图2-2平行投影法2.1.2正投影的基本特征（1）全等性：当直线或平面与投影面平行时，则直线、平面在该投影面上的投影为实长和实形。在图2-3（a）中，ab=AB，△cde△CDE。尚(c(b)图2-3、正投影的全等性、积聚性和类似性（2）积聚性：当直线或平面与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，平面的投影积聚成一条直线。在图2-3（b）中，直线AB积聚为点a（b)，△CDE积聚为直线cde。（3）类似性：当直线或平面与投影面倾斜时，则直线的投影仍为直线，平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2-3（c）所示。（4）从属性：点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上；直线在平面上，则该直线的投影必在该平面的同面投影上。在图2-4（a）中，若FEAB，则有fEab（5）定比性：直线上的点分割线段之比，投影后保持不变。在图2-4（a）中，若FeAB，则有af·fb=AF：FB。(a)(b)图2-4正投影的从属性、定比性和平行性18bbs.snow-zone.cn制作
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（6）平行性：互相平行的，其同面投影仍互相平行且两直线长度之比投影后仍保持不变。在图2-4（b）中，若AB//CD，则ab//cd而且AB：CD=ab：cd。2.1.3工程上常用的投影图（1）多面正投影图：如图2-5（a）所示。将物体在多个相互垂直的投影面上进行正投影，再将多个投影展开到一个平面，每个投影能反映物体一个方向上的实际形状和大小。其特点是直观性较差，但度量性好，作图简便，工程中应用最广(b)图2-5正投影图和轴测图（2）轴测投影图（简称轴测图）：是单面投影图，如图2-5（b）所示。按平行投影法将物体向某单一投影面进行投影所得到的图形。其特点是立体感好、直观性强，但度量性差，作图较繁，工程中常作为辅助图。详细介绍请参阅本书第5章。（3）标高投影图：是在物体的水平投影上加注某些特征面、线以及控制点的高程数值的单面正投影图，如图2-6（a）所示，工程中主要用于表示地形等。(b图2-6标高投影图和透视图（4）透视投影图（简称透视图）：是采用中心投影法画出的单面投影图，如图2-6（b）所示。其特点是度量性差，作图较繁，但图形逼真，直观性强，符合人的视觉规律。一般用于作表示建筑、工业设计等的辅助性图样。2.2点的投影我们知道，物体由面组成，而面由线组成，线又由无数个点组成，那么要正确绘出空间物体的投影图，就必须深人研究点、直线、平面的投影规律和投影特性。下面从点开始依次进行讨论。如图2-7（a）所示，若已知空间一点A和投影面H，过A点作投射线垂直于H面19-bbs.snow-zone.cn制作
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投射线与H面交于一点，此点α为A点在H面上的投影。很显然，空间点A在投影面H上的投影是唯一的。但反过来，某投影面上的一个投影a却对应多个空间点（A、A、A.如图2-7（b）所示。PAPA(a)(b)图2-7点的投影由于单面投影不能唯一确定点A的空间位置，因此常将物体放置在相互垂直的两个或更多的投影面之间，向这些投影面作正投影，形成多面正投影图。2.2.1点在两投影面体系中的投影1.两投影面体系的建立及展开取两个互相垂直的投影面，即组成两投影面体系，如图2-8（a）所示。H、V投影面将空间分成I、Ⅱ、Ⅲ、IV四个分角，本书主要讨论物体处于第一分角，即空间点的坐标均为非负值的情况。T(a)(b)图2-8两投影面体系的建立H投影面水平放置，称为H面（或水平面）；V投影面正立放置，称为V面（或正面）：H面和V面的交线OX称为投影轴。空间点只有空间位置而无大小，而点的一个投影又不能确定其空间位置，因此将点A置于两面投影体系[图2-8（b)】之中，过A点分别向两个投影面作投射线，交得两个垂足a、α，即分别为A点的水平（H面）投影、正面（V面）投影。反过来，在图2-9（a)中，若已知点A的两个投影a、a'，分别向H、V面作垂线，可得唯一交点A。因此，空间点的两个投影能唯一确定点A的空间位置。为便于识别，这里规定空间点用大写字母或罗马数字（如A、B、或I、II、I.表示，点在H面上的投影用相应的小写字母或数字（如a、b、或1、2、3.）表示，点20bbs.snow-zone.cn制作
