《数学分析》第六讲 导数与微分

第三章导数与微分 第六讲导数与微分 CThe differentiable properties of function) 阅读:第3章31pp.51-58, 预习:第三章32,3.3pp.60-73 练习pp67-70习题32:1至5;6,7;9,(2),(4),(5);10,(2),(3);11,(2)(4 12;14;16. 作业pp59-50习题31:6;8:9,(1,(3),(6);10,(1)4);11(1,(3)(5),(6 13;15;1 答疑时间:每周星期三下午三点半至五点, 答疑地点:理科楼1107 ●下周(第六周屋星期三,自二各班,第二节上大班习题辅课一教104 下周(第六周屋期三,文2、新闻2医学21、环二、环21-23、建环2、软件班等各班 及其他同学,第一节上大班习题辅课,一教101 3-1函数的导数与微分 41-1函数导数的定义 两个典型背景示例 例一:运动物体的瞬时速度 设质点沿x轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间的函 数关系)为x=x(1).求在时刻t0的瞬时速度 解:(1)求时段10到+△t的平均速度: x(10+△)-x(t0) (2)平均速度的极限是瞬时速度.即:因此如果极限 x(to+△t) v()=m 存在,这个极限值就是质点在时刻to的瞬时速度 例二曲线的切线斜率 设曲线L由方程y=f(x)a≤x≤b)确定.x∈(a,b).要求L在 点M(x0,yo)(其中y=f(x0)的切线 (1)求区间x到x+△x的弦的斜率 y=f(x) k(xo, Ax f(x)-f(x0) (2)弦斜率的极限是切线的斜率 第三章导数与微分

第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 第六讲 导数与微分 (The differentiable properties of function) 阅读： 第 3 章 3.1 pp.51—58, 预习: 第三章 3.2, 3.3 pp.60—73, 练习 pp67--70 习题 3.2: 1 至 5; 6, 7; 9, (2), (4), (5); 10, (2),(3); 11, (2),(4) 12; 14; 16. 作业 pp59--50 习题 3.1: 6; 8; 9, (1), (3), (6); 10, (1),(4); 11, (1),(3),(5),(6); 13; 15; 17. 答疑时间：每周星期三下午三点半至五点， 答疑地点：理科楼 1107 ⚫ 下周(第六周)星期三, 自二各班, 第二节上大班习题辅课, 一教 104 ⚫ 下周(第六周)星期三, 文 2、新闻 2 医学 21、环二、环 21-23、建环 2、软件班等各班 及其他同学, 第一节上大班习题辅课, 一教 101 3-1 函数的导数与微分 4-1-1 函数导数的定义 一 两个典型背景示例 例一: 运动物体的瞬时速度. 设质点沿 x 轴作直线运动, 若己知其运动规律(即路程与时间的函 数关系)为 x = x(t). 求在时刻 t0 的瞬时速度. 解: (1) 求时段 t0 到 t0 ＋ t 的平均速度： v(t 0 ,t) = x t t x t t ( 0 +  ) − ( 0)  . (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此,如果极限 v(t 0 ) = t x t t x t → t + − 0 0 0 lim (  ) ( )  存在, 这个极限值就是质点在时刻 t0 的瞬时速度. 例二: 曲线的切线斜率. 设曲线 L 由方程 y = f (x)(a  x b) 确定. x0 (a,b).要求 L 在 点 ( , ) ( ( )) 0 0 0 x0 M x y 其中 y = f 的切线. (1) 求区间 0 x 到 x + x 0 的弦的斜率: ( , ) 0 k x x = 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − ; (2) 弦斜率的极限是切线的斜率: y y=f(x) y0=f(x0) x0 x

