第六章 Fourier级数 §6.1周期函数 Fourier级数 1.1引言 在科学与工程中时常遇到周期现象,自然地,通常用周期函数刻画它们.蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例,由发电机产生的交流电也是周期现象的实例.这样,如蒸汽 机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻 如果存在一个正数T>0,使得 我们就称q(m)为周期函数,T称为一个周期.如果存在最小的周期T,我们称(m)是以T 为周期的周期函数 最简单的周期函数是正弦型函数: Asin(ot+a) (1) 它正好刻画了力学上的调和振动(或简谐振动).其中是频率,它与周期的关系是 A是振幅,α是初始相位 用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数.因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数,所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频 例如三个正弦型函数之和 sin t+-sin 2t +-sin 3t 图形就已经相当复杂了.在 Mathematica软件中可画它的图形 Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t,t, -2P1, 2PilI 可以想象如果用无穷级数,就可以表示各种各样的复杂函数了 q()=A6+∑Asn(not+an) (3) 几何上看,(3)表明周期函数p(1)的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成.力学上 看,由函数q(1)表示的复杂振动可以分解成调和振动的和.将周期函数分解成调和振动函 数的过程称为调和分析作简单变量替换x=0,有函数()(2)则(3)式成为
142 第六章 Fourier级数 §6.1 周期函数 Fourier级数 1.1 引言 在科学与工程中时常遇到周期现象, 自然地, 通常用周期函数刻画它们. 蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例, 由发电机产生的交流电也是周期现象的实例. 这样, 如蒸汽 机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻 画. 如果存在一个正数T > 0 , 使得 j(t + T ) = j(t) , 我们就称j (t) 为周期函数, T 称为一个周期. 如果存在最小的周期T0 , 我们称j (t) 是以T0 为周期的周期函数. 最简单的周期函数是正弦型函数： Asin(w t +a) , （1） 它正好刻画了力学上的调和振动（或简谐振动）. 其中w 是频率, 它与周期的关系是 T p w 2 = , （2） A 是振幅, a 是初始相位. 用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数. 因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数, 所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频 率. 例如三个正弦型函数之和 t t sin 3t 4 1 sin 2 2 1 sin + + , 图形就已经相当复杂了. 在 Mathematica 软件中可画它的图形. Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t], {t,-2Pi,2Pi}]. 可以想象如果用无穷级数, 就可以表示各种各样的复杂函数了： å +¥ = = + + 1 0 ( ) sin( ) n n n j t A A nw t a , （3） 几何上看, （3）表明周期函数j (t) 的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成. 力学上 看, 由函数j (t) 表示的复杂振动可以分解成调和振动的和. 将周期函数分解成调和振动函 数的过程称为调和分析. 作简单变量替换x =w t , 得函数 ÷ ø ö ç è æ = w j x f (x) , 则（3）式成为
f(x)=A+∑Asn(nx+an) 由和差化积公式,我们可把(4)改写为 f(x)=ao+(a, cos nx+b, sin nx), (5) 其中A6-ao, A sin a=an, A cosa=bn(5)式称为周期函数f(x)的 Fourier级数 展开.这里产生一系列基本的数学问题 (1)给定一个周期2r的函数,在什么条件下它有 Fourier级数展开式? (2)如果一个函数存在 Fourier级数展开式,如何获得这种展开,即如何确定展开系数 an,bn,它们也称为 Fourier系数 (3) Fourier级数展开式何时在某种意义下收敛?收敛到什么值? (4)何种条件下 Fourier级数展开式收敛到f(x)? 本章将部分地解决这些问题,它们的完全解决须要一门专业课程 12 Fourier级数展开 函数f(x)在-,m]上 Riemann可积我们可以推出/(x)在[-x,m]上也 Riemann可 积当积分f(x)d有瑕点时,我们假设它绝对可积这两种情况合在一起,我们称之为 绝对可积 定义:以2丌为周期的函数∫(x)在[一丌,丌]上绝对可积,则存在它的 Fourier级数展开 cosnx 其中 f(xdx ∫f(x)csm,m=123 b f(x)sin mdx, m=1,2 需要说明公式(6)中三个积分有意义: f(x)在[一丌,丌]上绝对可积,即 I(xdx +oo, 143
