第四章导数的应用 第十讲函数图形及极值问题 阅读:第4章43,pp.96-11 预习:第4章44,pp.113-121 练习ppl-113习题43:1至3;4,(1)(3);5,(1),(2);8,(1),(3) 9,(1);10;13,(1),(3);14,(1);15,(1);16;17;20,(1) 作业pp1-113习题.3:4,(2),(4);5,(1,(2);6;7;8,(2)(4) 9,(2),(3);11;12;;13,(2),(4);14,(2);15,(2),(3);18;20,(2),(4) 机考安排: 1,地点:学校开放实验室,(主楼地下室); 2,时间:第九周星期六下午 3,各班时间安排: 14:00--15:00,13:40入场: 班级:自21-自26共六个班 15:30-16:30,15:10入场 班级:自27,环21-23,建环2,文2,新闻2, 医学2,软件2,及其他同学 4,注意事项 不带书本、纸张入场,场上发草稿纸 考前分发密码 在网站:info. Mathe.edu.cm上按密码进入打开试题 斑级助教姓名 时间 上课地点 自21一自22 自23—自24 星期三(5) 新水300 自25—自26, 自27,医学23 陈明 星期三(6) 四教4102 环23;建环2 张李军 星期四(5) 四教4305 2,新闻2, 4其他班级及重王强 星期四(5) 文科楼206 修同学 43函数的图形与极值 4-3-1用导数分析函数图形:增减、凸凹、渐近趋势 (A)函数单调性研究 定理:设∫(x)在闭区间[a,b]连续在开区间(a,b)可导则 (1)如果g(x)也在[a,b]连续,在(a,b)可导,且∫(x)≡g(x) 则存在常数C,是f(x)≡g(x)+c (2)如果有∫(x)≥0(∫(x)≤0),则∫(x)在[a,b]单调. 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 第十讲 函数图形及极值问题 阅读： 第 4 章 4.3, pp.96—111, 预习: 第 4 章 4.4, pp.113—121 练习 pp111--113 习题 4.3: 1 至 3; 4, (1),(3); 5, (1),(2); 8, (1),(3); 9, (1); 10; 13, (1), (3); 14, (1); 15, (1); 16; 17; 20, (1). 作业 pp111--113 习题 4.3: 4, (2),(4); 5, (1),(2); 6; 7; 8, (2),(4); 9, (2),(3); 11; 12; ; 13, (2), (4); 14, (2); 15, (2),(3); 18; 20, (2),(4). 机考安排： 1, 地点：学校开放实验室，(主楼地下室); 2, 时间：第九周星期六下午。 3, 各班时间安排： ⚫ 14:00----15:00, 13:40 入场: 班级: 自 21-----自 26 共六个班 ⚫ 15:30----16:30, 15:10 入场: 班级: 自 27, 环 21—23, 建环 2, 文 2, 新闻 2, 医学 2 , 软件 2, 及其他同学 4, 注意事项： ⚫ 不带书本、纸张入场, 场上发草稿纸; ⚫ 考前分发密码， 在网站：info. Emathc. edu. cn 上按密码进入打开试题 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自 21—自 22 自 23—自 24 张 靖 星期三(5) 新水 300 2 自 25—自 26, 自 27, 医学 23 陈 明 星期三(6) 四教 4102 3 环 21—22; 环 23; 建环 2 张李军 星期四(5) 四教 4305 4 文 2, 新闻 2, 其他班级及重 修同学 王 强 星期四(5) 文科楼 206 4-3 函数的图形与极值 4-3-1 用导数分析函数图形：增减、凸凹、渐近趋势 (A) 函数单调性研究 定理: 设 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导,则: (1) 如果 g(x) 也在 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,且 f (x) g(x) , 则存在常数 c ,是 f (x) g(x) + c . (2) 如果有 f (x) 0 ( f (x) 0 ),则 f (x) 在 [a, b] 单调
