第二章函数序列与函数级数 §2.1引言 在初等数学中我们有加法和乘法运算,在微积分中我们引进了新的运算极限lim,求导 和积分 在定义这些运算时我们都特别指出其与加法和数乘可交换,即与加法和数 乘相容例如,∫V(x)+g(x)=(x)+x)k,∫o(x=(x)h 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换顺序,例如md与m是否相等在多元 积分中我们曾讨论了积分交换顺序的问题,本章中我们将讨论极限与极限,极限与积分,极 限与微分交换顺序的问题 从实际应用的角度,我们往往需要用一个函数f(x)来表示某些变化过程或者运动状态 在时刻t的情况(假定这个变化过程对时间t是连续的).我们需要了解当t越来越接近某 关键时刻t0时,f(x)是怎样变到f。(x)的,或f(x)的许多性质能否通过f(x)得到.例 如,设f(x)都是连续的,问f(x)是否连续,即mf0(x)=lmmf1(x)是否与 mmf(x)=mf(x0)=f(x0)相等.我们这里需要讨论极限交换顺序的问题设 f(x)都可导,问f0(x)是否可导,其导数(x)是否是f(x)的极限,即 f(x)=lmf(x)与mf(x)是否相等,求导与极限是否可交换,又如 ∫(m1)是香与!(相等,时!m=lm∫,是否成立 将我们的问题归纳为数学分析的语言.设fn(x)是[a,b]上的函数,n=1,2 Gn(x)}称为一函数序列如果x∈[a,bx固定时序列U(x)}收敛,设其极限 imf(x)=f(x),则我们得到[ab]上的函数f(x),称为函数序列{n(x)}的极限函数 我们的问题是fn(x)的性质有多少在取极限后还能保留下来 连续函数的极限函数可以不连续 例4.1.1:令∫n(x)=x",x∈[0,1则 lm f, (x)=f(x) ∫o.x∈pO1)
71 第二章 函数序列与函数级数 §2. 1 引言 在初等数学中我们有加法和乘法运算, 在微积分中我们引进了新的运算极限 lim, 求导 dx d 和积分 ò b a . 在定义这些运算时我们都特别指出其与加法和数乘可交换, 即与加法和数 乘相容. 例如, ( ) ò ò ò + = + b a b a b a f (x) g(x) dx f (x)dx g (x)dx , ò ò = b a b a cf (x)dx c f (x)dx . 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换顺序, 例如 dx d lim 与 lim dx d 是否相等. 在多元 积分中我们曾讨论了积分交换顺序的问题, 本章中我们将讨论极限与极限, 极限与积分, 极 限与微分交换顺序的问题. 从实际应用的角度, 我们往往需要用一个函数 f (x) t 来表示某些变化过程或者运动状态 在时刻t 的情况（假定这个变化过程对时间t 是连续的）. 我们需要了解当t 越来越接近某一 关键时刻 0 t 时, f (x) t 是怎样变到 ( ) 0 f x t 的, 或 ( ) 0 f x t 的许多性质能否通过 f (x) t 得到. 例 如, 设 f (x) t 都是连续的, 问 ( ) 0 f x t 是否连续, 即 lim ( ) lim lim ( ) 0 0 0 0 f x f x t x x t t t x®x ® ® = 是否与 lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x f x f x t t t t t t t x x = = ® ® ® 相等. 我们这里需要讨论极限交换顺序的问题. 设 f (x) t 都可导 , 问 ( ) 0 f x t 是否可导 , 其导数 ( ) 0 f x t ¢ 是否是 f (x) t ¢ 的极限 , 即 ÷ ø ö ç è æ ¢ = ¢ ® ( ) lim ( ) 0 0 f x dx d f x dx d t t t t 与 lim ( ) 0 f x dx d t t®t 是否相等, 求导与极限是否可交换 . 又如, ò ò ÷ ø ö ç è æ = ® b a t t t b a f t (x)dx lim f (x) dx 0 0 是否与 ® ò b a t t t lim f (x)dx 0 相等, 即ò ò = b a b a lim lim 是否成立. 将我们的问题归纳为数学分析的语言. 