第三章幂级数 在函数级数∑un(x)中令un(x)=an(x-x)”,为最简单的幂级数,则我们得到形为 an(x-x0)”的函数级数,称之为x0处展开的幂级数.本章中我们将讨论幂级数的性质, 并证明从可导性而言,幂级数构成所有函数中最好的一类函数.幂级数更进一步的理论将在 《复变函数论》中讲授 从形式上看,幂级数∑an(x-x0)”是多项式的推广,利用变换x=x-x0,我们可 以仅考虑形如anx"的幂级数 §3.1幂级数的收敛半径 定理1设幂级数∑anx”在x收敛,则对于任意0≤r<x∑anx”在-r,门 上绝对一致收敛 证明:当x∈[-r,r]时,∑anx ∑anx收敛,因而anx→0, 得存在M,使对于任意n,恒有115M,因而x5M(但∑M收 敛,由控制收敛判别法,得∑anx"在r,门]上绝对一致收敛 设∑anx”是给定的幂级数,定义 R=sp{∑anx”在x收敛 由于x=0时总是收敛的,因而R是有意义的,并且0≤R≤+∞,R称为幂级数∑anx”的 收敛半径,其意义是
86 第三章 幂级数 在函数级数å +¥ =1 ( ) n un x 中令 n n n u (x) a (x x ) = - 0 ，为最简单的幂级数，则我们得到形为 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 的函数级数，称之为 0 x 处展开的幂级数. 本章中我们将讨论幂级数的性质， 并证明从可导性而言，幂级数构成所有函数中最好的一类函数. 幂级数更进一步的理论将在 《复变函数论》中讲授. 从形式上看，幂级数 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 是多项式的推广，利用变换 0 x = x - x ，我们可 以仅考虑形如å +¥ n =0 n an x 的幂级数. §3. 1 幂级数的收敛半径 定理 5. 1. 1：设幂级数å +¥ n =0 n an x 在 0 x 收敛，则对于任意0 0 £ r < x ，å +¥ n =0 n an x 在[-r,r] 上绝对一致收敛. 证明：当x Î [-r,r] 时， n n n n n n n x x a x a x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ å = å +¥ = +¥ = 0 0 0 0 . å +¥ =0 0 n n an x 收敛，因而 0 an x0 n ® ， 得存在 M ，使对于任意n ，恒有 a x M n n 0 £ ，因而 n n n x r a x M ÷ ÷ ø ö ç ç è æ £ 0 . 但å +¥ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ n 0 0 n x r M 收 敛，由控制收敛判别法，得å +¥ n =0 n an x 在[-r,r] 上绝对一致收敛. 设å +¥ n =0 n an x 是给定的幂级数，定义 þ ý ü î í ì = å +¥ =0 sup n n n R x a x 在x收敛 . 由于 x = 0 时总是收敛的，因而 R 是有意义的，并且0 £ R £ +¥. R 称为幂级数å +¥ n =0 n an x 的 收敛半径，其意义是
定理51.2设R>0是幂级数∑anx”的收敛半径,则对于任意0<r<R,∑anx 在[-r,1]上一致收敛:而对x∈[RR,∑ax”在x发散 例5.1.1:令anxn 对于任意x∈(-∞,+∞),由达郎倍尔判别法 02+/m=m+→0,因丽∑收效,得∑的收效半径为R=+0 例512:对任意x≠0,由nx”→”得∑n"发散,因而其收敛半径为R=0 例5.1.3 在(-11)内收敛,在x=1时发散,因而其收敛半径R=1.∑二在 收敛区域(-1,1)的一个端点x=-1收敛,而在另一端点x=1时发散 例514:∑x"在(-1内收敛,但在两个端点都不收敛 例5:利用达郎倍尔判别法不难看出,∑二在<1时收敛,>1时发散,因 而收敛半径为1,其在收敛区域(-1,1)的两个端点都是收敛的 达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径 定理513对给定的幂级数1x”,如果hm=P,则R=1 证明:如果lmn=p,则当<一时m=<1,因而∑ax收 n=0 而>一时 =px>1,anx"发散,因而R= 同理,我们也可用 Cauchy判别法给出幂级数的收敛半径 设R是幂级数∑anx”的收敛半径,则∑ax"在(-R,R)中任意闭区间上一致收敛 n=0
