北京大学：《高等代数——数学分析》课程教学资源（讲义）第五章 参变量积分

数学分析讲义 第五章参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分: 1.F()-∫”f(x,y)d 若对于vx∈[ab]上述积分均是有意义的,即[a,]可以到无穷,积分是收敛的 (若为广义积分的话)。也就是说,作为y的函数,f(x,y)在,月上可积或广 义可积,则F(x)在[a]上就是关于x的函数,从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样,但这里我们所关心的是:作为x的函数,F(x) 与∫(x,y)的性质有哪些关系?F(x)何时是可积的?连续的?可导的?等等这 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题 2.G (x)=a/(x, y)dy a(r) 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G(x)的性质不但依赖于f(x,y) 之性质,而且与a(x),β(x)之性质相关。 另外,上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式 §1含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分,即f(x,y)作为y的函数无瑕 点,[a,]是有限区间的情形(或[a(x),B(x)均为有限区间 为便于书写,记D=[ab]×[a,6 1连续性 定理1:f(xy)∈C(D),则(x,y)=(x)teC(D) 证明:由连续定义 )[(xm=(x) 上式中,第一项可利用函数之连续性,第二项利用函数的可积性说明为小量 由f(x,y)∈C(D),D是有界闭集,所以∫(x,y)在D上一致连续 因而:VE>0,彐61>0,当x-x<61,|y-<6时,有: 13.113

数学分析讲义 13.113 第五章 参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分： 1. F ( x) f ( x y, )dy b a = ò 若对于 " Îx [a b, ] 上述积分均是有意义的，即[a b, ]可以到无穷，积分是收敛的 （若为广义积分的话）。也就是说，作为 y 的函数， f ( x y, ) 在[a b, ]上可积或广 义可积，则 F x( )在[ a b, ] 上就是关于 x 的函数，从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样，但这里我们所关心的是：作为 x 的函数，F x( ) 与 f ( x y, ) 的性质有哪些关系？ F x( )何时是可积的？连续的？可导的？等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , x x G x f x y dy b a = ò 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G x( ) 的性质不但依赖于 f ( x y, ) 之性质，而且与a ( x)， b ( x) 之性质相关。 另外，上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式。 §1 含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分，即 f ( x y, ) 作为 y 的函数无瑕 点，[a b, ]是有限区间的情形（或 é ù a b ( x x ), ( ) ë û 均为有限区间）。 为便于书写，记D = ´ [a b, , ] [a b]。 1 连续性 定理 1： f ( x, y C )Î (D ) ，则 ( , , ) ( ) ( ) y I x y f x t dt C a = Î ò D 。 证明： 由连续定义， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , y y y y y I x y I x y f x t dt fxt dt f x t f x t dt f x t dt a a a - = - £-+ é ù ë û ò ò ò ò 上式中，第一项可利用函数之连续性，第二项利用函数的可积性说明为小量： 由 f ( x, y C )Î (D ) ，D 是有界闭集，所以 f ( x y, ) 在D 上一致连续。 因而：" > e 0 ，$ > d1 0 ，当 0 1 x x - <d ， 0 1 y y - < d 时，有：

含参量的积分 =m2,M==y( 则当x-x<6,|y-则<6时,有: 1(x,y-(x,3)12(B-a) x-a+M1y-x|<5+M= 所以/(x,y)∈C(0) 毕 定理1可以有如下形式之推论 推论:f(xy)∈C(D),则F(x)=Jf(xy)∈ca小,即 y)dy=/(oo, y)dy=f 推论可以简称为:极限号与积分号可以交换次序。 定理2:f(x,y)∈C(D),q(x),v(x)∈C[a,b 且x∈[ab]时,a≤q(x)v(x)≤B, 则:G(x)=J(xy)eC[a,b] 证明:由于G(x)=-。f(xy)-J。f(xy)=1(xw(x)-1(x9(x) 由复合函数之连续性知:G(x)∈C[ab] 2可导性 定理3:设f(xy),(xy)∈C(D),则F(x)=Jmf( y)dyeCola, b 且F(x)=f1(xy)d,即求导与积分可以交换次序。 证明:由导数定义 F(+Ax)-F(x)_[ f(+Ax, y)-f(x,y) 中值定理 f(x+0Ax,y)dy 由于f(xy)∈C(),由上一段推论知: m(x+0xy)h=”(x)小 所以F(x)=”(xy小