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在√面上的投影用相应的小写字母或数字再加一撇（如α”、6、或12”、．…表示。为了使H、V投影画在同一平面（图纸）上，规定V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，就得到两面投影图，如图2-9（a)、（b）所示。投影面是无限大的，所以去掉框线，也不必注出H、V面，如图2-9（c）所示，即为点的两面投影。n0(b)(a)图2-9两投影面体系的展开2.点在两投影面体系中的投影特性由图2-9（a）可以看出，Aa与Aa构成的平面同时垂直于H面和V面，与投影轴交于ax，则OxLaxa，Oxlaax，Aaaxa'形成一个矩形。由平面几何知，有aa Loxaax=Aa（点A的V面投影a'到投影轴OX的距离等于空间点A到H面的距离）；aax=Aa（点A的H面投影a到投影轴OX的距离等于空间点A到V面的距离）。因此，点在两投影面体系中的投影特性为：(1）点的投影连线垂直于投影轴，即aaIox。（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即aax-Aa,aax=Aa2.2.2点在三投影面体系中的投影对于比较复杂的物体，有时需要向三个甚至更多的投影面进行投影才能表达清楚。1.三投影面体系的建立及展开三投影面体系是在两投影面体系的基础上，增加一个同时与V面、H面互相垂直的侧立投影面W，侧立投影面简称侧面（或W面），H、V面交于OX，H、W面交于OY，V、W面交于OZ，如图2-10（a）所示。规定空间点在侧面的投影用相应的小写字母或数字加两撒表示，如a"、1"等把点A置于三投影面体系中的第一分角，过点A分别向三个投影面作投影，同样为了使三个投影在一个平面上得到投影图，规定：V面保持不动，H面向下旋转90，W面向右转90°，使三面共面，如图2-10（b）所示。展开并去除边框、投影面标记后，得到点A的三面投影图，如图2-10（c）所示。此时，Y轴一分为二，在H面上的用YH表示，在W面上的用Yw表示，也可以不加下标H、W直接用Y表示。2.点的投影与直角坐标的关系点的空间位置也可由直角坐标来确定。三投影面体系可以构成一个空间直角坐标系，投21bbs.snow-zone.cn制作
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Lo900(b)(c)图2-10三投影面体系的建立和展开影面为坐标面，投影轴为坐标轴，O点即为坐标原点。如图2-10（b)、（c）所示，空间点A（t、3、2）到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示：空间点A到W面的距离，等于点A的X坐标，即oax=Ad=工；空间点A到V面的距离，等于点A的Y坐标，即oay=Aa'=y;空间点A到H面的距离，等于点A的Z坐标，即oaz=Aa=2。3.点的投影规律根据上述分析，可以得到点在三投影面体系中的投影规律为：（1）点A的正面投影α和水平投影α具有相同的X坐标，其投影连线垂直于OX轴即aalOX，且有aay=oax=aa2=Ad"=r；（2）点A的正面投影α和侧面投影d"具有相同的Z坐标，其投影连线垂直于OZ轴，即aa"lOz，且有aay（3）点A的水平投影a到OX轴的距离，等于侧面投影d到OZ轴的距离，即aax=oax=a"az=Aa"-由此可见，若已知点的三个坐标值，即可确定该点的空间位置和唯一的一组投影。另外，因为点的任何一面投影都反映点的两个坐标，那么点的任两面投影就可反映点的三个坐标。因此，若已知点的任意两个投影，就确定了点的空间位置，可以作出点的第三面投影。【例2-11已知空间点A（10，8，15，求其三面投影图。作图［图2-11（a)]：图2-11点的投影求解（1）由原点O向左沿Ox轴量取10mm得ax，过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向前量取8mm得a，向上量取15mm得α。22-bbs.snow-zone.cn制作
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