第四章导数的应用 第四章导数的应用 CThe applications Derivative of function) 第八讲微分中值定理 阅读:第4章41pp80-88 预习:第4章42pp.89-95,第4章43:96-11l 练习pp88-89习题4.1:1至4;5,(1);8,(1),(2);9,(2); 10,(2),(4) 作业pp88-89习题41:5,(2);8,(3),(4);9,(1);10,(1),(3) 重要通知 (1)第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(1)小测验 测验内容为罗比塔法则及以前的知识; 测验方式:计算机考试,时间一小时 每班具体考试时间下周考前通知。 (2)请每位同学务必在下周星期二以前,到网上 (网址为:info. Mathe.edu,cn 阅读机考说明,并试做摸拟试卷。 4-1增量分析与微分中值定理 4-1-1函数局部性态的导数描述 定义设∫:D→R,若彐N(x0)<Dx0,使得 x∈N6(x0),f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x) 则称∫(xo)是∫的一个极小(大)值,x0称为∫的一个极小(大)值点 例如函数|x1,x2以及x3都在点x0=0达到极小值 函数1-x2,cosx都在点x0=0达到极大值 定理:(费马原理)设∫在点x0达到极值,若∫(x0)存在,则必有 证明:用反证法,若∫(x0)≠0,不妨设∫(x0)>0,由 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (The Applications Derivative of function) 第八讲 微分中值定理 阅读： 第 4 章 4.1 pp.80—88, 预习: 第 4 章 4.2 pp.89—95, 第 4 章 4.3: 96--111 练习 pp88--89 习题 4.1: 1 至 4; 5, (1); 8, (1),(2); 9,(2); 10 ,(2),(4). 作业 pp88--89 习题 4.1: 5, (2); 8, (3),(4); 9,(1); 10 ,(1),(3). 重要通知: (1) 第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(I)小测验: 测验内容为罗比塔法则及以前的知识； 测验方式：计算机考试，时间一小时。 每班具体考试时间下周考前通知。 (2) 请每位同学务必在下周星期二以前，到网上 (网址为: info. Emathc . edu . cn ) 阅读机考说明，并试做摸拟试卷。 4-1 增量分析与微分中值定理 4-1-1 函数局部性态的导数描述 定义 设 f : D → R, 若 N (x0 ) D 0 x , 使得: ( ) 0 x N x , ( ) ( ) 0 f x f x ( ( ) ( ) 0 f x f x ), 则称 ( ) 0 f x 是 f 的一个极小(大)值, 0 x 称为 f 的一个极小(大)值点. 例如,函数 | x | , 2 x 以及 3 2 x 都在点 x0 = 0 达到极小值; 函数 2 1− x , cos x 都在点 x0 = 0 达到极大值. 定理: (费马原理)设 f 在点 0 x 达到极值, 若 ( ) 0 f x 存在, 则必有 f (x0 ) = 0 . 证明: 用反证法，若 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 , 由
第四章导数的应用 lim /(xo+Ax)-/(xo) f(x0)>0 Ax→0 可知,彐N2(x),使得 x∈N(x)x)f(x0+△)-f(x>0 即,Ax>0→f(x+△x)-f(x0)>0, △x<0→f(x0+△x)-f(x0)<0 这与∫在点x0达到极值是矛盾的。所以必然是f(x0)=0 如果∫(x0)=0,则称x0是函数∫的一个驻点 上述指出:函数∫在点x0达到极值的必要条件是 x0是函数∫的一个驻点但驻点不是达到极值的充分条件 例如考察函数f(x)=x,显然f'(0)=0,因此x0=0是这个函 数的一个驻点但是x0=0不是f(x)=x3的极值点 若y=f(x)在x0可导,则它在x0附近的增减性可以描述如下: (1)y=f(x)在xo取极值→f(x0)=0 (2)f(x0)>0→3δ>0,Vx∈N2(x0)f(x)↑ (3)f(x0)<0→3δ>0,x∈N(x)f(x) 但这只是局部性质,由得不到直接的全局性质。比如,据此要证明: 在一个区间上导数恒为零的函数是常数,都很困难 41-2函数区间性态的导数描述微分中值定理 定理(洛尔定理)设∫(x)在闭区间[a,b连续,在开区间(a,b)可 导,并且满足f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得∫(5)=0 证明 如果∫(x)在区间[a,b]恒等于常数,则结论成立 若∫(x)在区间[a,b]不为常数.