含参量的积分 13.114 f ( x, y ) - fxy ( 0 0 , 2 ) < - e (b a )， 令： mi 1 n , 2M e d dì ü = í ý î þ ， ( ) ( ) , max , x y M f x y Î = D ， 则当 0 x x - <d ， 0 y y - <d 时，有： ( ) ( ) ( ) 0 000 , , 2 2 2 I x y I x y y M y y M M e e e a e b a - < - + - < + = - 所以 I x( , y C )Î (D ) 。 证毕 定理 1 可以有如下形式之推论： 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则 F ( x) f ( x y, , )dy Cab [ ] b a = Î ò ，即： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim , , lim , x x x x f x y dy f x y dy f x y dy b b b ® ® a a a = = ò ò ò 。 推论可以简称为：极限号与积分号可以交换次序。 定理 2： f ( x, y C )Î (D ) ，j y ( x), , ( x )ÎCab [ ]， 且 xÎ[a b, ]时，a £ £ j( x x ),y b ( ) ， 则： ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ ] x x G x f x y dy Cab y j = Î ò 。 证明： 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,,, ( ( )) ( ( )) x x G x f x y dy f x y dy I x x I x x y j a a = - = - y j ò ò 由复合函数之连续性知：G( x)ÎCab [ , ]。 2 可导性 定理 3：设 f ( x, y f ), , x ( x y C )Î (D ) ，则 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 F x f x y, , dy C a b b a = Î ò ， 且 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò ，即求导与积分可以交换次序。 证明： 由导数定义： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , x , 0 1 F x x F x f x x y f x y dy x x f x x y dy b a b a q q + D - + D - = D D = + D < < ò ò 中值定理 由于 f x ( x, y C )Î (D ) ，由上一段推论知： ( ) ( ) 0 lim , , x x x f x x y dy f x y dy b b a a q D ® + D = ò ò 所以 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò

数学分析讲义 同样由于由于f(xy)∈C(D),由上一段推论知:F(x)∈Cab] 所以F(x)∈C[a 证毕 定理4:f(x,y),f(x,y)∈C(D),q(x)(x)在[a上可导, 且x∈[ab]时,a≤q(x)v(x)≤B 则G(x)=m/(xy在a上可导,并且 G(x)=m1(x2y)+f(xv(x)v(x)-f(x9(x)?() 证明:令F(x,x)=「(xy),则G(x)=F(v(x,(x)x) 利用复合函数之求导法则,有 Gr)oF du aF dy, aFI d x f(x,y(x) y(x)/(x, 9(x) @(x)+af(x, y)dy 证毕 例lF(≈rsin(x) 力,求F(x) 解:由定理4, F(x) f cos(xy) 2sin(x)-sin(x2) (xy)dy ,2(s()23sg)2nc x 例2:求积分1(0)=m(+cosx)dr,间< 解:在≤1-6<1内,由定理3知(0)可导,因此 COSx dt 1+0 cos x 1+7)(++(1-0) e+(1-)

