图2-17直线上点的投影【例2-4】已知线段AB及点K的投影，试判别点K是否在直线上［见图2-18（a)】分析：判断点是否在直线上时，对于一般位置直线，只需判断点的投影是否满足点在两投影面体系中的投影规律即可：但对于特殊直线（如投影面平行线）且给出的两个投影又垂直于投影轴时，需利用定比性或求出第三个投影的方法进行判断。(a)o(b)图2-18判别点是否在线上此题中直线AB为侧平线，判别方法有两种：方法一：若点在直线上，则应同时满足从属性和定比性。现在点K的两投影在直线AB的同面投影上，故只需考察定比性。利用例2-3的作图原理［见图2-18（b)]，知ko、k不重合，因此点K不在直线AB上。方法二：先补充求出侧面投影α"、6"、，因K"不在a"6"上，因此点K不在直线AB上[见图2-18（c)]。本题中直线AB及点K的空间立体关系如图2-18（d）所示。2.3.4两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种，其中平行、相交为共面情况，交叉为异面情况。1.两直线平行若空间两直线互相平行，则它们的同面投影必定互相平行，反之亦然，且空间两平行直线的长度之比在投影后保持不变（正投影的平行性）。如图2-19所示，若直线AB//CD，则有ab//cd，ab'//dd'，d'b"led，且有AB·CD=ab:cd=d'b·cd'=d'b”l'a"28now-zone.cn制作
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图2-19两直线平行般位置直线只要二面投影平行即可判断空间二直线平行，但投影面平行线必须三面投影都平行才能判定其平行，即：1）二面投影平行但不满足定比性，则空间二直线不平行。如图2-20（a）所示，a61cd且ablcd，但ab：cdab：cd，所以直线AB、CD不平行。（2）二面投影平行且满足定比性，但因方向不同，空间二直线仍不平行。如图2－20(b）所示，abl/cd、abl/dc且ab：cd'=ab：dc，但直线CD方向不一致，所以直线AB、CD仍不平行。（3）三面投影均平行（同时满足平行性、定比性、同方向），空间两直线才平行，如图2-20（c）所示。陶(c)161图2-20判断直线平行的方法2.两直线相交若空间两直线相交，则它们的同面投影也相交，同面投影的交点就是两直线交点的投影，而且满足直线上的点的投影特性（从属性和定比性），反之亦然。因此，直线的三投影相交，且交点符合点的投影规律，那么就可判断空间两直线相交。如图2-21所示，直线AB、CD交于K点则有kIOX。对于一般位置两直线，只需判断两组同面投影相交且交点符合相应投影规律即可。但对于有一条为特殊位置直线的情况，只有两同面投影相交则不能直接判别两直线相交，如图2-22（a）所示。判别方法一是求出第三面投影，看交点是否满足共有点的投影规律，如图2-22（b）所示；判别方法二是用反证法，先假设两直线相交，则应满足从属性和定比性，如图2-22（c）所示。两种方法判别的结果一致，图2-22中的两直线MN、IJ不相交。bs.snow-zone.cn制作
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直线本(a)(c)图2-22判断直线相交的方法【例2-5】已知直线AB、CD及E的正面投影e，过E作EF//CD且与AB相交，求EF［图2-23（a)]。(b)图2-23直线相交综合求解本题是个综合题，包含平行又有相交，作图过程如图2-23（b）所示：先作ef'l/cd求出f"，再求出f，最后作efllcd求出e，则ef、ef'即为所求。30zone.cn制作
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3.两直线交叉既不平行又不相交的两直线称为交叉二直线，所以，它的投影也不具备平行、相交二直线的投影特性。其投影表现有三种情况：（1）一对同面投影相交，另两对平行，如图2-24（a）所示；（2）两对同面投影相交，另一对平行，如图2-24（b）所示；（3）三对同面投影相交，但其交点不符合点的投影规律，如图2-24（c）所示。图2-24两直线交叉的三种投影图两直线交又时一般存在重影现象，同名投影的交点即是重影点，通过分析可以判断空间两直线的相对位置。如图2-25所示，直线AB和CD空间交叉，其水平投影和正面投影都相交，但交点不符合投影规律。水平投影中的交点3（4）重影，根据其正面投影位置知道Ⅲ点在上、IV点在下，此处直线AB在CD的上方。同理，正面投影中的交点1（2）重影，根据其水平投影位置知道I点在前、I点在后，此处AB直线在CD的后方。图2-25两直线交叉2.4平面的投影2.4.1平面的表示法1.用几何元素表示平面在投影图上可以用下列任何一组几何元素的投影表示平面（1）不在同一直线上的三个点，如图2-26（a）所示；31e.cn制作
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（2）一直线和直线外一点，如图2-26（b）所示；（3）相交两直线，如图2-26（c）所示；（4）平行两直线，如图2-26（d）所示；（5）任意平面图形，如图2-26（e）所示。上述五个条件是可以互相转化的，并且第一种三点确定一个平面是基础(a)图2-26平面的几何表示法2.用迹线表示平面空间平面与投影面的交线就称为平面的迹线。如图2-27所示，平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线，用Pv表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用P表示；平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用Pw表示。很显然，迹线既在平面上，又在投影面上。图2-27平面的迹线表示法特殊位置平面用迹线表示时，通常只画出具有积聚性的迹线，并且该迹线用短粗实线表示。如图2-28（a)、（b）表示正垂面P，图2-28（c)、（d）表示正平面Q。(b图2-28特殊位置平面的迹线表示法32w-zone.cn制作
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