设 f (x) n 是 [a, b] 上的函数, n = 1,2,L , {f n (x)} 称为一函数序列 . 如 果 x Î[a,b], x 固定时序列 {f n (x)} 收 敛 , 设其极限 lim f (x) f (x) n n = ®+¥ , 则我们得到[a, b]上的函数 f (x) , 称为函数序列 {f n (x)}的极限函数. 我们的问题是 f (x) n 的性质有多少在取极限后还能保留下来. 连续函数的极限函数可以不连续. 例 4. 1. 1：令 f (x) = x , x Î[0,1] n n , 则 î í ì = Î = = ®+¥ 1, 1, 0, [0,1), lim ( ) ( ) x x f x f x n n
f∫(x)在x=1时不连续 上例中f(x)=mx",因此lmfn(x)=n,因而n→>+时fn(x)的速度趋于无穷.速度 太大,产生了断裂 可导函数的极限函数可以不可导 例41.2:设x∈[-1.令fn(x)=e-2,则 f O fn(x)都可导,而其极限函数在x=0处不连续,因而不可导 例4.1.3:令∫n(x)= sin nx x∈一 则 22 m f, (x)=f(x=0 f(x)是可导的,但lmf(x)=+0≠∫(x)=0.即极限函数可导时,也不一定是函数序 列导函数的极限 连续的过程取极限后可能产生间断,可导的性质在取极限后不能保留,这样的现象在实 际生活中经常可以看到.例如,海平面的形状对时间t总是连续的,无风时海平面很光滑 风越来越大时海平面越来越粗糙,产生了浪珠,脱离海平面时形成间断,产生了浪尖是不可 导的 可积性和积分对极限过程一般也是不能交换的 例41.4:设x∈[0,],令 P f,(x) 0其余的x, fn(x)仅有有限个间断点,因而 Riemann可积的,但 ∫1x为有理数 l,()()=10.x为无理数 f(x)不是 Riemann可积的 例4.1.:设x∈[D,],定义fn(x)=2(n+1)x(1-x2)”,易证lmfn(x)=f(x)=0
72 f (x) 在 x =1时不连续. 上例中 1 ( ) - ¢ = n n f x nx , 因此 f x n n n ¢ = ®+¥ lim ( ) , 因而n ® +¥ 时 f (x) n 的速度趋于无穷. 速度 太大, 产生了断裂. 可导函数的极限函数可以不可导. 例 4. 1. 2：设x Î[-1,1], 令 2 2 ( ) n x n f x e - = , 则 î í ì = ¹ = ®+¥ 1, 0, 0, 0, lim ( ) x x f x n n f (x) n 都可导, 而其极限函数在x = 0处不连续, 因而不可导. 例 4. 1. 3：令 ÷ ø ö ç è æ = Î - 2 , 2 , sin ( ) p p x n nx f n x , 则 lim ( ) = ( ) º 0 ®+¥ f x f x n n . f (x) 是可导的, 但 lim ¢( ) = +¥ ¹ ¢( ) = 0 ®+¥ f x f x n n . 即极限函数可导时, 也不一定是函数序 列导函数的极限. 连续的过程取极限后可能产生间断, 可导的性质在取极限后不能保留, 这样的现象在实 际生活中经常可以看到. 例如, 海平面的形状对时间 t 总是连续的, 无风时海平面很光滑, 风越来越大时海平面越来越粗糙, 产生了浪珠, 脱离海平面时形成间断, 产生了浪尖是不可 导的. 可积性和积分对极限过程一般也是不能交换的. 例 4. 1. 4：设x Î[0,1] , 令 ï î ï í ì = £ = 其余的x， q n q p x f x n 0 1, , , ( ) f (x) n 仅有有限个间断点, 因而 Riemann 可积的, 但 î í ì = = ®+¥ 0, , 1, , lim ( ) ( ) 为无理数 为有理数 x x f x f x n n f (x) 不是 Riemann 可积的. 例 4. 1. 5：设x Î[0,1] , 定义 n n f (x) 2(n 1)x(1 x ) 2 = + - , 易证 lim ( ) = ( ) º 0 ®+¥ f x f x n n , 而