则必有5∈(a,b),使 f()是f(x)在[a,6]上的最大值 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) 0 ( ) ( ) lim 0 0 0 0 = + − → f x x f x x f x x 可知， ( ) 0 N x , 使得 x N (x0 )\ x0 , 0 ( ) ( ) 0 0 + − x f x x f x , 即， x 0 f (x0 + x) − f (x0 ) 0 , x 0 f (x0 + x) − f (x0 ) 0. 这与 f 在点 0 x 达到极值是矛盾的。所以必然是 f (x0 ) = 0 . 如果 ( ) 0 f x = 0, 则称 0 x 是函数 f 的一个 驻点. 上述指出：函数 f 在点 0 x 达到极值的必要条件是: 0 x 是函数 f 的一个驻点. 但驻点不是达到极值的充分条件. 例如考察函数 3 f (x) = x , 显然 f (0) = 0 ,因此 x0 = 0 是这个函 数的一个驻点.但是 x0 = 0 不是 3 f (x) = x 的极值点. 若 y = f (x) 在 0 x 可导，则它在 0 x 附近的增减性可以描述如下： (1) y = f (x) 在 0 x 取极值 ( ) 0 f x =0 (2) f (x0 ) 0 0,x N (x0 ), f (x) (3) f (x0 ) 0 0,x N (x0 ), f (x) 但这只是局部性质，由得不到直接的全局性质。比如，据此要证明： 在一个区间上导数恒为零的函数是常数，都很困难！ 4-1-2 函数区间性态的导数描述 微分中值定理 定理 (洛尔定理) 设 f (x) 在闭区间 [a,b] 连续,在开区间 (a, b) 可 导,并且满足 f (a) = f (b),则存在 (a, b),使得 f () = 0 . 证明: ⚫ 如果 f (x) 在区间 [a,b] 恒等于常数,则结论成立. ⚫ 若 f (x) 在区间 [a,b] 不为常数. 则必有 (a, b) , 使 f ( ) 是 f (x) 在 [a,b] 上的最大值
第四章导数的应用 因为,根据连续函数的最大最小值定理,存在ξ,n∈[a,b],使 得f(x)在,7分别达到它在区间上的最大值和最小值.由于 f(a)=f(b)以及f(x)不为常数,,7之中至少有一个不是 区间[a,b]的端点不妨设ξ∈(a,b)f(5)是f(x)在[a,b] 上的最大值,由于在(a,b)内部所以f(2)是f(x)的极大 值.5是f(x)的一个驻点,即f(2)=0证毕 注洛尔定理的几何意义是:假定曲线y=f(x)(a≤x≤b)两个 端点的连线AB是水平的(其中A=(a,f(a),B=(b,f(b),如过曲 线(端点可以除外)处处有切线那么至少有一点的切线是水平的 定理(拉格朗日定理)设∫(x)在闭区间[a,b连续,在开区间(a,b) 可导,则存在ξ∈(a,b),使得 f"(2)= f(b)-f(a) 6-a 证明:引进辅助函数以利用罗尔定理:令 p(x)=f(x)-(x-a) f(6-f(a 则φ(x)闭区间[ab]连续在开区间(a,b)可导, 并且φ(a)=q(b),于是由洛尔定理推出存在: 5∈(a,b)满足φ'()=0,即f(5) f(b)-f(a 注1:拉格朗日定理经常写成如下形式 f(b-f(a=((b-a) 或 f(xo +Ar)=f(xo +6Ar)Ar 其中0<6<1 注2:拉格朗日定理的几何意义是 假定曲线y=f(x)(a≤x≤b)在任意一点有切线,则存在 ∈(a,b),使得曲线在点(,f()的切线平行与曲线两个端点的连 线AB(其中A=(a,f(a)),B=(b,f(b) 定理(柯西中值定理)设函数f(x),g(x)在[a,b]连续,在(a,b) 可导,并且g(x)≠0.则存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)f(s) g(b)-g(a)g'(5) 证明:由g(x)≠0可以推出g(b)-g(a)=g'(n)(b-a)≠0 构造辅助函数 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 因为，根据连续函数的最大最小值定理, 存在 , [a, b] ,使 得 f (x) 在 , 分别达到它在区间上的最大值和最小值. 由于 f (a) = f (b) 以及 f (x) 不为常数, , 之中至少有一个不是 区间 [a,b] 的端点,不妨设 (a, b). f ( ) 是 f (x) 在 [a,b] 上的最大值,由于 在 (a, b) 内部,所以 f ( ) 是 f (x) 的极大 值. 