87 定理 5. 1. 2：设R > 0是幂级数å +¥ n =0 n an x 的收敛半径，则对于任意0 < r < R ，å +¥ n =0 n an x 在[-r,r] 上一致收敛；而对 x Ï[-R, R]，å +¥ n=0 n an x 在 x 发散. 例 5. 1. 1：令 å å +¥ = +¥ = = 0 0 ! n n n n n n x a x ，对于任意 x Î (-¥,+¥) ，由达郎倍尔判别法， 0 ( 1)! ! 1 1 ® + = + + n x n x n x n n ，因而å +¥ =0 ! n n n x 收敛，得å +¥ =0 ! n n n x 的收敛半径为 R = +¥ . 例 5. 1. 2：对任意x ¹ 0 ，由 n n n! x ® ¥ 得 n n ån x +¥ =0 ! 发散，因而其收敛半径为 R = 0. 例 5. 1. 3：å +¥ n =0 n n x 在(-1,1) 内收敛，在 x =1时发散，因而其收敛半径 R = 1. å +¥ n =0 n n x 在 收敛区域(-1,1) 的一个端点 x = -1收敛，而在另一端点 x =1时发散. 例 5. 1. 4：å +¥ n=0 n x 在(-1,1) 内收敛，但在两个端点都不收敛. 例 5. 1. 5：利用达郎倍尔判别法不难看出，å +¥ =0 2 n n n x 在 x <1时收敛， x >1时发散，因 而收敛半径为 1，其在收敛区域(-1,1) 的两个端点都是收敛的. 达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径. 定理 5. 1. 3：对给定的幂级数å +¥ n =0 n an x ，如果 = r + ®+¥ n n n a a 1 lim ，则 r 1 R = . 证明：如果 = r + ®+¥ n n n a a 1 lim ，则当 r 1 x < 时 lim 1 1 1 = < + + ®+¥ x a x a x n n n n n r ， 因而å +¥ n =0 n an x 收 敛. 而 r 1 x > 时 lim 1 1 1 = > + + ®+¥ x a x a x n n n n n r ，å +¥ n =0 n an x 发散，因而 r 1 R = . 同理，我们也可用 Cauchy 判别法给出幂级数的收敛半径. 设 R 是幂级数å +¥ n =0 n an x 的收敛半径，则 å +¥ n =0 n an x 在(-R, R) 中任意闭区间上一致收敛
(称∑anx在(-RR)上内闭一致收敛).∑anx”在[-RR外发散,在±R处可能发 H=0 散也可能收敛 定理5.1 a"在R(-R)处收敛的充分必要条件是∑ax”在[0R) ((-R0])上一致收敛 证明:设∑a1x收敛则x∈[0时、anx=∑aRR2a,R”收敛 因而对x∈[0R)一致收敛而(x在x∈[0,R)时是单调有界的,由Ab判别法,得 ∑anx"在[O.,R)上一致收敛 反之,设∑an1x”在[0,R)上一致收敛,由 Cauchy准则,V6>0,N,使 n>Nk=12…时,有∑ax<E在[,R)上成立.令x→R,得∑a|sE ∑anR"满足 Cauchy准则,因而收敛 §5.2收敛幂级数的性质 函数∫(x)称在点x处可展为幂级数,如果存在幂级数∑an(x-x0)使在x0邻域上 f(x)=∑an(x-x0)”这时∑an(x-x)”称为f(x)在x0处的 Taylor级数.如果 xo=0,则其又称为∫(x)的 Maclaurin(麦克劳林)级数.称∫(x)在(a,b)上可展为幂级 数如果∫(x)在(an,b)的每一点都可展为幂级数 下面定理是关于收敛幂级数的基本定理 定理521:幂级数∑a(x-x0)”与其逐项求导所得的幂级数
88 （称å +¥ n =0 n an x 在(-R, R) 上内闭一致收敛）. å +¥ n =0 n an x 在[-R,R]外发散，在 ± R 处可能发 散也可能收敛. 定理 5. 1. 4：å +¥ n =0 n an x 在 R （ - R ）处收敛的充分必要条件是å +¥ n =0 n an x 在[0, R) （(-R,0]）上一致收敛. 证明：设å +¥ n =0 n an x 收敛，则 x Î[0, R) 时，å å +¥ = +¥ = ÷ ø ö ç è æ = 0 n 0 n n n n n n R x a x a R . å +¥ n=0 n anR 收敛， 因而对 x Î[0, R) 一致收敛. 而 n R x ÷ ø ö ç è æ 在 x Î[0, R) 时是单调有界的，由 Abel 判别法，得 å +¥ n =0 n an x 在[0, R) 上一致收敛. 