二阶常系数齐次线性微分方程 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 (n) +Py++P-y+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y+py+qy=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+my2+gy=∫(x)
一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 一特征方程法 特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想有特解 设y=e",将其代入上方程,得 (r+ pr +e=0 ≠0 故有r2+p+q=0特征方程 特征根r12= p±√p2-4q 2
二、二阶常系数齐次线性方程解法 y + py + qy = 0 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特征根 , 2 4 2 1,2 p p q r − − = 特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 rx y = e
有两个不相等的实根△>0) P+√p2-4 4c 特征根为 2 2 两个线性无关的特解 1下e 12 2 得齐次方程的通解为y=C2e+C2e;
有两个不相等的实根 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0)
有两个相等的实根(△=0) 特征根为r=r=-P,一特解为n=e, 2 设另一特解为y2=u(x)e1x 将y2,y2,y代入原方程并化简, n"+(2r1+p)u'+(r2+pr1+q)=0, 知u"=0,取(x)=x,则 V2=xei- 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e
有两个相等的实根 特征根为 , 2 1 2 p r = r = − 一特解为 , 1 1 r x y = e ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e ( = 0)
有一对共轭复根(△<0) 特征根为=a+jB,r2=a-j, =c+1,y2=ea0)X 重新组合=(y1+y2)=e"c0sx, 2 D2=: (n1-y2)=ea sin Bx, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bx+ C2 sin px)
有一对共轭复根 特征根为 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + ( 0)