第四章导数的应用 第十一讲台劳( Taylor)公式 阅读:第4章44,pp.11-121 预习: 练习pp121-122习题44:1至2;3,(1),(3);5,(1) 作业pp121-122习题44:3,(4,(5),6);5,(2 pp.122-123:第4章补充题:1;3;5:9;12;15,(3);17 机考安排: 1,地点:学校开放实验室,(主楼地下室); 2,时间:第九周星期六下午。 3,各班时间安排: 注意与上次公布的不一样!以这次为准! ●14:00--15:00,13:30入场 班级:环21-23,共三个班 15:30--16:30,15:00入场: 斑级:自21--自27共七个班;建环2,文2,新闻2, 医学2,软件2,及其他所有上谭泽光老师课的同学 4,注意事项: 第九周星期二以后,可在网上浏览机考说明及做模拟题,以熟悉考试规 则,请第一次参加机考的同学务必在考前抽空上网。 网址:info. Mathe.edu.cn 不带书本、书包、纸张入场,场上统一发草稿纸 检查你的上机卡中的钱够不够一小时上机费用 考前分发密码, 在网站:info. Mathe.edu.cn上按密码进入打开试题 助教答疑时间地点: 班级助教姓名 时间 上课地点 自21一自22 自23—自24 张靖 星期三(5) 新水300 自25—自26 四教4102 自27,医学23 陈明 星期三(6) 环23;建环2 张李军 星期四(5) 四教4305 2,新闻2, 其他班级及重王强 星期四(5) 文科楼206 修同学 4-4台劳( Taylor)公式 44-1多项式逼近、台劳公式 函数在一点的台劳公式 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 第十一讲 台劳(Taylor)公式 阅读：第 4 章 4.4, pp.113—121 预习: 练习 pp121--122 习题 4.4: 1 至 2; 3, (1),(3); 5, (1). 作业 pp121--122 习题 4.4: 3, (4),(5),(6); 5, (2). pp.122---123: 第 4 章补充题: 1; 3; 5; 9; 12; 15, (3); 17. 机考安排： 1, 地点：学校开放实验室，(主楼地下室); 2, 时间：第九周星期六下午。 3, 各班时间安排： 注意与上次公布的不一样！以这次为准！！ ⚫ 14:00----15:00, 13:30 入场: 班级: 环 21—23, 共三个班 ⚫ 15:30----16:30, 15:00 入场: 班级: 自 21-----自 27 共七个班; 建环 2, 文 2, 新闻 2, 医学 2 , 软件 2, 及其他所有上谭泽光老师课的同学. 4, 注意事项： ⚫ 第九周星期二以后，可在网上浏览机考说明及做模拟题, 以熟悉考试规 则，请第一次参加机考的同学务必在考前抽空上网。 网址：info. Emathc. edu. cn ⚫ 不带书本、书包、纸张入场, 场上统一发草稿纸; ⚫ 检查你的上机卡中的钱够不够一小时上机费用！ ⚫ 考前分发密码， 在网站：info. Emathc. edu. cn 上按密码进入打开试题 ⚫ 助教答疑时间地点： 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自 21—自 22 自 23—自 24 张 靖 星期三(5) 新水 300 2 自 25—自 26, 自 27, 医学 23 陈 明 星期三(6) 四教 4102 3 环 21—22; 环 23; 建环 2 张李军 星期四(5) 四教 4305 4 文 2, 新闻 2, 其他班级及重 修同学 王 强 星期四(5) 文科楼 206 4-4 台劳(Taylor)公式 4-4-1 多项式逼近、台劳公式 一 函数在一点的台劳公式
第四章导数的应用 (1)引理 A)若f(x)在x0的0至n阶导数均为零时,则f(x)=o(x-x0) B)若f(x)在N(x0)n+1阶可导,且在xo的0至n阶导数均为零时, 则35∈N6(x0),f(x) (x-x0) n+1) 证明:反复利用柯西中值定理可得,但最后一次利用导数定义: A)-f(x)=(x f(1)-f(x0) (x-x0 Ix-x 6 -oaes xo Mo limf(x) f-(n)-f(m-(x0) =lm (x-x)0n1(m-x) =-fo(xo)=0 B)一直反复利用柯西中值定理可得 f(x)f(x)-f(x0)f(51)-f(x0) (n+1)51-x0 )-f(o(xo) f(m+(5) 0(+ (x-x0) (2)台劳多项式: 若函数Pn(x)是次多项式,且在x点的函数值及1至n阶导数值 己知为:(x)k=01…,n,其中f0(x0)=f(x)则这个多项 式是 Pn(x)=f(x0)+f(x0Xx-x0)+f"(x0)xx0)2+…+ f((x-xo) (x-x) 这个结果可以直接验证 如果函数f(x)在x0点阶可导,且0至n阶导数值为: 的)k=01…,n,其中f(x)=f(x).