =+ k=1 sin kx 例3.2.2:Vx∈R,证明 收敛 证明:由 sin(n+1)x n(n+k)x 1 ≤ 因 此VE>0,取N使<E,则n>N,k=0,1,2…时恒有 sin(n+I)x sin(n+k)x n+1 <E 满足 Cauchy准则,因而收敛 定理324:如果∑收敛,则∑a收敛 证明:因∑同收敛,则满足 Cauchy准则,即vE>0,玉N,只要n>N,k=02 就有an+…+{nk<E.但
49 定理 3. 2. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则对"e > 0, $N , 只要n > N , 就有 å < e +¥ k =n ak . 如果在 Cauchy 准则中令k =1, 则有 定理 3. 2. 3：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则 lim = 0 ®+¥ k k a . 例 3. 2. 1：级数å +¥ =1 1 k k 称为调和级数. 求证å = +¥ +¥ =1 1 k k . 证明：对于任意 n , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 + + > + + + = + + n n n n n n L L . 令 2 1 e0 = , 则对 任意 n , 有 0 2 1 1 1 1 + + > e + + n n n L . å +¥ =1 1 k k 不满足 Cauchy 准则, 因而 å +¥ =1 1 k k 发散. 由 0 1 > k 得å = +¥ +¥ =1 1 k k . 例 3. 2. 2："x Î R , 证明å +¥ =0 2 sin k k kx 收敛. 证明：由 n k n n k n n k n n x n k x 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 sin( ) 2 sin( 1) 1 1 1 1 < - - £ + + = + + + + + + L + + L + + . 因 此"e > 0, 取N 使 < e N 2 1 , 则n > N, k = 0,1,2L时恒有 < e + + + + n+ n+k n x n k x 2 sin( ) 2 sin( 1) 1 L . å +¥ =0 2 sin k k kx 满足 Cauchy 准则, 因而收敛. 定理 3. 2. 4：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则å +¥ k=1 ak 收敛. 证明：因å +¥ k=1 ak 收敛, 则满足 Cauchy 准则, 即"e > 0, $N , 只要n > N, k = 0,1,2L, 就有 + + < e an+1 L an+k . 但
因而∑a满足 Cauchy准则,得∑a收敛 类似于无穷积分,我们有下面定义 定义325:如果∑收敛则称∑a绝对收敛;如果∑a收敛而∑a|=+∞, k=1 k=1 则称∑ak条件收敛 在无穷积分中我们知道∫在是条件收敛的现令a4=2,则 ak dx收敛 ∑|a|= (+D)sin x 因而∑a4不是绝对收敛的 §3.3正项级数 如果对于k=1,2,3…,恒有a>0,则级数∑a1称为正项级数:如果a1≥0,则称 为非负项级数例如∑a是任意项级数,则∑/a|是正项级数 如果∑a1是非负项级数则其部分和,=∑a是单调上升序列,因而仅有两种可能 或者∑a收敛,即{sn}有界:或者∑a=+∞.因此对正项级数,我们通常用一些已知其 收敛和发散性的级数作为标准级数,用以和一般级数进行比较建立收敛的各种判别法 比较判别法:设∑an和∑b都是正项级数,如果存在常数c使n充分大后,有
50 an+1 +L+ an+k £ an+1 +L+ an+k , 因而å +¥ k=1 ak 满足 Cauchy 准则, 得å +¥ k=1 ak 收敛. 类似于无穷积分, 我们有下面定义. 定义 3. 2. 5：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则称å +¥ k=1 ak 绝对收敛；如果å +¥ k=1 ak 收敛, 而å = +¥ +¥ k=1 ak , 则称å +¥ k=1 ak 条件收敛. 在无穷积分中我们知道 ò +¥ p dx x sin x 是条件收敛的. 现令 ò + = p p (k 1) sin k k dx x x a , 则 å ò +¥ +¥ = = p dx x x a k k sin 1 收敛. 但 å å ò åò ò +¥ = + +¥ +¥ = +¥ = + = = = = +¥ 1 ( 1) ( 1 1 ( 1) sin sin sin k k k k k k k k dx x x dx x x dx x x a p p p p p , 因而å +¥ k=1 ak 不是绝对收敛的. §3. 3 正项级数 如果对于 k = 1,2,3L, 恒有ak > 0, 则级数å +¥ k=1 ak 称为正项级数；如果 ak ³ 0 , 则称 å +¥ k=1 ak 为非负项级数. 例如å +¥ k=1 ak 是任意项级数, 则å +¥ k=1 ak 是正项级数. 如果å +¥ k =0 ak 是非负项级数, 则其部分和 å= = n k sn ak 0 是单调上升序列, 因而仅有两种可能. 或者å +¥ k =0 ak 收敛, 即{ }n s 有界；或者å = + ¥ +¥ k=1 ak . 因此对正项级数, 我们通常用一些已知其 收敛和发散性的级数作为标准级数, 用以和一般级数进行比较, 建立收敛的各种判别法. 比较判别法：设 å +¥ n=1 an 和 å +¥ n=1 bn 都是正项级数, 如果存在常数 c 使 n 充分大后, 有