a,≤cb,,则 (1)如果∑b收敛,则∑an收敛 (2)如果∑a发散,则∑bn发散 证明:不妨设对所有n,都成立an≤cb,因此,对任意n,∑an≤C∑b如果 ∑收敛则∑b}有果因而{∑}有界得应a收敛 利用比较判别法不难得到 定理33.1:设∑an和∑bn都是正项级数,设m=1,则 →∞ 1.0<l<+∞时, b同时收敛或发散 2.如果=0,并且∑bn收敛则∑a收敛 3如果l=+∞,并且∑bn发散,则∑a发散 如果我们将收敛级数∑an的通项an构成的序列{an}看作无穷小序列,则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散:如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛,则高阶无穷小构成的正项级数也收敛:如果高阶无穷小构成的正项级数发散,则低阶 无穷小构成的正项级数也发散 例33.1:证明∨x∈R,2in绝对收敛 证明:由lm 因此 是 2 3415}的同阶无穷小(x≠0)
51 n n a £ cb , 则 （1） 如果å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； （2） 如果å +¥ n=1 an 发散, 则å +¥ n=1 bn 发散. 证明：不妨设对所有n , 都成立 n n a £ cb . 因此, 对任意n , å å +¥ = +¥ = £ 1 n 1 n n an c b . 如果 å +¥ n=1 bn 收敛, 则 þ ý ü î í ì å= n k bk 1 有界, 因而 þ ý ü î í ì å= n k ak 1 有界, 得å +¥ n=1 an 收敛. 利用比较判别法不难得到 定理 3. 3. 1：设å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 都是正项级数, 设 l b a n n n = ®+¥ lim , 则 1. 0 < l < +¥时, å +¥ n=1 an 和å +¥ n=1 bn 同时收敛或发散； 2. 如果l = 0 , 并且å +¥ n=1 bn 收敛, 则å +¥ n=1 an 收敛； 3. 如果l = +¥ , 并且å +¥ n=1 bn 发散, 则å +¥ n=1 an 发散. 如果我们将收敛级数 å +¥ n=1 an 的通项 an 构成的序列{ } an 看作无穷小序列, 则上面定理可 表示为同阶无穷小构成的正项级数同时收敛或者同时发散；如果低阶无穷小构成的正项级数 收敛, 则高阶无穷小构成的正项级数也收敛；如果高阶无穷小构成的正项级数发散, 则低阶 无穷小构成的正项级数也发散. 例 3. 3. 1：证明"x Î R , å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 证明：由 x x k k k k = ÷ ø ö ç è æ ®+¥ 3 2 3 2 sin lim , 因此 þ ý ü î í ì k k x 3 2 sin 是 ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ø ö ç è æ k 3 2 的同阶无穷小（ x ¹ 0 ）
或高阶无穷小(x=0).而∑/2)4 收敛,因此∑2sin绝对收敛 例3.3.2:证明级数 SI 在p≤1时发散,p>1时收敛 证明:p1时,121.但已知调和级数1=+0,因此1=+ n 当p>1时,在+∞)上定义函数8(x)=如果x∈团n+1)定义函数f(x)为 ∫(x)=1如果x∈(1,2) f(x)= 如果x∈[2,+∞),则在[,+∞)上 0<g(x)≤f(x).但由广义积分知p>1时,f(x)dx收敛,利用广义积分的比较判别法 得厂“g()收但∑ N=」,g(x)x,因而p>1时 收敛 例3.3.3:讨论级数 的收敛性 解:令∫(x)=x-ln(1+x),则∫(0)=0,f'(x)=1 因此x>0时 1+x1+x ∫(x)>0,∫(x)单调递增。特别地,当x>0时有f(x)>f(0)=0.令x1得 1 是正项级数 利用洛必达法则,当x→0时将f(x)和x2进行比较,得Imf(x)=m1+S少 x→02x 即x→0时f(x)与x2是同阶无穷小特别地,令x=-,得{-h1+-与 同阶无穷小但已知总1收敛因此(1-1+1)收敛 k 为部分和,则