数学分析讲义 13.115 同样由于由于 f x ( x, y C )Î (D ) ，由上一段推论知： F¢( x )ÎCab [ , ]， 所以 ( ) ( ) [ ] 1 F x CÎ a b, 。 证毕 定理 4： f ( x, y f ), , x ( x y C )Î (D ) ，j y ( x x ), ( )在[ a b, ] 上可导， 且 xÎ[a b, ]时，a £ £ j( x x ),y b ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) , x x G x f x y dy y j = ò 在[ a b, ] 上可导，并且： ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) , , , x x x G x f x y dy f x x x f x x x y j ¢ = + y ×y¢ ¢ - × j j ò 。 证明： 令 ( , , , ) ( ) u v Fuv x = f x y dy ò ，则G( x) = F x (y j ( ), , ( x x ) ) 。 利用复合函数之求导法则，有： ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , u x v x x x x F du F dv F G x u dx v dx x f x x x f x x x f x y dy y j y j y y j j = = ¶ ¶ ¶ ¢ = × + + ¶ ¶ ¶ = × ¢ ¢ - × + ò 证毕 例 1： ( ) ( ) 2 x sin x xy F x dy y = ò ，求 F x ¢( ) 。 解： 由定理 4， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 232 cos sin sin 2 1 2sin sin cos sin 2sin sin 3sin 2sin x x x x x x y xy x x x x F x dy x y x x x x xy dy x xy x xxx x x x × × ¢ = + × - × - = + - - = + = ò ò 例 2：求积分 ( ) ( ) 0 I ln 1 cos x dx p q q = + ò ， q <1。 解： 在 q d £-< 1 1内，由定理 3 知I(q ) 可导，因此： ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) tan 2 2 2 2 0 0 2 2 0 cos 2 1 1 cos 111 2 1 1 111 x t x t I dx dt x t t dt t t p q q q q q q q = +¥ +¥ - ¢ = = + + ++- é ù = - ê ú + ++- ë û ò ò ò

含参量的积分 所以:r() 因而 (0)=/(0)+”r(0)d=0+ n(1+1-2)-xln2 例3:设n(x)=cos(m0-xsn6)d0,求证:(x)满足方程x+x+(x2-m2)n=0 证明:由定理3, )= sin(ne-xsine)(sine )de= sin( l0)sin ede (ne-xsin e )sin e 因而:x2u”+x foiL-x'sin20+x-n]cos(ne-xsine+sine sin(ne-xsine )de o((r cos e-n")cos(ne-xsin0)+xsine sin( ne-xsine)de fo((n+ rose)d sin(ne-x sin e)-sin(ne-xsine)d(n+r cos e ) )sin(ne-xsin0 )=0 故命题得证。 3可积性 证明令:F()/(y,G()(xy 方面,由于f(xy)∈C(D),所以(xy) 因而变上限积分F()可导,且F()=m(,)d 另一方面,y∈[a,变上限积分∫f(xy)∈C[小],所以 f(=/( 所以:F()=G(=),因此有F(=)=G(=) 又:z=a时,F(a)=G(a),所以:C=0 13.116

含参量的积分 13.116 所以： ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 I p p pq q q q q q é ù ¢ = ê ú - = - ë û - - - + ，因而： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln2 I I I d d q q q pq q q q q q q p q p q p - = + ¢ = + - + - = + - = + - - ò ò 例 3：设 ( ) ( ) 0 u x cos n x d sin p = - q q q ò ，求证：u x( ) 满足方程 ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ + + xu x - = n u 0 。 证明： 由定理 3， ( ) ( )( ) ( ) 0 0 u x sin n x sin sin d sin n x d sin sin p p ¢ = - q q - -=- q q q q q q ò ò ( ) ( ) 2 0 u x cos n x d sin sin p ¢¢ = - - q q q q ò 因而： ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ ++- xu x n u { ( ) ( )} {( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin 0 x x n n x x n x d x n n x x n x d n x d n x n x d n x n x n x p p p p q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq = é ù - + - - + - ë û = - - + - = - + - - - + = - + - = ò ò ò 故命题得证。 3 可积性 定理 5：f ( x, y C )Î (D ) ，" Îz [a b, ]有： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证明： 令： ( ) ( , ) z a F z f x y dy dx b a é ù = ê ú ë û ò ò ， ( ) ( , ) z a G z f x y dx dy b a é ù = ê ú ë û ò ò 。 一方面，由于 f ( x, y C )Î (D ) ，所以 f ( x y, , )dy Cab [ ] b a Î ò 因而变上限积分 F z( ) 可导，且 F (z) fzy ( , )dy b a ¢ = ò ； 另一方面，" Îy [a b, ]，变上限积分 ( ) ( ) [ ] 1 , , z a f x y dxÎC a b ò ，所以： ( ) ( ) ( , ) z a a G z f x dx dy f z y dy z b b a é ù ¶ ¢ = = ê ú ë û ¶ ò ò ò 。 所以： F¢ ¢ (z) = G z( ) ，因此有 F (z) = + G(z C ) 。 又： z a = 时， F (a) = G a( )，所以：C = 0

