数学分析讲义 第四章广义积分 在讲述定积分时,我们用到了两个定积分中的限制条件,它们是: 1.积分区间是有界的 2.函数是有界的。 这两个条件在定义 Riemann定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的,比如说,函数 有界这一条件是 Riemann定积分存在的必要条件。这一章里,我们就来讨论将这两个条件放 松,是否存在类似于 Riemann定积分的量存在,这就是无穷积分和瑕积分。 §1无穷积分及其判别法 1无穷积分之定义 例1:求函数y=在区间a,4上与x轴所围部分的面积。 解:由面积的定义,我们知:S= 上述面积公式对于任意的闭区间[a小均成立,并且当A→+∞时,该面积有极限 因而可以将面积的概念推广至[a+∞)上的面积。这一想法可以推广到任意函数f(x)在 a+∞)上的“积分”的定义: 定义1:若函数f(x)在[a小上 Riemann可积,并且极限lmJ(x)存在且 等于有限值。则称该极限为函数f(x)定义在[a+∞)上的无穷积分,记 作:J。f(x)=mJ(x) 这时也称无穷积分。f(x)收敛,否则称()ak发散 同样我们可以定义f()的收敛性 附注:若。(x)d与f(x)均收敛时,称」f(x)收敛且 (x)dx=/(x)dx+f(x)dx= lim/(x)dx 例2:讨论无穷积分 1、的敛散性。 解:由于 tanA
数学分析讲义 101 第四章 广义积分 在讲述定积分时，我们用到了两个定积分中的限制条件，它们是： 1. 积分区间是有界的； 2. 函数是有界的。 这两个条件在定义 Riemann 定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的，比如说，函数 有界这一条件是 Riemann 定积分存在的必要条件。这一章里，我们就来讨论将这两个条件放 松，是否存在类似于 Riemann 定积分的量存在，这就是无穷积分和瑕积分。 §1 无穷积分及其判别法 1 无穷积分之定义 例 1：求函数 2 1 y x = 在区间[ a A, ]上与 x 轴所围部分的面积。 解：由面积的定义，我们知： 2 A 1 1 1 a S dx x a A = = - ò 。 上述面积公式对于任意的闭区间[ a A, ]均成立，并且当 A ®+¥ 时，该面积有极限 1 a ， 因而可以将面积的概念推广至[a,+¥) 上的面积。这一想法可以推广到任意函数 f x( ) 在 [a,+¥) 上的“积分”的定义： 定义 1：若函数 f x( ) 在[ a A, ]上 Riemann 可积，并且极限 lim ( ) A A a f x dx ®+¥ ò 存在且 等于有限值。则称该极限为函数 f x( ) 定义在[a,+¥) 上的无穷积分，记 作： ( ) lim ( ) A a a A f x dx f x dx +¥ ®+¥ = ò ò 。 这时也称无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，否则称 ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 同样我们可以定义 ( ) a f x dx ò-¥ 的收敛性。 附注：若 ( ) a f x dx +¥ ò 与 ( ) a f x dx ò-¥ 均收敛时，称 f ( x)dx +¥ ò-¥ 收敛且 ( ) ( ) ( ) lim ( ) a A a A A A f x dx f x dx f x dx f x dx +¥ +¥ -¥ -¥ ®+¥ ¢ ¢®-¥ =+= ò ò ò ò 。 例 2：讨论无穷积分 2 0 1 dx x +¥ + ò 的敛散性。 解： 由于 1 2 0 tan 1 A dx A x - = + ò
广义积分 所以: = lim tan-A=,积分收敛 例讨论无穷积分∫的敛散性,(a>0 解:由于P≠1时 因此:当p>1时,广女 p-^积分收敛 当P<1时,由于一→+∞,所以积分发散 当p=1时 =ln-→+0,积分发散 a 例4讨论无穷积分厂x72的敛散性,(a> dx A dInx 由于 所以 x 1时.hx=-pm-p(mhna Inp a 因此:当P>1时,J ,积分收敛 xln”xp-1 当p<1时,由于hnA→∞,所以积分发散: 当p=1时, ln-→+∞,积分发散。 xIn x In a 例5:讨论无穷积分 sin xdx的敛散性 解:由于snxd=1-csA,极限不存在,所以smxd发散 2 Cauchy主值 若讨论积分「 sin xdx之收敛性,由定义我们知道它是发散积分,但若考虑到: sin xdx=0,我们有: lim xdx=0 上述这种以两边同时趋于无穷的方法求出的发散积分的极限,称为发散积分的 Cauchy 主值,记作.sin.xdx=0 一般地,我们定义:vPf()=!mf(x)xd 11.102