143 å +¥ = = + + 1 0 ( ) sin( ) n x A An nx n f a . （4） 由和差化积公式, 我们可把（4）改写为 å +¥ = = + + 1 0 ( ) ( cos sin ) n f x a an nx bn nx , （5） 其中 A - a An an = an An an = bn , sin , cos 0 0 . （5）式称为周期函数 f (x) 的 Fourier 级数 展开. 这里产生一系列基本的数学问题： （1） 给定一个周期2p 的函数, 在什么条件下它有 Fourier 级数展开式？ （2） 如果一个函数存在 Fourier 级数展开式, 如何获得这种展开, 即如何确定展开系数 an bn , , 它们也称为 Fourier 系数. （3） Fourier 级数展开式何时在某种意义下收敛？收敛到什么值？ （4） 何种条件下 Fourier 级数展开式收敛到 f (x) ？ 本章将部分地解决这些问题, 它们的完全解决须要一门专业课程. 1.2 Fourier 级数展开 函数 f (x) 在[-p ,p ]上 Riemann 可积, 我们可以推出 f (x) 在[-p ,p ]上也 Riemann 可 积. 当积分ò- p p f (x)dx 有瑕点时, 我们假设它绝对可积. 这两种情况合在一起, 我们称之为 绝对可积. 定义：以2p 为周期的函数 f (x) 在[-p ,p ]上绝对可积, 则存在它的 Fourier 级数展开 å +¥ = + + 1 0 ( ) ~ ( cos sin ) n f x a an nx bn nx , 其中 ( )sin , 1,2,3, . 1 ( )cos , 1,2,3, , 1 ( ) , 2 1 0 L L = = = = = ò ò ò - - - b f x mxdx m a f x mxdx m a f x dx m m p p p p p p p p p （6） 需要说明公式（6）中三个积分有意义： f (x) 在[-p ,p ]上绝对可积, 即 ò - < +¥ p p f (x) dx , 则
, ∫(x)smd∫(xmxs∫”(x 反小(x)sma」(km≤∫2x)<+a 这时我们不知道 Fourier级数是否收敛,更不知道它是否收敛到f(x).如果我们假设它收敛, 即(5)式成立,且可逐项积分(一致收敛可保证这一点),则我们有 f(x)dx=2ao +>an cos nxdx+b, sin ndx 容易看出 cos ndx= n ∫如n=2L 因而ao= 丌·- 类似地 f∫(x) cos mdx=ac dx+ coS x cos m sin nx cos x 右端第一项等于零,且不论n,m如何,有 sin nx cos mxdrs./ 2n+m)x+如-m)k=0 而当n≠m时 cosnx cos max= 1∫2on+m×+-mk=0 最后当n=m时有 cos- mdx= Lr:I+cos2mx 这样我们得到 f(x)cos mxdx, m=1, 2, 3 同样我们可得到 ∫f(x) sin mdx, m=123 1.3正交函数系 定义2:区间[ab]上函数系{n(x),如果满足
144 ( ) . 1 ( ) sin 1 ( )sin 1 ( ) , 1 ( ) cos 1 ( )cos 1 ( ) , 2 1 ( ) 2 1 ò ò ò ò ò ò ò ò - - - - - - - - £ £ < +¥ £ £ < +¥ £ < +¥ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p f x mxdx f x mxdx f x dx f x mxdx f x mx dx f x dx f x dx f x dx 这时我们不知道Fourier 级数是否收敛, 更不知道它是否收敛到 f (x) . 如果我们假设它收敛, 即（5）式成立, 且可逐项积分（一致收敛可保证这一点）, 则我们有 ò å ò ò +¥ = - - - úû ù êë é = + + 1 ( ) 2 0 cos sin n f x dx a an nxdx bn nxdx p p p p p p p . 容易看出 0, cos sin 0, sin cos = - = - = - = ò ò - - p p p p p p p p n nx nxdx n nx nxdx 因而 ò - = p p p a f (x)dx 2 1 0 . 类似地, ( )cos cos cos cos sin cos . 1 ò 0 ò å ò ò +¥ = - - - - úû ù êë é = + + n f x mxdx a mxdx an nx mxdx bn nx mxdx p p p p p p p p 右端第一项等于零, 且不论n,m 如何, 有 [sin( ) sin( ) ] 0 2 1 sin cos = + + - = ò - ò - p p p p nx mxdx n m x n m x dx , 而当n ¹ m 时 [cos( ) cos( ) ] 0 2 1 cos cos = + + - = ò - ò - p p p p nx mxdx n m x n m x dx , 最后当n = m时有 p p p p p = + = ò - ò- dx mx mxdx 2 1 cos2 2 1 cos 2 . 这样我们得到 ( ) cos , 1,2,3,L 1 = = ò - am f x mxdx m p p p , 同样我们可得到 ( )sin , 1,2,3,L 1 = = ò - bm f x mxdx m p p p . 1.3 正交函数系 定义 2：区间[a, b]上函数系{jn (x)}, 如果满足