第四章导数的应用 (3)如果有∫(x)>0(f(x)<0),则f(x)在[a,b]严格单调 (4)如果f(x)在[a,b]单调,则在区间[a,b]处处有 f∫'(x)≥0(f(x)≤0) 证明 (1)f(x)=g(x)→((x)-g(x)=0→f(x)-g(x)=常数, 即存在常数c,使f(x)≡g(x)+c (2)f(x)≥0→x1,x2∈[a,b],设x1<x2,存在介于x1和x2 之间的5,满足 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)→f(x2)-f(x1)≥0 (3)假定∫(x)在区间[ab]单调非减,Vx0∈(a,b), 当x>x0时,因为∫(x)单调非减,所以f(x)≥f(xo),因此 f(x)-f(o)>0=f(ro)=lim f(x)-f(x0) 0 例1:设f(x)在(-∞,+∞)有二阶导数并且f"(x)=≡0,求证 f(x)是一次函数 证明:(f(x)’=∫"(x)≡0→存在常数a,使得f(x)=a f"(x)-ax=(f'(x)-a)=0→存在b使得f(x)=ax+b 例2:求证当x>0时恒有x-x2<h(1+x) 证明:研究函数f(x)=l(1+x)-x+x2,我们有 f(x)=,-1+x,f"(x)=1- 当x>0,f”(x) <0→∫'(x)在[0,+∞)单调增 (1+x)2 f(x)↑及∫(0)=0,→当x>0时,f(x)>0→f(x)↑ 即,当x>0时,恒有x-x2<h(1+x) 例3:求证对于任意x>0,都有h(1+-)<~1 x x(x+1) 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (3) 如果有 f (x) 0 ( f (x) 0 ),则 f (x) 在 [a, b] 严格单调. (4) 如果 f (x) 在 [a, b] 单调,则在区间 [a, b] 处处有 f (x) 0 ( f (x) 0 ). 证明: (1) f (x) g(x) ( ( ) ( )) 0 f x − g x f (x) − g(x) 常数, 即存在常数 c ,使 f (x) g(x) + c . (2) f (x) 0 x1 ,x2 [a, b] ,设 1 2 x x , 存在介于 1 2 x 和 x 之间的 ,满足 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f x − x f (x2 ) − f (x1 ) 0 (3) 假定 f (x) 在区间 [a, b] 单调非减, ( , ) x0 a b , 当 0 x x 时, 因为 f (x) 单调非减, 所以 ( ) ( ) 0 f x f x ,因此 0 ( ) ( ) 0 0 − − x x f x f x 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 − − = → + + x x f x f x f x x x . 例 1: 设 f (x) 在 (−,+) 有二阶导数,并且 f (x) 0 ,求证 f (x) 是一次函数. 证明: ( f (x)) = f (x) 0 存在常数 a ,使得 f (x) = a . ( ) ( ( ) ) 0 f x − ax = f x − a 存在 b 使得 f (x) = ax + b. 例 2: 求证当 x 0 时恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x + x . 证明: 研究函数 2 2 1 f (x) = ln(1+ x) − x + x , 我们有 x x f x − + + = 1 1 1 ( ) , 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x + = − 当 x 0, 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x + = − 0 f (x) 在 [0,+) 单调增. f (x) 及 f (0) = 0 , 当 x 0 时, f (x) 0 f (x) . 即，当 x 0 时, 恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x + x . 例 3 : 求证对于任意 x 0,都有 ( 1) 1 ) 1 ln (1 2 + + x x x
四章导数的应用 证明:设t=-,不等式变成:Vt>0 >h(1+1) (法一)设/1)s、12 1+ hn2(1+1),今要证:Ⅵt>0,f(1)>0. 今要证:Vt>0,f()>0 f(0)=0,f()= 1+t 其中:g( 2hn(1+ g0)=0 g( 2+2t+t22t2 f(0)=0 f(x)=g() f(x)≥0 法二)设f()=1-√1+th(1+1),今要证:Ⅵt>0,f()>0 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 证明: 设 x t 1 = , 不等式变成： t 0, ln (1 ) 1 2 2 t t t + + (法 一) 设 ln (1 ) 1 ( ) 2 2 t t t f t − + + = , 今要证: t 0, f (t) 0 . 今要证: t 0, f (t) 0 . f (0) = 0, ( ) ( ) g(t) t t t t t t f t + = + + − + + = 1 1 1 2ln 1 1 2 ( ) 2 2 , 其中： ( ) ( t) t t t g t − + + + = 2ln 1 1 2 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 2 + = + − + + + = = g t t t t t t t g t g ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 + = = f x g t t f x f (法二) 设 f (t) = t − 1+ t ln(1+ t) , 今要证: t 0, f (t) 0 . 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1