广义积分 11.102 所以： 1 2 0 lim tan 1 2 A dx A x +¥ - p ®+¥ = = + ò ，积分收敛。 例 3：讨论无穷积分 p a dx x +¥ ò 的敛散性。( a > 0) 解： 由于 p ¹ 1时， 1 1 1 1 111 1 1 A A p p p p a a dx x x p paA - - - æ ö ==- ç ÷ - - è ø ò ， 因此：当 p > 1时， ( ) 1 1 1 p p a dx x p a +¥ - = - ò ，积分收敛； 当 p < 1时，由于 1 1 p A - ® +¥ ，所以积分发散； 当 p = 1时， ln A a dx A x a = ® +¥ ò ，积分发散。 例 4：讨论无穷积分 lnp a dx x x +¥ ò 的敛散性。(a >1) 解： 由于 ln ln ln A A p p a a dx d x x x x = ò ò ，所以： p ¹ 1时， ( ) 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 1 1 A A p p p p a a dx x A a x x p p - - - ==- - - ò 因此：当 p > 1时， 1 ln ln 1 p p a dx a xxp - +¥ = - ò ，积分收敛； 当 p < 1时，由于 1 ln p A - ® ¥ ，所以积分发散； 当 p = 1时， ln ln ln ln A a dx A x x a = ®+¥ ò ，积分发散。 例 5：讨论无穷积分 0 sin xdx +¥ ò 的敛散性。 解： 由于 0 sin 1 cos A xdx A = - ò ，极限不存在，所以 0 sin xdx +¥ ò 发散。 2 Cauchy 主值 若讨论积分 sin xdx +¥ ò-¥ 之收敛性，由定义我们知道它是发散积分，但若考虑到： sin 0 A A xdx - = ò ，我们有： lim sin 0 A A A xdx ®+¥ - = ò 。 上述这种以两边同时趋于无穷的方法求出的发散积分的极限，称为发散积分的 Cauchy 主值，记作v.p. sin 0 xdx +¥ -¥ = ò 。 一般地，我们定义： . . ( ) lim ( ) A A A v p f x dx f x xdx +¥ -¥ - ®+¥ = ò ò
数学分析讲义 附注:显然,我们有:积分收敛→ Cauchy主值=积分值:积分发散→ Cauchy主值可能存在 无穷积分的性质 下列无穷积分之性质,可以由其定义直接得到 1)线性运算性质 若f(x),g(x)∈R[a+∞)(广义积分存在)则: ∫((x)+kg(x)d=「f()d+kg(x)d 2)分部积分法仍然成立 3)换元法仍然成立 例6:求无穷积分I= e-ar cos bxdx。(a>0) 解:I=[ e-ar cos bxdx 分部积分 cos bxd bx (bsin bx )da 分部积分1 sin bade e-a bcos bxdx 所以:I: 4) Cauchy收敛准则: ∫。f(x)收敛函数1(A)=Jf(x)a有极限 ev>0,3A>a,当A,A>A时,有:f(x)d<E 5)绝对收敛与条件收敛: 若无穷积分∫”(x)收敛,则称∫。()绝对收敛 若无穷积分(x)发散,但。f(x)收敛,则称∫f(x)条件收敛 m二收数这圆(2(),面m市叫 得结论 4绝对收敛积分之判别法 下列之判别法均事先假设了积分()女的存在性 103
数学分析讲义 103 附注：显然，我们有：积分收敛ÞCauchy 主值=积分值；积分发散ÞCauchy 主值可能存在。 3 无穷积分的性质 下列无穷积分之性质，可以由其定义直接得到： 1） 线性运算性质： 若 f x( ), , g( x a )ÎR [ +¥)（广义积分存在）则： ( ( ) ( )) ( ) ( ) a a a f x kg x dx f x dx k g x dx +¥ +¥ +¥ + = + ò ò ò 2） 分部积分法仍然成立； 3） 换元法仍然成立。 例 6：求无穷积分 0 cos ax I e bxdx +¥ - = ò 。