反 之 ， 设 å +¥ n =0 n an x 在 [0, R) 上一致收敛， 由 Cauchy 准 则， "e > 0, $N ， 使 n > N, k = 1,2,L 时，有 å < e + = n k i n i i a x 在 [0, R) 上成立. 令 x ® R ，得 å £ e + = n k i n i aiR . å +¥ n =0 n anR 满足 Cauchy 准则，因而收敛. §5. 2 收敛幂级数的性质 函数 f ( x) 称在点 0 x 处可展为幂级数，如果存在幂级数å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 使在 0 x 邻域上 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x . 这时å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 称为 f ( x) 在 0 x 处的 Taylor 级数. 如果 x0 = 0 ，则其又称为 f ( x) 的 Maclaurin（麦克劳林）级数. 称 f ( x) 在(a, b) 上可展为幂级 数. 如果 f ( x) 在(a, b) 的每一点都可展为幂级数. 下面定理是关于收敛幂级数的基本定理. 定理 5. 2. 1：幂级数å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 与其逐项求导所得的幂级数
有相同的收敛半径 证明:利用洛必达法则易得→1.因此lmmk=m=y 设∫(x)=∑an(x-x0)”是f(x)在x处展开的幂级数,设∑an(x-x0)”的收敛 半径为R,则对于任意0<r<R,∑an(x-x0)”与∑man(x-x0)”都在[-r,n]上 一致收敛,因此f(x)可导并可逐项求导但另一方面,∑nan(x-x0)逐项求导所得 的幂级数与∑nan(x-x0)”仍有相同的收敛半径因此仍然可以逐项求导,以此类推, 我们得到 定理5.2.2:设f(x)在(x0-R,x+R)上可展为收敛半径为R的幂级数 f(x)=∑an(x-x0)”,则∑a1(x-x0)”任意阶逐项求导所得的幂级数有相同的收敛 半径R,因此f(x)任意阶可导,并且fm(x) 特别地,如果令 x=x,则得an=1rm a (x )=∑ (x-x0) n 以C"(a,b)表示(a,b)上可展为幂级数的函数全体.上面定理表示 (a,b)cC"(a,b).但反之并不成立 例:令/(x)=Je,x≠0,利用洛必达法则我们知道,f(x)任意阶可导, 0, 并且f((0)=0,n=0,1,2,….如果f(x)在x=0处可展为幂级数,则必须
89 å å +¥ = - +¥ = = - ¢ ÷ ø ö ç è æ - 0 1 0 0 0 ( ) ( ) n n n n n n a x x na x x 有相同的收敛半径. 证明：利用洛必达法则易得 ® 1 n n . 因此 n n n n n n n a a ®+¥ ®+¥ lim = lim . 设 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x 是 f ( x) 在 0 x 处展开的幂级数，设 å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 的收敛 半径为 R ，则对于任意 0 < r < R ， å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 与å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 都在[-r,r] 上 一致收敛，因此 f ( x) 可导并可逐项求导. 但另一方面， å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 逐项求导所得 的幂级数与å +¥ = - - 0 1 0 ( ) n n nan x x 仍有相同的收敛半径. 因此仍然可以逐项求导，以此类推， 我们得到 定 理 5. 2. 2 ： 设 f ( x) 在 ( , ) x0 - R x0 + R 上可展为收敛半径为 R 的幂级数 å +¥ = = - 0 0 ( ) ( ) n n f x an x x ，则å +¥ = - 0 0 ( ) n n an x x 任意阶逐项求导所得的幂级数有相同的收敛 半径 R . 因此 f ( x) 任意阶可导，并且 å( ) +¥ = = - 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n m n m f x a x x . 