第三章导数与微分 k(xo)=lim f()-J02= lim y(ro) x→x0 (3)曲线L:y=f(x)在点M(x0,y0)的切线 斜率等于k(x0),切线T的方程称为 y=f(x0)+k(x0(x-x0) 导数的定义 定义:假设函数y=∫(x)在点x某邻域有定义,如果极限 lim /(o+Ax)-/(xo)= lim Af(xo) △x 存在,则称其值为函数∫在点x0的导数,并说∫在x0可导 f在点x的导数记作f(x)可(x)或y(x、 函数∫在点x0的导数,就是在点x函数关于自变量的变化率 运动质点在时刻to的瞬时速度是距离x()对时间t的导数 曲线y=f(x)在点x切线斜率是函数∫对x的导数 例:细杆的线密度。设有长度为a的质量不均匀细杆杆所在的直 线为x轴,m(x)表示细杆在区间[0,x]中的质量 xo,x+△x]是细杆在一段的平均质量密度是 mn(x+△x)-m(x0) 它的极限,即质量函数m(x)关于x在点x0的导数 m(xo)=lim m(x0+△x)-m(x0) Ax->0 就是细杆在x0的线密度 在导数定义中,△x称为自变量的增量;△x可正可负,但 是不能取零; 4(x0)=∫(x0+Ax)-f(x0)称为函数的增量 f(x0+△x)=f(x0)+4(x0) 当Δx限制的负正时,有所谓左、右导数之称,即 f(xo+Ax)-f(xo) 若 存在,则称其为∫在x0的左导数 若mf(x+△x)-f(x) 存在,则称其为f在x0的右导数; ∫在点x的左、右导数分别记作∫"(x)和f+(x) 第三章导数与微分

第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 ( ) 0 k x = 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → = x f x x    → ( ) lim 0 0 ; (3) 曲线 L : y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 M x y 的切线: 斜率等于 ( ) 0 k x , 切线 T 的方程称为: ( ) ( )( ) 0 0 0 y = f x + k x x − x 二 导数的定义 定义: 假设函数 y = f (x) 在点 x0 某邻域有定义, 如果极限 x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0  +  −  → = x f x x ( ) lim 0 0    → 存在,则称其值为函数 f 在点 x0 的导数, 并说 f 在 x0 可导； f 在点 x0 的导数记作 ( ) 0 f  x 或 0 ( ) x x dx df x = 或 ( ) 0 y  x 或 0 x x dx dy = . ⚫ 函数 f 在点 x0 的导数, 就是在点 x0 函数关于自变量的变化率. 运动质点在时刻 t0 的瞬时速度是距离 x (t) 对时间 t 的导数. 曲线 y = f (x) 在点 x0 切线斜率是函数 f 对 x 的导数. 例 : 细杆的线密度。设有长度为 a 的质量不均匀细杆,杆所在的直 线为 x 轴, m( x) 表示细杆在区间 [0, x] 中的质量. [x0 , x0 +x] 是细杆在一段的平均质量密度是 m x x m x x ( ) ( ) 0+ − 0  . 它的极限, 即质量函数 m( x) 关于 x 在点 x0 的导数 x m x x m x m x x  + −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 就是细杆在 x0 的线密度. ⚫ 在导数定义中,  x 称为自变量的增量; x 可正可负 , 但 是不能取零; ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f x + x − f x 称为函数的增量. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + x = f x + f x 当  x 限制的负正时，有所谓左、右导数之称, 即： 若 x f x x f x x  +  − → −  ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则称其为 f 在 x0 的左导数; 若 x f x x f x x  +  − → +  ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则称其为 f 在 x0 的右导数; f 在点 x0 的左、右导数分别记作 f  (x) − 和 f  (x) +

第三章导数与微分 三例 1,常数函数f(x)=c的导数 由导数定义(注意到Ax≠0)得到 f(x+△x)-f(x) lim =In 0=0 △x Ar→0△x 所以c’=0 2,三角函数的导数 Snx和cOSx的导数 (sin x)'=lim sm( x+ Ax)-sin x 2 cos(x+ 2 sin lm cos(x+-)=cos x 同样的方法可以得到(cosx)’=-snx 注意几何意义。 对数函数y=hx的导数 当x>0,(hx)'=lim 当x<0,(kx(-x)=lm ln(-(x+△x)-h(-x) =mm(+Ax、1 x≠0,少 =(h|x 幂函数y=x“(a≠0.-1)的导数 解:对于任意的x>0,有 (x“)′=lim +△x) mx(1+xx)-1 lim ra a x/Ax 4r - ras 3-1-2导数的基本性质 性质一:函数∫在点x存在导数的充分必要条件是∫在点x0的 左、右导数都存在并且相等 性质二如果∫在x可导,则函数在x的增量4(x0)可表成 4(x0)=f(x0)·Ax+o(Ax) 证明:由∫在点x可导,则有 第三章导数与微分