(x)dx=1≠J/(x)dk=0 如果将序列极限转化为无穷级数,则我们可以从另一角度来考察上面的问题 设{,(x)是[ab]上一个函数序列,定义其函数级数为∑un(x)设对任意x∈[a,b1x固 定后级数∑un(x)收敛,则我们得到[ab]上的函数(x)=∑u(x) 对于有限加法,我们知道如果a1(x)…un(x)连续,则u1(x)+…+ln(x)连续 如果a1(x),…,ln(x)可导,则u1(x)+…+un(x)可导,并且 (u4(x)+…+un(x)=l4(x)+…+ln(x) 如果a1(x),…,ln(x)可积,则a1(x)+…+un(x)可积,并且 (x)]tx=[1(x) (x)dx 问题是对于级数,有限和的这些性质是否还成立 将什么关于函数序列的极限表示为函数级数,则我们看到,有限加法的性质对于无穷级 数∑n(x)一般不再成立,即函数级数一般不能保持函数的连续性函数的微分和函数的积 分 但是不论在数学的实际应用还是数学的理论研究中,极限与极限,极限与微分和极限与 积分交换顺序的问题都是经常会碰到的十分重要的关系.因此我们需要对函数序列和函数 级数的极限过程加上适当的条件,使我们所需要的交换关系都能够成立,使无穷级数保持有 限加法的性质.在数学分析中我们对函数序列和函数级数加的条件是一致收敛性 §4.2一致收敛性及其判别法 设f(x)是区间(a,b)上的函数列,在(a1,b)上收敛于∫(x),设fn(x)在x0∈(a,b)处 连续,我们需要给出适当的条件,使∫(x)在x连续,即x→x时,|f(x)-f(x→>0 但 If(x)-f(xo<If(x)-fn(x)+fm (x)-f, (xo+Im (xo)-f(xo) 由∫(x)在x连续,且 Iim,(x)=f(x0),因此,只要x充分接近x0,n充分大,总可 以使fn(x)-fn(x0)和n(x0)-f(x)任意小、要使f(x)在x连续,需要n充分大时
73 ( ) 1 ( ) 0 1 0 1 0 = ¹ = ò ò f x dx f x dx n . 如果将序列极限转化为无穷级数, 则我们可以从另一角度来考察上面的问题. 设{un (x)}是[a, b]上一个函数序列, 定义其函数级数为 å +¥ =1 ( ) n un x . 设对任意x Î[a,b], x 固 定后级数å +¥ =1 ( ) n un x 收敛, 则我们得到[a, b]上的函数 å +¥ = = 1 ( ) ( ) n u x un x . 对于有限加法, 我们知道如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 连续, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 连续. 如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 可导, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 可导, 并且 ( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 1 u x u x u x u x n n = ¢ + + ¢ ¢ +L+ L . 如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 可积, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 可积, 并且 [ ] ò ò ò + + = + + b a n b a b a n u (x) u (x) dx u (x)dx u (x)dx 1 L 1 L . 问题是对于级数, 有限和的这些性质是否还成立. 将什么关于函数序列的极限表示为函数级数, 则我们看到, 有限加法的性质对于无穷级 数å +¥ =1 ( ) n un x 一般不再成立, 即函数级数一般不能保持函数的连续性、函数的微分和函数的积 分. 但是不论在数学的实际应用还是数学的理论研究中, 极限与极限, 极限与微分和极限与 积分交换顺序的问题都是经常会碰到的十分重要的关系. 因此我们需要对函数序列和函数 级数的极限过程加上适当的条件, 使我们所需要的交换关系都能够成立, 使无穷级数保持有 限加法的性质. 在数学分析中我们对函数序列和函数级数加的条件是一致收敛性. §4. 2 一致收敛性及其判别法 设 f (x) n 是区间 (a, b)上的函数列, 在(a, b) 上收敛于 f (x) , 设 f (x) n 在 ( , ) x0 Î a b 处 连续, 我们需要给出适当的条件, 使 f (x) 在 0 x 连续, 即 0 x ® x 时, f (x) - f (x0 ) ® 0 . 但 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x f x - £ - n + n - n + n - . 由 f (x) n 在 0 x 连续, 且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x n n = ®+¥ , 因此, 只要 x 充分接近 0 x , n 充分大, 总可 以使 ( ) ( ) 0 f x f x n - n 和 ( ) ( ) 0 0 f x f x n - 任意小. 要使 f (x) 在 0 x 连续, 需要n 充分大时
