二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型自由项为Pn(x),Pn(x)lex re cos Br, pm( A x)e sin 难点:如何求特解?方法:待定系数法
y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e P (x)e cos x, x m P (x)e sin x, x m 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 自由项为 二阶常系数非齐次线性微分方程
f(x)=ePm(x)型 设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 (*)Q"(x)+(24+p)Q(x)+(42+p2+q)Q(x)=Pn(x) (1)若λ不是特征方程的根,22+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e; (2)若λ是特征方程的单根, +p九+q=0,2+p≠0, 可设Qx)=xQn(x),y=xQn(x)e;
一、 f ( x ) e Pm ( x ) 型 x = 设非齐方程特解为 x y Q x e = ( ) 代入原方程 ( ). ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q x + + p Q x + + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2 + p + q Q(x) Q (x), 可设 = m ( ) ;x m y Q x e = (2) 若是特征方程的单根， 0, 2 + p + q = 2 + p 0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ;x m y xQ x e =
(3)若是特征方程的重根, 22+p+q=0,24+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),卩=x2Qn(x)ex 综上讨论 「0不是根 设y=xe2gn(x),k={1x是单根, 2λ是重根 注意上述结论可推广到m阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数)
(3) 若是特征方程的重根， 0, 2 + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 Q x x Q x 可设 = m ( ) . 2 x m y x Q x e = 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 = = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）
特别地y"+py+gy=Ae e4,λ不是特征方程的根 元2+pλ+q xe是特征方程的单根 2+p e 九是特征方程的重根
特别地 x y py qy Ae + + = + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根 x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2
例1求方程y"-3y+2y=xe2的通解 解特征方程r-3r+2=0, 特征根F1=1,n2=2, 对应齐次方程通解Y=cex+c,e2X 入=2是单根,设y=x(Ax+B)e2 代入方程,得2Ax+B+2A=x 2 B=-1 于是 y=rx-1 2x 2 原方程通解为y=Ce2+C2c2+x(3x-1)e2 2
例1 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， 对应齐次方程通解 , 2 1 2 x x Y = c e + c e = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1 = − = B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e