第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 三 例 1, 常数函数 f (x) = c 的导数. 由导数定义(注意到 x  0 )得到 lim lim 0 0 ( ) ( ) lim 0 0 0 = =  − =  +  − x→ x→ x x→ c c x f x x f x . 所以 c  = 0 . 2, 三角函数的导数: ⚫ sin x 和 cosx 的导数. x x x x x x  +  −  =  → sin( ) sin (sin ) lim 0 = x x x x x   +   → ) 2 cos( 2 2sin lim 0 = x x x x x x x ) cos 2 lim cos( 2 2sin lim 0 0 =   +    →  → 同样的方法可以得到 (cos x) = −sin x . 注意几何意义。 ⚫ 对数函数 y = ln x 的导数 当 x  0 , x x x x x x x x x x x 1 ln(1 ) 1 lim ln( ) ln (ln ) lim 0 0 =  +  =  +  −  =  →  → 当 x  0, x x x x x x x x x x x 1 ln(1 ) 1 lim ln( ( )) ln( ) (ln( )) lim 0 0 =  +  =  − +  − − −  =  →  → x  0， x x dx dy 1 = (ln | |) = ⚫ 幂函数 = (  0,−1)  y x 的导数. 解:对于任意的 x  0,有 ( ) x x x x x x x x x x x  +  − =  +  −  =  →  → (1 ) 1 ( ) lim lim 0 0      = 1 0 lim −  → =       x x x x x x 3-1-2 导数的基本性质 性质一：函数 f 在点 x0 存在导数的充分必要条件是 f 在点 x0 的 左、右导数都存在并且相等. 性质二: 如果 f 在 x0 可导, 则函数在 x0 的增量 ( ) 0 f x 可表成： . 证明: 由 f 在点 x0 可导, 则有 ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f  x x + o x

第三章导数与微分 Ar→0 Af(o=f (xol mf(x+△x)-f(x2oAx 由极限性质可知,当Ax→0时,x)-r(x)=0 即4(x0)=f(x)△x+o(1)△x=f(x)△x+o(△x) 推论一:如果∫在x可导,则函数在x0必连续 推论二:如果∫(x0)≠0,则(x)~f(x)△x 推论三:如果∫在x0可导在x附近用切线上的增量∫(x0)x, 来近似函数曲线上的增量f(x0),相差为o(△x)。 注意:由函数的连续性不能推出可导性 如果∫在区间/中的每个点都可导称∫在区间上可导 这时,(x)在上定义一个函数,称为∫的导函数,简称导数 当区间为有界闭区间[a,b时,∫在区间[a,b]上可导的含义是 f在[a,b的每一个内点可导;在a,b两点分别存在右导数和 左导数此时记成:f∈DIa,b] 符号∫∈C(1),表示导函数∫(x)在/上连续 性质三导数的四则运算性质:若函数∫,g在点x都可导, 1函数∫+g在点x可导,并且 (f+g)(x)=f(x)+g'(x) 2对于任意常数C,函数f在点x可导,并且 (cf)(x)=cf(x 3函数∫·g在点x可导,并且 (f g)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 4如果g(x)≠0,则2在点x可导并且 g(x) f(x)f(x)g(x)-g'(x)f(x) g(x) 8(x) 证明以下记 ◆=f(x+Ax)-f(x),4g=g(x+△x)-g(x) △(∫+g)=[f(x+x)+g(x+Ax)-[f(x)+g(x =A+Ag 1.设函数∫,g在点x都可导,则 第三章导数与微分