(x)-fn(x)可以任意小 对于任意E>0,由imfn(x)=f(x)知,对每一个x∈(a,b),总存在Nx,当 x>N时有f(x)-f(x)<E.但x→x时,必须考虑无穷多个x,因而其所对应的N 不一定有上界如果N有上界,即对E>0,存在N,使n>N后,n(x)-f(x)<E对 所有x∈(a,b)都成立.则取定一个n>N,由∫n(x)在x处连续,知存在δ>0,使 x-x<6时(x)-f(x<E.因此p-x<6时 f(x)-(x(x)-f(x)+(x)-fn(x)+n(x0)-f(x) <E+E+E=3 得f(x)在x0处连续.由此我们给出下面定义 定义4.2.1:称函数序列{n(x)}在集合D上一致收敛于f(x),如果对vE>0,N, 当n>N时,n(x)-f(x<E对所有x∈D成立记为fn(x)3(x) 致收敛也称为均匀收敛,其表示n→+∞时fn(x)趋于f(x)的过程基本是均匀的 可以控制的 例4.2.1:设x∈[0,],定义∫n(x) 则VE>0,取N使一<E,则n>N后, Jn(x)≤<E.因此在01上,fn(x)30 例42.2设x∈[0,令fn(x)=x”,证明{n(x)}不一致收敛 证明:由 lmf(x)=f(y=J0.x∈0) 取E 则对任意n,由lmfn(x)=1,知总存在x∈[O,1),使fn(x)>.因此fn(x) 不一致收敛 与函数序列相同,我们定义函数级数∑u4(x)的一致收敛性为 定义422:称函数级数∑4(x)在集合D上一致收敛于(x),如果vE>0,3N,使
74 f (x) f (x) - n 可以任意小. 对于任意 e > 0 , 由 lim f (x) f (x) n n = ®+¥ 知, 对每一个 x Î (a,b) , 总存在 Nx , 当 Nx x > 时有 f (x) - f (x) < e n . 但 0 x ® x 时, 必须考虑无穷多个 x , 因而其所对应的 Nx 不一定有上界. 如果 Nx 有上界, 即对 e > 0, 存在 N , 使n > N 后, f (x) - f (x) < e n 对 所有 x Î (a,b) 都成立. 则取定一个 n > N , 由 f (x) n 在 0 x 处连续, 知存在 d > 0 , 使 x - x0 < d 时 ( ) - ( ) < e 0 f x f x n n . 因此, x - x0 < d 时 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 < e + e + e = e f x - f x £ f x - f x + f x - f x + f x - f x n n n n 得 f (x) 在 0 x 处连续. 由此我们给出下面定义 定义 4. 2. 1：称函数序列{f n (x)}在集合 D 上一致收敛于 f (x) , 如果对"e > 0, $N , 当n > N 时, f (x) - f (x) < e n 对所有 x Î D成立. 记为 f (x) f (x) n ®® . 一致收敛也称为均匀收敛, 其表示 n ® +¥ 时 f (x) n 趋于 f (x) 的过程基本是均匀的, 可以控制的. 例 4. 2. 1：设x Î[0,1] , 定义 n x f x n n ( ) = . 则"e > 0, 取N 使 < e N 1 , 则n > N 后, £ < e n f x n 1 ( ) . 因此在[0,1]上, f n (x) ®®0 . 例 4. 2. 2：设x Î[0,1] , 令 n n f (x) = x , 证明{f n (x)}不一致收敛. 证明：由 î í ì = Î = = ®+¥ 1, 1, 0, [0,1), lim ( ) ( ) x x f x f x n n 取 2 1 e0 = , 则对任意n , 由 lim ( ) 1 1 0 = ® - f x n x , 知总存在x Î[0,1) , 使 2 1 f n (x) > . 因此 f (x) n 不一致收敛. 与函数序列相同, 我们定义函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x 的一致收敛性为 定义 4. 2. 2：称函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x 在集合 D 上一致收敛于u(x) , 如果"e > 0, $N , 使