52 或高阶无穷小（ x = 0）. 而 k k å +¥ = ÷ ø ö ç è æ 1 3 2 收敛, 因此å +¥ =1 3 2 sin k k k x 绝对收敛. 例 3. 3. 2：证明级数å +¥ =1 1 n p n 在 p £ 1时发散, p > 1时收敛. 证明： p £ 1时, n n p 1 1 ³ . 但已知调和级数å +¥ = = +¥ 1 1 n n , 因此å +¥ = = +¥ 1 1 n p n . 当 p > 1 时 , 在 [1,+¥) 上定义函数 p n g x 1 ( ) = 如 果 x Î[n, n + 1) . 定义函数 f (x) 为 f (x) = 1 如 果 x Î (1,2) , p x f x ( 1) 1 ( ) - = 如 果 x Î[2,+¥) , 则 在 [1,+¥) 上 0 < g( x) £ f (x) . 但由广义积分知 p > 1时 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 利用广义积分的比较判别法 得 ò +¥ 1 g(x)dx 收敛, 但å ò +¥ +¥ = = 1 1 ( ) 1 g x dx n n p , 因而 p > 1时å +¥ =1 1 n p n 收敛. 例 3. 3. 3：讨论级数å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 的收敛性. 解：令 f (x) = x - ln(1+ x) , 则 f (0) = 0 , x x x f x + = + ¢ = - 1 1 1 ( ) 1 . 因此 x > 0 时 f ¢(x) > 0 , f (x) 单调递增. 特别地, 当 x > 0 时有 f (x) > f (0) = 0 . 令 n x 1 = , 得 0 1 ln 1 1 ÷ > ø ö ç è æ - + n n , å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 是正项级数. 利用洛必达法则, 当 x ® 0 时将 f (x) 和 2 x 进行比较, 得 2 1 2 1 lim ( ) lim 0 2 0 = + = ® + ® + x x x x f x x x , 即 x ® 0 时 f (x) 与 2 x 是同阶无穷小. 特别地, 令 n x 1 = , 得 þ ý ü î í ì ÷ ø ö ç è æ - + n n 1 ln 1 1 与 þ ý ü î í ì 1 2 n 是 同阶无穷小. 但已知å +¥ =1 2 1 n n 收敛, 因此å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ - + 1 1 ln 1 1 n n n 收敛. 令 å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + 1 1 ln 1 1 n n n c , å= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ = - + n k n k k s 1 1 ln 1 1 为部分和, 则
k+1 In(n+1) k 得∑大=(n+1)+c+an其中,→0是无穷小如果用hn代替1(n+D),上式可表 示为∑=n+C+a,即→+时调和级数y 与hn是等价无穷小.上式中c称 为欧拉( Euler)常数.利用其它方法可得 C=0.57721566490 为了与某些给定的标准级数进行比较,我们通常将比较判别法表示为 比较判别法:设∑a,∑b是正项级数,如果n充分大时分。bm,则当 bn收敛时,∑an收敛: 发散时 发散 证明:由于改变一个级数的有限项不影响其收敛和发散性,因此不妨设对于n=1,2,3 恒有 anb,特别地a_ana 因此an≤,bn,我们的定理就是前面的比较判别法 利用等比级数∑cq”作为标准级数,用以判别其它级数的收敛和发散性,我们可以建 立下面的达郎倍尔( D Alembert)判别法 达郎倍尔判别法:设∑an是正项级数,如果lmg=r<1,则∑an收敛:如果 =r>1,则>an发散 证明:设lman=r<1,取E>0使r+E<1,则由极限定义知,丑N,当n>N时, (r+E) <P十E 但r+E<1,因而∑(+6)”收敛,得∑an收敛 (r+E)
53 ln( 1) 1 1 ln 1 1 1 1 ÷ = - + ø ö ç è æ + = å -å å = = = n k k k k s n k n k n k n , 得 n n k n c k å = + + +a = ln( 1) 1 1 , 其中an ® 0是无穷小. 如果用ln n 代替ln( n + 1) , 上式可表 示为 n n k n c k å = + +a = ln 1 1 , 即n ® +¥ 时调和级数 å= n k 1 k 1 与ln n 是等价无穷小. 上式中 c 称 为欧拉（Euler）常数. 利用其它方法可得 c = 0.57721566490L. 为了与某些给定的标准级数进行比较, 我们通常将比较判别法表示为 比较判别法：设å +¥ n=1 an , å +¥ n=1 bn 是正项级数, 如果n 充分大时恒有 n n n n b b a a +1 +1 £ , 则当 å +¥ n=1 bn 收敛时, å +¥ n=1 an 收敛；å +¥ n=1 an 发散时, å +¥ n=1 bn 发散. 