第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x f x x x =    =  +  −  →  → . 由极限性质可知，当 x →0 时， ( ) (1) ( ) 0 0 f x o x f x −  =   , 即 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f  x x + o x = f  x x + o x . 推论一：如果 f 在 x0 可导, 则函数在 x0 必连续。 推论二：如果 f (x0 )  0 , 则 f (x ) ~ f (x )x 0 0 。 推论三：如果 f 在 x0 可导, 在 x0 附近用切线上的增量 f (x )x 0 , 来近似函数曲线上的增量 ( ) 0 f x ，相差为 o(x) 。 注意：由函数的连续性不能推出可导性. 如果 f 在区间 I 中的每个点都可导,称 f 在区间 I 上可导, 这时, f '(x) 在 I 上定义一个函数, 称为 f 的导函数, 简称导数. 当区间为有界闭区间 [a,b] 时, f 在区间 [a,b] 上可导的含义是: f 在 [a,b] 的每一个内点可导；在 a,b 两点分别存在右导数和 左导数. 此时记成: f  D[a,b]. 符号 ( ) 1 f C I ，表示导函数 f (x) 在 I 上连续. 性质三: 导数的四则运算性质: 若函数 f , g 在点 x 都可导,则 1.函数 f + g 在点 x 可导, 并且 ( f + g)(x) = f (x) + g (x) 2.对于任意常数 c,函数 cf 在点 x 可导,并且 (cf )(x) = cf (x). 3.函数 f  g 在点 x 可导,并且 ( f  g)(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). 4.如果 g(x)  0 ,则 ( ) ( ) g x f x 在点 x 可导,并且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f x g x g x f x g x f x  −  =          . 证明:以下记 f = f (x +x) − f (x),g = g(x +x) − g(x) ( f + g) = [ f (x + x) + g(x + x)] −[ f (x) + g(x)] = f + g 1. 设函数 f , g 在点 x 都可导,则

第三章导数与微分 (f+g)(x)=lim A(f+g) f(x)+g(x) x→0△xAx-0△x 2.设函数∫在点x都可导则对于任意常数C,有 (cf)(x)= △(cf) C lim =cf(x) 3.当函数∫,g在点x都可导时,有 (0(x(x)y=m(+4Xg+2)- lim +yf·g+ yAg=im/ 48+4r 8+Ax Ax→ f(x)lim +g(x)lm +lim当lim △xx→0△xAx+0△x f(x)g(x)+g(x)f(x) 4.当函数∫,g在点x都可导,并且g(x)≠0时,有 AC ∠+4_=(+4)g-f(g+Ag 88+Ag g (g+△g)g s)/△r=s(/△r)-f(4g/△x) g2+g·△g f(x)g(x)-g'(x)f(x) 8(x) Tanx、Cotx、Secx、Cscx的导数 sin x,(sin x),cos x-(cos x)sn x COS x sin x+cos x cos x COS x 同样可以得到 (cot x sIn x secx)=() tan x secx COSx COS x 样可以得到 第三章导数与微分

第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x g x x g x f x f g x f g f g x x x x x =  +    +   =   +  =   + +  =  →  →  →  → . 2. 设函数 f 在点 x 都可导,则对于任意常数 c,有 lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 cf x x f c x cf cf x x x =    =    =  →  → . 3. 当函数 f , g 在点 x 都可导时,有 x f f g g f g f x g x x  +  +  −   =  → ( )( ) ( ( ) ( )) lim 0 = x f g f g f g x    +   +     →0 lim =          +   +    → g x f g x f x g f x 0 lim = g x f x f g x x g f x x x x x    +   +    →0  →0  →0  →0 ( ) lim ( ) lim lim lim = f (x)g(x) + g (x) f (x). 4. 当函数 f , g 在点 x 都可导,并且 g(x)  0 时,有 g f g g f f g f − +  +  ( ) = = ( ) ( ) (g g) g f f g f g g +   +   −  +  = g g g f g f g +     −   2 x g f ( )/  = ( ) ( ) g g g g f x f g x +     −    2 ⎯⎯x→⎯0→ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f  x g x − g  x f x ⚫ Tan x 、Cot x、 Sec x、Csc x 的导数 sec . cos 1 cos si cos cos (sin ) cos (cos ) sin ) cos sin (tan ) ( 2 2 2 2 2 2 x x x n x x x x x x x x x x = = + =  −   =  = 同样可以得到 . csc 1 (cot ) 2 x x  = − x x x x x x tan sec cos sin ) cos 1 (sec ) ( 2  =  = = . 同样可以得到