( a > 0) 解： 0 cos ax I e bxdx +¥ - = ò 0 0 0 2 2 2 2 0 0 1 1 1 cos cos ( sin ) 1 1 1 sin cos ax ax ax ax ax bxd e e bx e b bx dx a a a b b b bxde e b bxdx I a a a a a a +¥ +¥ +¥ - - - +¥ +¥ - - æ ö = ç ÷ - = - + - è ø = + = - = - ò ò ò ò 分部积分 分部积分 所以： 2 2 a I a b = + 。 4） Cauchy 收敛准则： ( ) a f x dx +¥ ò 收敛 Û 函数 ( ) ( ) A a I A = f x dx ò 有极限 Û " > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，有： ( ) A A f x dx e ¢¢ ¢ < ò 。 5） 绝对收敛与条件收敛： 若无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，则称 ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛； 若无穷积分 ( ) a f x dx +¥ ò 发散，但 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，则称 ( ) a f x dx +¥ ò 条件收敛。 附注： 显然绝对收敛Þ 条件收敛，这是因为 ( ) ( ) A A A A f x dx f x dx ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ £ ò ò ，由 Cauchy 收敛准则可 得结论。 4 绝对收敛积分之判别法 下列之判别法均事先假设了积分 ( ) A a f x dx ò 的存在性
广义积分 )比较判别法 定理1:(比较判别法) 1)当彐B,当x≥B时, 若|(x)≤0(x),则∫。9(x)d收敛=f()d绝对收敛, 若|(x)20(x)>0,则∫。9(x)发散→J。(x)发散 2)若hmn∠()=1,则 x+9(x) 0≤1<+∞时,∫q(x)收敛→∫f(x)k绝对收敛, 0<≤+∞时,∫9()k发散→J(x)k发散 证明:1)用 Cauchy收敛准则证明 若(x)dx收敛,则: vE>0,3A>a,当A,”>A时,有:[f(x)dk< 而|()9(,因此:()2()-9() 由Ca收敛准则,∫。f(x)绝对收敛 当∫q(x)d发散且(x)20(x)>0时,与上述命题为逆否命题。 2)由极限性质可由2)→1)之条件,因而结论均成立 证毕 2) Cauchy判别法 由本节例3,我们知道积分。“在p>1时收敛,p≤1时发散。因而在应用定理1 时,我们可以将q(x)取为一,这样,比较判别法就变为: l1.104
广义积分 11.104 1) 比较判别法 定理 1：（比较判别法） 1) 当$B ，当 x B ³ 时， 若 f ( x x ) £j ( ) ，则 ( ) a j x dx +¥ ò 收敛Þ ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 若 f ( x x ) ³ > j ( ) 0 ，则 ( ) a j x dx +¥ ò 发散Þ ( ) a f x dx +¥ ò 发散； 2) 若 ( ) ( ) limx f x l ®+¥ j x = ，则： 0 £ l <+¥ 时， ( ) a j x dx +¥ ò 收敛Þ ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 0 < l £+¥ 时， ( ) a j x dx +¥ ò 发散Þ ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 证明： 1) 用 Cauchy 收敛准则证明。 若 ( ) a j x dx +¥ ò 收敛，则： " > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，有： ( ) A A f x dx e ¢¢ ¢ < ò 而 f ( x x ) £j ( ) ，因此： ( ) ( ) ( ) AAA A A A f x dx f x dx j e x dx ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢¢ £ £ < òòò 由 Cauchy 收敛准则， ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛。 当 ( ) a j x dx +¥ ò 发散且 f ( x x ) ³ > j ( ) 0 时，与上述命题为逆否命题。 2) 由极限性质可由 2)Þ1)之条件，因而结论均成立。 证毕 2) Cauchy 判别法 由本节例 3，我们知道积分 p a dx x +¥ ò 在 p > 1时收敛， p £ 1时发散。因而在应用定理 1 时，我们可以将j( x) 取为 1 p x ，这样，比较判别法就变为：