今用这些导数值构成 多项式, x)∑(-xy 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (1) 引理 : A) 若 f (x) 在 0 x 的0至 n 阶导数均为零时 , 则 f (x) = ( ) n o (x x ) − 0 ; B) 若 f (x) 在 ( ) 0 N x n +1 阶可导, 且在 0 x 的0至 n 阶导数均为零时, 则 ( ) 0 N x , f (x) = 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f . 证明：反复利用柯西中值定理可得，但最后一次利用导数定义： A) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 0 0 0 − − − = − − − = − n n n− n x f f x x x f x f x x x f x = = ( ) ( ) 1 0 1 1 ! ( ) n x f n n n − = − − − ( ) n x x x x f x 0 ( ) lim 0 − → = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ! 1 ! ( ) ( ) lim 0 ( ) 1 0 0 1 1 1 0 = = − − − − − − → f x n x n f f x n n n n n x x . B) 一直反复利用柯西中值定理可得 ( ) ( ) ( 1)( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 + − − − = − − − = − n+ n+ n− n x f f x x x f x f x x x f x == = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) 1 ! 0 ( ) ( ) 1 0 0 + = + − − − = + n f n x f f x n n n n n , f (x) = 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f . (2) 台劳多项式: 若函数 p (x) n 是次多项式, 且在 0 x 点的函数值及1至 n 阶导数值 己知为： ( ) f (x ) k n k , 0,1, , 0 = , 其中 ( ) ( ) 0 0 (0) f x = f x . 则这个多项 式是： = + − + ( )( − ) +... + 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 p x f x f x x x f x x x n n n f x x x n ( )( ) ! 1 0 0 ( ) + − = ( ) ( ) ( ) = − n k k k x x k f x 0 0 0 ! . 这个结果可以直接验证。 如果函数 f (x) 在 0 x 点阶可导，且 0 至 n 阶导数值为： ( ) f (x ) k n k , 0,1, , 0 = , 其中 ( ) ( ) 0 0 (0) f x = f x . 今用这些导数值构成 的次多项式, ( ) 0 T x, x n = ( ) ( ) ( ) = − n k k k x x k f x 0 0 0 !
第四章导数的应用 称为f(x)在点xo的n次台劳多项式 利用引理可得到台劳多项式Tn(x,x0)与函数f(x)之间的关系 (3)台劳公式: 定理:(带有皮亚诺余项的台劳公式)假定函数f(x)在点x0存在1到 n阶的各阶导数,则有: f(x) f k )+o((x-xor) 此式式称为带有皮亚诺( Piano)余项的台劳公式,其中o(x-x)”]为皮 亚诺余项 定理.2(带有拉格朗日余项的台劳公式)设函数f(x)在包含点x0 的某个区间(a,b)上存在n+1阶的导数,则对于任意的x∈(a,b)有 f(x)=∑ x0) fm+)() (n+1)! 其中占介于x与x0之间.此式称为带有拉格朗日余项的台劳公式,其中 f(n+s) (n+1(x-x0)+为拉格朗日余项 带有拉格朗日余项的台劳公式与带有皮亚诺余项的台劳公式相比较, 个是无限形式,一个是有限形,各有不同的用武之地 这两个定理只要设()=(x-2“6(x-xy,再直接 利用引理即得。 三一些常见函数的台劳公式 1e在点x0=0带有拉格朗日余项的台劳公式 由于(e)=e,所以有 c-是*+()1+2++++B( 其中Rn(x)= 2snx和cosx在点x0=0带有拉格朗日余项的台劳公式 因为(sinx))=sm(x+x),所以 0n=2k (sin x)n) n(丌) 2k-1 于是在点x0=0带有拉格朗日余项的台劳公式是 SInx= S- +R,n(x) =(2k-1 +R2,(x) 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 称为 f (x) 在点 0 x 的 n 次台劳多项式. 利用引理可得到台劳多项式 ( ) 0 T x, x n 与函数 f (x) 之间的关系, (3) 台劳公式: 定理:(带有皮亚诺余项的台劳公式)假定函数 f (x) 在点 0 x 存在1到 n 阶的各阶导数,则有: ( ) ( ) ( ) (( ) ) = = − + − n k k n k x x o x x k f x f x 0 0 0 0 ! ( ) . 此式式称为带有皮亚诺(Piano)余项的台劳公式, 其中 [( ) ] 0 n o x −x 为皮 亚诺余项. 