数学分析讲义 证毕 推论:(x)∈C(D),则:∫ f(, y)dx dy 例4:设0<a<b,求积分/=r+2 Inx 解:由于 dy,所以 In x dx xdy dx In x =(4 b+1 X≠a 例5:设f(x)∈C(-+∞),(n≥1),令g(x)= (a) 求证:g(x)∈Cm(-m,+) 证明:f(x)-/(a)=0f( dt f(a+(x-a))dt=5or(a+i(x-a)( 所以:(=r(+(x),xa 又因为:f(a)=Cr(+(a-a)d,所以:g(x=J/(a+(x-a)d 由于f(x)∈Cm(-+∞),所以g(x)∈Cm(-,+∞)。 例6:计算积分/()=(1=2rs+r)d0,H|<1 解:在川1-6<1内1()可导,因此:()=「 2r-2cos8-de 01-2 rcos6+r r(0)=(-2cos)d0=0,而当r≠0时, r()= d0=-10-2arcta 0 1-2rcos0+r2 所以:()=0,/(r)=(0)= 13.117

数学分析讲义 13.117 即： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证毕 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则： ( , , ) ( ) b b a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 例 4：设0 < a < b ，求积分 ò - = 1 0 ln dx x x x I b a 。 解： 由于 ò = - b a y b a x dy x x x ln ，所以： 1 1 1 0 0 0 1 1 0 ln 1 ln 1 1 1 b a b b y y a a y b b a a x x I dx x dy dx x dx dy x x dy b dy y y a + - éùéù = = = êúêú ëûëû + = = = + + + ò ò ò ò ò ò ò 例 5： 设 ( ) ( ) ( , ) n f x C Î -¥ +¥ ，(n ³1) ，令 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a x a g x x a f a x a ì - ï ¹ = í - ï ¢ = î 求证： ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 证明： ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))( ) 1 1 0 0 d f x f a fatxa dt f a t x a x a dt dt - = + - = ¢ + - - ò ò 所以： ( ) ( ) ( ( )) 1 0 f x f a fatxa dt x a - = ¢ + - - ò ， x a ¹ 又因为： ( ) ( ( )) 1 0 f ¢ ¢ a = f a + - t a a dt ò ，所以： ( ) ( ( )) 1 0 g x = f a ¢ + - t x a dt ò 。 由于 ( ) ( ) ( ) 1 , n f x C - ¢ Î -¥ +¥ ，所以 ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 例 6：计算积分 ( ) ( ) 2 0 I r ln 1 2 rcos r d p = - + q q ò ， r <1。 解： 在 r £1 1 - < d 内 I r( )可导，因此： ( ) 2 0 2 2cos 1 2 cos r I r d r r p q q q - ¢ = - + ò 。 ( ) ( ) 0 I d 0 2cos 0 p ¢ = - = q q ò ，而当r ¹ 0时， ( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2arctan tan 0 1 2 cos 1 2 r r I r d r r r r r p p q q q q é ù - é æ ö - ù ¢ = - = - = ê ú ê ú ç ÷ ë û - + + ë û è ø ò 所以： I r ¢( ) º 0 ， I(r I ) º = (0 0 )