lo,(x 'dx (2)」qn(x)Dn(x)x=0,n≠m (3)「q2(x)d=n>0, 则称{n(x)}为正交函数系,进而如果λn=1,称之为规范正交函数系 如果{n(x)是一正交函数系则9,(x)}就是一规范正交函数系了 例1:cosx,six,cos2xsn2x… cosnx,sinx…}就是[-兀,]上一正交函数系,由此 可得一规范正交函数系1 cos x sin x cOs2xsin2x.. coS nx sin nx r’√r 例2:. cos x cos2x… coS nx…)或者 sin x, sin2x,…, sin nx…}是D.x]上的正交函数 系,由此可得规范正交函数系 cos nx sin x sin 2x 或 COS Tx COS 2Tx 例3 1-,…}或者/ sin m sin2x COS nTX in n7 -,…}是区间 [O,]上的正交系 例4 re多项式 x0(x)=1,Xn( 2kx2-1n]n=123 nl dx" 是区间[11上的正交系,这时 ∫x(xMd 例5:Har系.定义Har函数 1,0 1,≤x≤1 考虑二进伸缩和整点平移 145
145 （1） < +¥ ò b a n x dx 2 j ( ) , （2） x x dx n m b a n m = ¹ ò j ( )j ( ) 0, , （3） ( ) 0 2 = > ò n b a n j x dx l , 则称{jn (x)}为正交函数系, 进而如果ln = 1, 称之为规范正交函数系. 如果{jn (x)}是一正交函数系, 则 ïþ ï ý ü ïî ï í ì ( ) 1 x n n j l 就是一规范正交函数系了. 例 1：{1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,L, cosnx,sin nx,L}就是[-p ,p ]上一正交函数系, 由此 可得一规范正交函数系 þ ý ü î í ì L ,L sin , cos , , sin 2 , cos2 , sin , cos , 2 1 p p p p p p p x x x x nx nx . 例 2：{1, cos x, cos 2x,L, cosnx,L}或者{sin x,sin 2x,L,sin nx,L}是[0,p ]上的正交函数 系, 由此可得规范正交函数系 þ ý ü î í ì L ,L cos , , cos2 , cos , 2 1 p p p p x x nx 或 þ ý ü î í ì L ,L sin , , sin 2 , sin p p p x x nx . 例 3： þ ý ü î í ì L ,L cos , , cos2 , cos 1, l n x l x l px p p 或者 þ ý ü î í ì L ,L sin , , sin 2 , sin l n x l x l px p p 是区间 [0,l]上的正交系. 例 4：Legendre 多项式 [( 1) ], 1,2,3,L 2 ! 1 ( ) 1, ( ) 2 0 = = x - n = dx d n X x X x n n n n n 是区间[-1,1]上的正交系, 这时 ò - + = = 1 1 2 2 1 2 ( ) n X x dx ln n . 例 5：Haar 系. 定义 Haar 函数 ï î ï í ì £ £ - £ < = 1. 2 1 1, , 2 1 1, 0 ( ) x x y x 考虑二进伸缩和整点平移 ÷ ø ö ç è æ - = - k j i x k x j 2 ( ) 2 2 y , y
则A(x是(-+∞)上规范正交函数系 定义3:对于区间[ab上正交函数系和,()和函数f(x)1(x在<+,级数 cnn(x)其中cn f(xp, (x)dx 称为函数f(x)关于正交函数系{n(x)的(广义) Fourier级数,cn为(广义) Fourier系数 记为 f(x)~∑cnpn(x) 如果∫(x)=∑cn(x)致收敛,就可逐项积分,我们有 °f(x)on(x P2(x)dx=a 当{n(x)是规范正交函数系时 Cnp, 其中cn=f(x)n(x)d 如果f(x)=∑CnPn(x)一致收敛,我们还可得到 ∫1r(x)a=∑c∫9x)d+ccnJ,x)9(x 这可以看成勾股定理向无穷维的推广勾股定理 几何上可以看成二维向量c=(a,b),向量长度的平方等于分量平方和.在n维空间 x=(a12…,an),也有 146
146 则{ } i k j kÎZ x , , y ( ) 是(-¥,+¥) 上规范正交函数系. 定义 3：对于区间[a, b]上正交函数系{jn (x)}和函数 < +¥ ò b a f x f x dx 2 ( ) : ( ) , 级数 å +¥ =0 ( ) n cnjn x 其中 ò = b a n n n c f (x) (x)dx 1 j l 称为函数 f (x) 关于正交函数系{jn (x)}的（广义）Fourier 级数, n c 为（广义）Fourier 系数, 记为 å +¥ =0 ( ) ~ ( ) n f x cnjn x . 如果 å +¥ = = 0 ( ) ( ) n f x cnj n x 一致收敛, 就可逐项积分, 我们有 m b a m m m b a m m f x x dx = a x dx = a ò ò ( ) 1 ( ) ( ) , 1 2 j l j l . 当{jn (x)}是规范正交函数系时, å +¥ =0 ( ) ~ ( ) n f x cnjn x , 其中 ò = b a n n c f (x)j (x)dx . 如果 å +¥ = = 0 ( ) ( ) n f x cnj n x 一致收敛, 我们还可得到 å ò å ò å ò +¥ = ¹ +¥ = = = + 0 2 0 2 2 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) n n m n b a n m n m n b a n n b a c f x dx c j x dx c c j x j x dx 这可以看成勾股定理向无穷维的推广. 勾股定理 2 2 2 c = a + b 几何上可以看成二维向量 c = (a,b) , 向量长度的平方等于分量平方和. 在 n 维空间 ( , , ) a1 an x = L , 也有 å= = n i x ai 1 2 2