得n>N后,x∈D,恒有∑u(x)-x<E.记为∑l4(x)→(x) 例42.3:证明当0<E<1时,函数级数∑x*在[01-E]上一致收敛,但在[)上不 致收敛 证明:∑x在[01)上收敛于,当x∈[O-l]时 xk (1-E) 但(1-E)→0,因而∑x2在1-6]上一致收敛 但在[0)上,x 而x→>1时x+1→1,因此对任意n,总可以找 到x∈D01),使∑x x不一致收敛 致收敛的判别法 对于函数序列和函数级数通常我们不能通过其与极限函数的比较来判断是否一致收敛, 我们必须通过序列和级数自身来判断其是否有一致收敛性。因此我们需要建立一些判别的 方法,其最基本的 Cauchy准则 Cauchy准则:函数序列{n(x)}(函数级数∑u(x)在集合D上一致收敛的充分必 要条件是VE>0,N,当n>N,p=012…时,|/(x)-fm,(x)<E ∑(x)-∑(x)=∑41(x)<6)对所有x∈D成立 证明(以函数级数为例):设∑u4(x)书f(x),则VE>0,N,只要n>N,x∈D 就有∑u4(x)-f(x)<,因此
75 得n > N 后, "x Î D , 恒有 å - < e = ( ) ( ) 1 u x u x n k k . 记为 ( ) ( ) 1 u x u x k å k ®® +¥ = . 例 4. 2. 3：证明当0 < e <1时, 函数级数å +¥ k=0 k x 在[0,1- e ] 上一致收敛, 但在[0,1) 上不 一致收敛. 证明：å +¥ k=0 k x 在[0,1) 上收敛于 1- x 1 . 当x Î[0,1- e ]时, 1 1 0 1 (1 ) 1 1 1 + +¥ + = = + £ - - = = - å - å n n k n k n k k x x x x x e . 但(1 ) 0 - e n+1 ® , 因而å +¥ k=0 k x 在[0,1- e ] 上一致收敛. 但在[0,1) 上, 1 0 1 1 + = > - å - n n k k x x x . 而 x ®1时 1 x n+1 ® , 因此对任意 n , 总可以找 到 x Î[0,1) , 使 2 1 1 1 0 > - å - = x x n k k . å +¥ k=0 k x 不一致收敛. 一致收敛的判别法 对于函数序列和函数级数通常我们不能通过其与极限函数的比较来判断是否一致收敛, 我们必须通过序列和级数自身来判断其是否有一致收敛性. 因此我们需要建立一些判别的 方法, 其最基本的 Cauchy 准则. Cauchy 准则：函数序列{f n (x)}（函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x ）在集合 D 上一致收敛的充分必 要条件是 "e > 0, $N , 当 n > N, p = 0,1,2L 时 , - < e + f (x) f (x) n n p （ å -å = å < e + = = + + = n p k n k n k k n p k k u x u x u x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ）对所有 x Î D成立. 证明（以函数级数为例）：设 ( ) ( ) 1 u x f x k å k ®® +¥ = , 则"e > 0, $N , 只要n > N , x Î D, 就有 2 ( ) ( ) 1 e å - < = u x f x n k k . 因此, e e e å -å £ å - + -å < + = = + = = + + = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n k k n p k n k n k k n p k k u x u x u x f x f x u x