特别地，如果令 0 x = x ，则得 ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = ，即 å å +¥ = +¥ = - = - 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ! ( ) ( ) n n n n n n x x n f x a x x . 以 C (a,b) w 表 示 (a,b) 上可展为幂级数的函数全体 . 上面定理表示 C (a,b) C (a,b) ¥ Ì w . 但反之并不成立. 例 5. 2. 1：令 ïî ï í ì = ¹ = - 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 利用洛必达法则我们知道， f ( x) 任意阶可导， 并 且 f ( n) (0) = 0, n = 0,1,2,L . 如 果 f ( x) 在 x = 0 处可展为幂级数 ， 则必须
(x)=∑”0x在x=0的邻域成立但芝/"0x=0,矛盾因而f(x)在 n x=0的邻域上不能展为幂级数 例5.2.2:令f(x) 则对于任意x0≠1 f(x)= xo-(x-xo)1-xo 1_x-Xo h201-xo(1-xo 在(1,2x0-1)上成立,因而f(x)在(-∞1),(1+∞)上可展为幂级数 §5.3基本初等函数的幂级数展开 设f(x)在区间(a,b)上任意阶可导设xo∈(a,b),利用∫(x)在x处的导数,则我 们得幂级数 (x-x)”.如果∫(x)可在x0的邻域上展为幂级数,则在此邻域上 必须f(x)=∑ f"(x0) (x-x0)”,即幂级数展开是唯一的.但要使 nk x)= f"(x)(x-x) 必须 lim f(x) f6(x) k(x-x)4|=0 令 R, (x)=f(x) (x) (x-x0), k Rn(x)是∫(x)n阶展开的余项要使f(x)在x0邻域上可展为幂级数,其充分必要条件是 在此邻域上Rn(x)→>0.但这并不是总成立的 例5.3.1:令 f∫(x) 0 0
90 å +¥ = = 0 ( ) ! (0) ( ) n n n x n f f x 在 x = 0 的邻域成立. 但 0 ! (0) 0 ( ) å º +¥ n = n n x n f ，矛盾. 因而 f ( x) 在 x = 0的邻域上不能展为幂级数. 例 5. 2. 2：令 x f x - = 1 1 ( ) ，则对于任意 x0 ¹ 1， n n x x x x x x x x x x x f x ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - = - - - × - = - - - = å +¥ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 在(1,2 1) x0 - 上成立，因而 f ( x) 在(-¥,1) ，(1,+¥) 上可展为幂级数. §5. 3 基本初等函数的幂级数展开 设 f ( x) 在区间 (a, b)上任意阶可导. 设 ( , ) x0 Î a b ，利用 f ( x) 在 0 x 处的导数，则我 们得幂级数å +¥ = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x . 如果 f ( x) 可在 0 x 的邻域上展为幂级数，则在此邻域上 必须 å +¥ = = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n x x n f x f x ，即幂级数展开是唯一的. 但要使 å +¥ = = - 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n x x n f x f x ， 必须 ( ) 0 ! ( ) lim ( ) 0 0 0 ( ) =÷ ÷ ø ö ç ç è æ -å - = ®+¥ n k k k n x x k f x f x . 令 å= = - - n k k k n x x k f x R x f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ， R (x) n 是 f ( x) n 阶展开的余项. 要使 f ( x) 在 0 x 邻域上可展为幂级数，其充分必要条件是 在此邻域上 Rn (x) ® 0 . 但这并不是总成立的. 例 5. 3. 1：令 ïî ï í ì = ¹ = - 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x