是 f (x) 的一个驻点, 即 f () = 0 .证毕. 注:洛尔定理的几何意义是: 假定曲线 y = f (x) (a x b) 两个 端点的连线 AB 是水平的(其中 A = (a, f (a)) , B = (b, f (b)) ,如过曲 线(端点可以除外)处处有切线,那么至少有一点的切线是水平的. 定理(拉格朗日定理) 设 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导, 则存在 (a, b),使得 b a f b f a f − − = ( ) ( ) () 证明: 引进辅助函数以利用罗尔定理：令 b a f b f a x f x x a − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则 (x) 闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导, 并且 (a) = (b),于是由洛尔定理推出存在： (a, b),满足 ( ) = 0 ,即 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 。 注 1: 拉格朗日定理经常写成如下形式: f (b) − f (a) = f ( )(b − a) , 或 f (x + x) = f (x + x)x 0 0 其中 0 1. 注 2: 拉格朗日定理的几何意义是: 假 定 曲 线 y = f (x) (a x b) 在 任 意 一 点 有 切 线 , 则存在 (a, b),使得曲线在点 ( , f ( )) 的切线平行与曲线两个端点的连 线 AB (其中 A = (a, f (a)) , B = (b, f (b)). 定理（柯西中值定理）:设函数 f (x) ，g(x) 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，并且 g (x) 0.则存在 (a, b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f g b g a f b f a = − − 证明：由 g (x) 0 可以推出 g(b) − g(a) = g ()(b − a) 0. 构造辅助函数
第四章导数的应用 ox)=/(x)、(b)-f(a) lg(x)-g(al g(b)-ga 容易验证φ(x)在在[a,b]连续,在(a,b)可导,并且满足 qp(a)=p(b)。于是由洛尔定理推出存在∈(a,b),使得q'()=0, 由此就得到定理结论 柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理 中,取g(x)=x,就可得到拉格朗日定理 41-3微分中值定理的应用举例 微分中值定理包括洛尔定理,拉格朗日定理和柯西定理。有些时 侯微分中值定理单指拉格朗日定理。 例1:若在[a,b]中,∫'(x)≡0,证明:f(x)在[a,b]中是常数 证明:x∈(a,b),f(x)-f(a)=f(5x-a)=0 例2:证明f(x)的任意两个零点之间至少存在f(x)的一个零点 证明:设∫(x1)=f(x2)=0(x1<x2),则根据洛尔定理 存在5∈(x1,x2),满足f(5)=0 推而广之有:设f(x)有n阶导数.如果存在x1<x2<…<xn<xn+1 使得f(x1)=f(x2)=f(xn)=f(xn+1),则 存在5∈(x1,xn+1),满足f("(2)=0 例3:证明:f(x)在[a,b]中有n+1个零点→ f"(x)在其上至少有一个零点 f(x)在ab]中无零点→ f(x)在其上至多有k个零点 例4求证方程ex-x2-2x-1=0恰好有三个不同实根 证明首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上: 记f(x)=e2-x2-2x-1,计算得到 f(-2)=--1<0,f(-1)=->0, f(2)=e2-9<0,f(3)=e3-18>0 由连续函数的介值定理推出,f(x)至少有三个不同零点 其次证明因为∫"(x)=e>0,方程∫(x)=0至多有三个不 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a x f x − − − = − 容易验证 (x) 在 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，并且满足 (a) = (b) 。于是由洛尔定理推出存在 (a, b) ，使得 ( ) = 0 ， 由此就得到定理结论。 柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理 中，取 g(x) = x ，就可得到拉格朗日定理。 