若y1,y2是解,则y=c1y+c2y2也是解 若y1,y2是两无关解,则y=cy1+c2y2是通解 (2)二阶非齐次线性方程的解的结构 形如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x) 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解=齐通解+非齐特解 若f(x)=f(x)+f2(x)则y=+j2 若=n1+ⅳ是f(x)=f(x)+i2(x)的特解 则,y2分别是f(x),f2(x)的特解
若y1 , y2是解,则y = c1 y1 + c2 y2也是解 若y1 , y2是两无关解,则y = c1 y1 + c2 y2是通解 （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 1 2 1 2 若f (x) = f (x) + f (x)则y = y + y 则 分别是 的特解 若 是 的特解 , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 y y f x f x y = y + jy f x = f x + jf x
3、二阶常系数齐次线性方程解法 形如y(+Py+…+Pn-1y+Pny=f(x) 阶常系数线性微分方程 y+py+y=0 阶常系数齐次线性方程 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法
3、二阶常系数齐次线性方程解法 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = 形如 − n阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法
y+py+ay=0 特征方程为r2+pr+q=0 特征根的情况 通解的表达式 实根≠P2 y=Cence 实根r1=n2 y=(C1+C,x)eir 复根r ,2=a士 iB y=e(ci cos Bx+C2 sin Ax)
y + py + qy = 0 特征方程为 0 2 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r r 实根 1 2 r = r 复根r1,2 = i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) y e C1 x C2 x x = +
推广:n阶常系数齐次线性方程解法 y+Py++Pmn_y+Pny=0 特征方程为r"+Prn-1+…+P_r+P=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r(C+Cx+…+Ck1x4)ex 若是k重共轭(C+Cx+…+Ck1x2)cspx 复根α土j +(Do+Dx++Drxk-)sin Bxle
推广： n 阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P y P y P y n n n n 特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r P r P r P 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x − − − − + + + + + + + ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法 (1)f(x)=e4P(x)型 0A不是根 设j=x'e^gn(x),k=1是单根 2元是重根
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法. (1) f (x) = e x P m (x)型 y x e Q (x) , m k x 设 = = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k