进一步假定:(对薄板) 1、在整个板内应力分量a13=023=03=0 2、在板上1,012,02只是x1和x2的函数。 11 11(112 22 2(x1,x2 应力场v(x,x2)01≈ 21 12(x1,x2 013=023=033=0 e1(x1,x2)=(01-v022) 2(12 = E(22-1 应变场(x1,x2) e33(x1,x2)=(01+02) 1+ M1,x- 12(1 2 E 12 13 23 0
将上述Gn;代入平衡方程,可得 00100 12 +F1=0 dx1 dx2 1 与平面应变 00 21 平衡方程相同 +F2=0 0x10x 将上述;代入应变协调方程得到四个方程 02E1.0222021 12 02e33 2 0x20x 0x10x2 ax 2 0 0283=0 ax 0x20x1 要使②,③,⑥三个方程同时满足, 则3只能是x1和x2的线性函数, 即:633=Ax1+Bx2+C(A,B,C为积分常数)
与平面应变 平衡方程相同
这就使我们所研究的问题受到很大的限制。 因此我们假定协调方程也只需满足①式, 而近似的认为②,③,⑥三个方程得到了满足 我们后面将证明这个近似解在板很薄时是足够精确的。 将应力应变关系;(ok)代入①式, 11 22 02E1 12 0 dx 2 2 0x10x 2 得应力协调方程: 0 0x2(11-2)1+ 7DEm22-v011 ax 02「1+ ax,axl E 12
整理得: af aF 2 V2(01+02)=-(1+x2 相比于平面应变的应力协调方程,此方程只是用v代替了v 001100 平衡方程: 12 +F1=0 ax 1 ax 2 00210022 +F=0 0x10x 2 边界条件: 1=0111+0122=01(x1,x2) 侧面: 02=0211+02212=02(x1,x2) 0 端面:1=02=03=0(自由面) 方程加边界条件构成平面应力的定解问题
整理得： 方程加边界条件构成平面应力的定解问题
平面应变与应力问题的比较 平面应变问题 平面应力问题 边界条件u(端面=0→83=0,13=23=0d端面=0=013=3=03=0 几何条件 两者相反 力学条件 相同 相同 弹性系数 E Ev 求解方法 数学上完全相同 数学上完全相同 协调方程 形式完全一致 形式完全一致 精确解 近似解 其中:E E v 1-v
其中：