定理7.2 (带有拉格朗日余项的台劳公式)设函数 f (x) 在包含点 0 x 的某个区间 (a,b) 上存在 n+1 阶的导数，则对于任意的 x(a,b) 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − + = − + n k n n k k x x n f x x k f x f x 0 1 0 1 0 0 ! ( 1)! ( ) , 其中 介于 x 与 0 x 之间．此式称为带有拉格朗日余项的台劳公式,其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 为拉格朗日余项. 带有拉格朗日余项的台劳公式与带有皮亚诺余项的台劳公式相比较, 一个是无限形式，一个是有限形，各有不同的用武之地。 这两个定理只要设 r(x) = ( ) ( ) ( ) = − − n k k k x x k f x f x 0 0 0 ! ( ) , 再直接 利用引理即得。 三 一些常见函数的台劳公式 1 x e 在点 x0= 0 带有拉格朗日余项的台劳公式 由于 ( ) ( ) x n x e = e , 所以有 ( ) ! 1 0 x R x k e n n k x k = + = = ( ) ! ... 2! 1 2 R x n x x x n n + + + + + 其中 1 ( 1)! ( ) + + = n n x n e R x 2 sin x 和 cos x 在点 x0= 0 带有拉格朗日余项的台劳公式 因为 ) 2 (sin ) sin( ( ) k x x k = + ,所以 − = − = = = = − ( 1) , 2 1 0 , 2 ) 2 (sin ) sin( 0 1 ( ) n k n n k x k x n 于是在点 x0= 0 带有拉格朗日余项的台劳公式是 ( ) ( ) ( ) 2 1 ! 1 sin 2 1 2 1 1 x R x k x n n k k k + − − = = − − = ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! 2 2n-1 1 3 5 R x n x x x x n n + − − + − + − −
第四章导数的应用 其中R2n(x)=xsm(5+nx)x 类似的推导可以得到 (-1) R2n+1(x) 其中 R 2n+1 cos(c+ (2n+1) 2 3(1+x)“(a为任意实数)在点x=0带有格朗日余项的台劳公式 因为[(+x)2]=a(1+x)2-1,, [(+x)2]=a(a-1)(a-n+1)+x)2-n 所以 d(a-1) n (k) +R,(x) a(a-1) a(a-1).(a-n+1) x”+Rn(x) 其中(x)0-D.(a-n+1) (1+5)nx (n+1)! 特别是: =∑(-1)x2+o(x 1+x如 (-1)y (2k) x") 2+∑(-y (2k-1) (2k x+o(x"); 其中:0=1,(2k)=24…(2k),(2k-1)=13…(2k-1) 4l(1+x)在点x0=0带有拉格朗日余项的台劳公式 由于[(1+x)= 1+x (1+x) h(+x)=∑ ( +R,(x) k n+1 其中 Rn(x)=(-1) l)(1+5) 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 其中 n n n x n R x 2 2 sin( ) (2 )! 1 ( ) = + 类似的推导可以得到 ( ) ( ) ( ) 2 ! 1 cos 2 1 0 2 1 x R x k x n n k k k + = − + − = = ( ) (2 )! ... ( 1) 2! 4! 1 2 1 2 4 2n R x n x x x n k − + − + − + + 其中 2 1 2 1 ) 2 2 1 cos( (2 1)! 1 ( ) + + + + + = n n x n n R x 3 (1+ x) ( 为任意实数) 在点 x0= 0 带有格朗日余项的台劳公式 因为 1 [(1 ) ] (1 ) − + = + x x ,……, n n x n x − + = − − + + [(1 ) ] ( 1)( 1)(1 ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( 1) 1 0 x R x k n x n n k k + − − + + = = = ( ) 2! ( 1)...( 1) ... 2! ( 1) 1 2 x R x n x x n n + − − + + + − + + 其中 1 1 (1 ) ( 1)! ( 1)...( 1) ( ) − − + + + − − + = n n n x n n R x . 特别是： = −1, ( 1) ( ) 1 1 0 n n k k k x o x x = − + + = ; 2 1 = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 3 !! 1 2 1 1 2 1 n n k k k x o x k x k x + − + = + + − = − ; 2 −1 = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 1 !! 