证明：由于改变一个级数的有限项不影响其收敛和发散性, 因此不妨设对于n = 1,2,3L 恒有 n n n n b b a a +1 +1 £ . 特别地, 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 b b b b b b b b a a a a a a a a n n n n n n n n n n = × × × £ × × × = - - - - - - L L . 因此 n bn b a a 1 1 £ . 我们的定理就是前面的比较判别法. 利用等比级数å +¥ n=0 n cq 作为标准级数, 用以判别其它级数的收敛和发散性, 我们可以建 立下面的达郎倍尔（D’Alembert）判别法. 达郎倍尔判别法：设å +¥ n=0 an 是正项级数, 如果 lim 1 1 = < + ®+¥ r a a n n n , 则å +¥ n=0 an 收敛；如果 lim 1 1 = > + ®+¥ r a a n n n , 则å +¥ n=0 an 发散. 证明：设 lim 1 1 = < + ®+¥ r a a n n n , 取e > 0使r +e <1, 则由极限定义知, $N , 当n > N 时, 有 n n n n r r r a a ( ) ( ) 1 1 e e e + + < + = + + , 但r +e <1, 因而å +¥ = + 0 ( ) n n r e 收敛, 得å +¥ n=0 an 收敛
设mam=r>1,取ε>0使r-E>1,则彐N,当n>N时,有 a.>F-E=(-)",但∑(-)”发散,由比较判别法∑an发散 例3.3.4:讨论级数∑一的收敛性 计1时x收数时1时时发散容易看出1时→,因此工显然 n 发散当=1时,达郎倍尔判别法不能判别其是否收敛 例33.5:讨论级数∑ 的收敛性 解:x=0时显然收敛.设x≠0,则 n+1 +1 n n 因此lm 得<e时级数绝对收敛,而(>e时由ln|>n,得|a单调上 升,因而不趋于零,级数发散.当团=e时,lmP=1,达郎倍尔判别法不能判别其是 否收敛 同样以等比级数∑cq为标准级数,我们有下面的哥西判别法 哥西判别法:设∑a是正项级数,如果man=r<1,则∑a收敛:如果
54 设 lim 1 1 = > + ®+¥ r a a n n n , 取 e > 0 使 r -e >1 , 则 $N , 当 n > N 时 , 有 n n n n r r r a a ( ) ( ) 1 1 e e e - - > - = + + , 但å +¥ = - 0 ( ) n n r e 发散, 由比较判别法å +¥ n=0 an 发散. 例 3. 3. 4：讨论级数å +¥ n=1 n n x 的收敛性. 解 ： x n n n x n x a a n n n n 1 1 1 1 + = + = + + , 因此 x a a n n n = + ®+¥ 1 lim . 由达郎倍尔判别法得, x <1时å +¥ n=1 n n x 收敛；x >1时å +¥ n=1 n n x 发散. 容易看出 x >1时 ® ¥ n x n , 因此å +¥ n=1 n n x 显然 发散. 当 x =1时, 达郎倍尔判别法不能判别其是否收敛. 例 3. 3. 5：讨论级数å +¥ = ÷ ø ö ç è æ 1 ! n n n x n 的收敛性. 解：x = 0时显然收敛. 设x ¹ 0 , 则 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 ( 1)! ( 1) 1 1 - + + + ÷ ø ö ç è æ + ÷ - ø ö ç è æ + = - ÷ ø ö ç è æ + ÷ = - ø ö ç è æ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + n n n n n n n n n x n x n n x n x n n x n a a 因此 e x a a n n n = + ®+¥ 1 lim , 得 x < e 时级数绝对收敛, 而 x > e 时由 an+1 > an , 得 an 单调上 升, 因而不趋于零, 级数发散. 当 x = e时, lim 1 1 = + ®+¥ n n n a a , 达郎倍尔判别法不能判别其是 否收敛. 同样以等比级数å +¥ k =0 k cq 为标准级数, 我们有下面的哥西判别法. 哥西判别法 ：设 å +¥ k =0 ak 是正项级数 , 如果 lim = < 1 ®+¥ a r n n n , 则 å +¥ k =0 ak 收敛；如果