数学分析讲义 定理2:( Cauchy判别法) 1)当彐B,当x≥B时 若(x)≤,p>1,则∫。/(x)绝对收敛, 若|(x) ps1,则∫。/(x)4发散 若imx/(x)=1,则 p>1且01<+时,f()绝对收敛, ps1且0<1≤+∞时,「(x)发散 例7:求证无穷积分-cobd对va>0收敛 证明:由于| e- cos b≤e,并且[eadk=-,(a>0) 所以由定理1,| e-ar cos bxdx对a>0绝对收敛。 +∞ arctan x 例8:讨论无穷积分 x的敛散性 arctan x丌 解:由于 x~,(x→+∞),并且斗cas70,(x2) 所以由定理2,它与厂会同时收敛或发散即无穷积分厂“x在发散 5Abe|判别法与 Dirichlet判别法 上述的比较判别法与 Cauchy判别法都是用来判断一个无穷积分是否绝对收敛的,这里 两个判别法则是针对条件收敛性而讨论的,因而相对较复杂 )Abel判别法 定理3:(Abel判别法)设: " 1)f(x)在[a+∞)上可积(广义积分收敛) 2)g(x)在[a+∞)上单调有界(g(x)≤M) 则:f(x)g(x)在[a+∞)上广义可积。 证明:应用 Cauchy收敛原理讨论这一问题。考虑第二积分中值定理,我们有: ()g()=8(4)(x)d+g()。(x) 由于f(x)收敛,V>0,34>a,当,>A时(自然5>A)
数学分析讲义 105 定理 2：（Cauchy 判别法） 1) 当$B ，当 x B ³ 时， 若 ( ) p c f x x £ ， p > 1，则 ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， 若 ( ) 0 p c f x x ³ > ， p £ 1，则 ( ) a f x dx +¥ ò 发散； 2) 若 lim ( ) p x x f x l ®+¥ = ，则： p > 1且0 £ l <+¥ 时， ( ) a f x dx +¥ ò 绝对收敛， p £ 1且0 < l £+¥ 时， ( ) a f x dx +¥ ò 发散。 例 7：求证无穷积分 0 cos ax e bxdx +¥ - ò 对" > a 0 收敛。 证明： 由于 cos ax ax e bx e - - £ ，并且 0 ax 1 e dx a +¥ - = ò ，( a > 0) 所以由定理 1， 0 cos ax e bxdx +¥ - ò 对" > a 0 绝对收敛。 例 8：讨论无穷积分 1 arctan x dx x +¥ ò 的敛散性。 解： 由于 arctan ~ 2 x x x p ，( x ®+¥)，并且 arctan 0 x x > ，( x ³1) 所以由定理 2，它与 1 dx x +¥ ò 同时收敛或发散，即无穷积分 1 arctan x dx x +¥ ò 发散。 5 Abel 判别法与 Dirichlet 判别法 上述的比较判别法与 Cauchy 判别法都是用来判断一个无穷积分是否绝对收敛的，这里 两个判别法则是针对条件收敛性而讨论的，因而相对较复杂。 1) Abel 判别法 定理 3：（Abel 判别法）设： 1) f x( ) 在[a,+¥) 上可积（广义积分收敛）， 2) g x( ) 在[a,+¥) 上单调有界（ g ( x M ) £ ） 则： fxgx ( ) ( )在[a,+¥) 上广义可积。 证明： 应用 Cauchy 收敛原理讨论这一问题。考虑第二积分中值定理，我们有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A fxgx dx g A f x dx g A f x dx x x ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ = + ¢ ¢¢ ò ò ò 由于 ( ) a f x dx +¥ ò 收敛，" > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时（自然x > A ）