1 2 1 1 1 2 n n k k k x o x k x k x + − = − + − + = ; 其中: 0!=1, (2k)!!= 2 4(2k), (2k −1)!!=13(2k −1) 4 ln(1+ x) 在点 x0= 0 带有拉格朗日余项的台劳公式 由于 x x + + = 1 1 [ln(1 )] ,……, n n n x n x (1 ) ( 1) ( 1)! [ln(1 )] 1 ( ) + − − + = − , ( ) ( ) ( ) ! 1 ln 1 1 1 x R x k x n n k k k + − + = = − = ... ( 1) ( ) 2 1 2 R x n x x x n n n − + + − + − 其中 1 1 ( 1)(1 ) ( ) ( 1) + + + + = − n n n n n x R x
第四章导数的应用 五个基本函数在x0=0点的Tay1or公式 k! (2)smx=>(y 2k-1 ox (2k-1) (-) sinx= (2k-1) sin(s+nT)x (3)coS x (-) (2k) 2n+1 COSx= (2k)(2n+1) os(5+ (h(+x)=∑广x+0x) In( (-1) (-1) (n+1)1+5) ()+xy=-)(a -n+1) (k) x"+o(x") (1+x) a(-(a=n+1)k+ (k) a(a-1).(a-n+1 (1+2)mx 特别是: 1+ =∑+1)x2+o(x") (-)-0x2+o(x) 1-+∑(-1) (2k-1) +o(x") k=2 (2 例1:分别写出函数f(x)=x3hx在点x=0与x=1的2阶和3阶 台劳公式 解(1)f(x)=xhnx在点x=1的3阶台劳公式 f(x=xInx,f()=0 f(x)=3x2hx+x2,f(l)=1 f"(x)=6xhx+5x,yf"(1) f"(x)=6hx+11,f"(1)=11 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 五个基本函数在 x0 = 0 点的Taylor公式： (1) ( ) ! 1 0 n n k x k x o x k e = + = ( ) 1 0 ! 1 ! 1 + = + = + n n k x k x n e x k e (2) ( ) ( ) ( ) n n k k k x o x k x 2 1 2 1 1 2 1 ! 1 sin + − − = = − − ( ) ( ) = − − − − = n k k k x k x 1 2 1 1 2 1 ! 1 sin + n n x n 2 sin( ) (2 )! 1 + (3) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 1 2 ! 1 cos + = − + − = n n k k k x o x k x ( ) ( ) = − − = n k k k x k x 0 2 1 2 ! 1 cos + 2 1 ) 2 2 1 cos( (2 1)! 1 + + + + n x n n (4) ( ) ( ) ( ) ! 1 ln 1 1 1 n n k k k x o x k x + − + = = − ( ) ( ) = − − + = n k k k x k x 1 1 ! 1 ln 1 + 1 1 ( 1)(1 ) ( 1) + + + + − n n n n x (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( 1) 1 0 n n k k x o x k n x + − − + + = = ( ) ( ) ( ) + − − + + = = n k k x k n x 0 ! 1 ( 1) 1 + 1 1 (1 ) ( 1)! ( 1)...( 1) − − + + + − − + n n x n n . 特别是： = −1, ( 1) ( ) 1 1 0 n n k k k x o x x = − + + = ; 2 1 = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 3 !! 1 2 1 1 2 1 n n k k k x o x k x k x + − + = + + − = − ; 2 −1 = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 1 !! 1 2 1 1 1 2 n n k k k x o x k x k x + − = − + − + = ; 例 1: 分别写出函数 f (x) x ln x 3 = 在点 x = 0 与 x =1 的 2 阶和 3 阶 台劳公式. 解(1) f (x) x ln x 3 = 在点 x =1 的 3 阶台劳公式. ( ) ln , (1) 0 3 f x =x x f = ( ) 3 ln , (1) 1 2 2 f x = x x +x f = f (x) = 6x ln x + 5x, f (1) = 5 f (x) = 6 ln x +11, f (1) =11