4-1-3 微分中值定理的应用举例 微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理。有些时 侯微分中值定理单指拉格朗日定理。 例 1: 若在 [a,b] 中, f (x) 0, 证明: f (x) 在 [a,b] 中是常数. 证明：x (a,b), f (x) − f (a) = f ( )(x − a) = 0 例 2: 证明 f (x) 的任意两个零点之间至少存在 f (x) 的一个零点. 证明: 设 ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 1 2 f x = f x = x x , 则根据洛尔定理, 存在 ( , ) 1 2 x x ,满足 f () = 0 . 推而广之有：设 f (x) 有 n 阶导数. 如果存在 1 2 n n+1 x x x x , 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = 2 = n = n+1 f x f x f x f x , 则 存在 ( , ) 1 n+1 x x , 满足 ( ) 0 ( ) = n f . 例 3: 证明: f (x) 在 [a,b] 中有 n +1 个零点 ( ) ( ) f x n 在其上至少有一个零点。 ( ) ( ) f x k 在 [a,b] 中无零点 f (x) 在其上至多有 k 个零点。 例 4: 求证方程 2 1 0 2 e − x − x − = x 恰好有三个不同实根. 证明: 首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上： 记 ( ) 2 1 2 f x = e − x − x − x ，计算得到 0, 1 1 0, ( 1) 1 (−2) = − − = e f e f (2) 9 0 , (3) 18 0 2 3 f = e − f = e − . 由连续函数的介值定理推出， f (x) 至少有三个不同零点。 其次证明: 因为 ( ) = 0 x f x e , 方程 f (x) = 0 至多有三个不
第四章导数的应用 同实根。 例5:设函数∫(x)在[a,b连续,在(a,b)可导,则 imf(x)=A(有限或无穷)→f(a)=A 证明:f(a)=lm f(x)-f(a)=mf(,)=4 这说明:(1)在求导数时,若lmf(x)=A(有限或无穷) 则在x0点的导数值是导函数∫(x)的极限值 (2)若导函数f(x)在(a,b)上有定义,则它不可能有 第一类间断点。 例:f(x) S 0 2xSin--COs-,x≠0 f(x)= 例6:证明:Vx∈0, 丌2 x≤snx≤x 2 证明:(1)证vx∈0,x,snx≤x,为此设辅助函数 f(x)=x-smx.则 f(0)=0;f(x)=1-cox≥0 f(x)=f(x)-f(0)='E).xsx (2)证vx∈0 x≤snx,为此设辅助函数 2 g(x)=2x-snx.则 /(0)=0:f(x)=2 cos x 22 设辅助函数h(x) 0,Vx∈0 z 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 同实根。 例 5: 设函数 f (x) 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，则 lim f (x) A(有限或无穷) x a = → + f + (a) = A. 证明： x a f x f a f a x a − − = + → + ( ) ( ) ( ) lim = lim ( ) x x a f → + =A . 这说明：(1) 在求导数时，若 lim ( ) ( ) 0 f x A 有限或无穷 x x = → , 则在 0 x 点的导数值是导函数 f (x) 的极限值; (2) 若导函数 f (x) 在 (a,b) 上有定义，则它不可能有 第一类间断点。 例： = = 0, 0 , 0 1 ( ) 2 x x x x Sin f x , = − = 0, 0 , 0 1 1 2 ( ) x x x Cos x xSin f x , 例 6: 证明： x x x x sin 2 , 2 0, 证明: (1) 证 x x x , sin 2 0, , 为此设辅助函数: f (x) = x −sin x . 则 f (0) = 0 ; f (x) =1− cos x 0 f (x) = f (x)− f (0) = f () x x . (2) 证 x x sin x 2 , 2 0, , 为此设辅助函数: g(x) x sin x 2 = − . 则 f (0) = 0 ; f (x) cos x 2 = − . ???? 设辅助函数 ( ) x x h x 2 sin = − . 0 2 = h , 2 0, x