对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分,对第 类曲线积分 L P(x,y)ds=im∑p(5,m)4 元->0 其物理背景是曲线型构件的质量,在此质量问 题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度,小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积,相应地得和 式 im∑p(5,mn,51)AS 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
对面积的曲面积分 一 、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一 类曲线积分 n i i i i L x y ds s 1 0 ( , ) lim ( , ) 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 式 n i i i i Si 1 0 lim ( , , ) 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
实例若曲面∑是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 4000 有切平面,且当点在 2000 曲面上连续移动时 切平面也连续转动 -20
实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数( x, y,z), 求它的质量. 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
1.定义设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,在Σ 上有界把分成n小块AS;(AS同时也表示 第小块曲面的面积),设点(5,7,5)为△S上任 意取定的点作乘积(5,,41)△S 并作和∑f(5,m,)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 记为 ∫(x,y,孔)dS 即』∫(x,y2d=imC/(5,m,9△S
1.定 义 设曲面是光滑的, 函数f(x, y,z)在 上有界, 把分成n小块Si （Si 同时也表示 第i小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上任 意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和 n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f(x, y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 记为 f (x, y,z)dS. 即 f (x, y,z)dS i i i n i f i S lim ( , , ) 1 0
其中f(x,y,z)叫被积函数, 其物理背景是面密度为∫(x,y,乙)的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面∑1及Σ2,则 f(x,v, z)ds f(x, y, z)dS+l f(x,y,z)ds 由上述定义可知其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似
其中 f (x, y,z)叫被积函数， 其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 f (x, y,z)dS 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似
i)线性性∫(4/+1g)s=2∫s1」as i)可加性』/S=』s+』0s(=+2 ⅲ)存在性若f(x,y,)连续,则f(x,y,x)在 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种:
ⅰ）线性性 (f g)dS fdS gdS ⅱ）可加性 1 2 fdS fdS fdS ( ) 1 2 ⅲ）存在性 若 连续 则 存在 f (x, y,z) , f (x, y,z)dS 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：