四章导数的应用 f(1)=1- 1+t2√1+t n.(2+-2-h(+)=,g(0, 其中,g()=2√+t-2-h(+1) 因g(0)=0.,g(x) >0→g()>0 (方法三)把不等式变成:t>0, √+1~如(1+1) 设f(1) l(1+1),今要证:Vt>0,f(t)>0 f()=1+/2 1+t|>0 因为: √1+t|-0=1+ 2 2 +F0 (B)函数的凸性 在研究函数∫(x)图形时,仅仅知道其增减性是不够的,还有一个曲 线的凸凹问题 定义设∫:[a→R,如果x1,x2∈[a,b,不等式 f(1x1+A2x2)≤A1f(x1)+2f(x2) 对任意两个满足A1+A2=1,的非负实数A1和A2成立.则称\在区间 [a,b]是下凸或称为凸的,其几何意义是,曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上 如果f(1x1+2x2)≥A1f(x1)+2f(x2) 则称飞在区间[a,b]上凸的,或称为凹的 凸函数有如下重要性质: (1)1在区间[a,b]是下凸的,则Vx1,x2,…,xn∈[a,b],以及满足 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( t) t t f t + + − + = − ln 1 2 1 1 1 1 ( ) 1 , ( ( )) ( ) 2 1 1 2 1 2 ln 1 2 1 1 g t t t t t + + − − + = + = , 其中， g(t) = 2 1+ t − 2 − ln(1+ t), 因 0 1 1 1 1 (0) 0, ( ) + − + = = t t g g x g(t) 0 . (方法三) 把不等式变成： t 0, ln(1 ) 1 t t t + + . 设 ln(1 ) 1 ( ) t t t f t − + + = , 今要证: t 0, f (t) 0 . ( ) ( ) + − + + = + − + + = t t t t t t f t 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 3 3 >0 因为： 0 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 + = − − = + − + + − + = t t t t t t (B) 函数的凸性 在研究函数 f (x) 图形时，仅仅知道其增减性是不够的, 还有一个曲 线的凸凹问题. 定义 设 f :[a,b] → R ,如果 , [ , ] x1 x2 a b , 不等式 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f x + x f x + f x 对任意两个满足 1 + 2 =1, 的非负实数 1 和 2 成立. 则称 f 在区间 [a, b] 是下凸或称为凸的; 其几何意义是，曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上。 如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f x + x f x + f x 则称 f 在区间 [a, b] 上凸的, 或称为凹的. 凸函数有如下重要性质： (1) f 在区间 [a, b] 是下凸的, 则 n x , x , ,x 1 2 [a,b],以及满足
第四章导数的应用 +入2+…+n=1的n个非负数A1,2,…n(称为凸组合) 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合,即 λ1f(x,) 证明:利用数学归纳法。 (2)(用一阶导数判定函数的凸性) 设函数∫在区间[a,b]连续在(a,b)可导则1在区间[a,b]下凸 的充分必要条件是f(x)在区间[a,b]单调增加 证:Vx1∈[a,b],i=1,2,3 且x1<x2<x y=f(x/ fxn (x a I y (axu x=人x1+LD 3 证必要性:f是凸的→f(x2)≤4f(x1)+(x3) f(x2)-f(x)≤((x3)-f(x1) f(x2)-f(x)f(x3)-f(x1) x-x ∫是凸的→f(x2)≤4f(x1)+y(x) →f(x3)-f(x2)≥A((x3)-f(x1) (x)-/(x2)2/(x)-/(x) f(x)-f(x2)、f(x)-f(x1)、f(x2)-f(x1) 分别让x2→>x3和x2→x1,得 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 1 + 2 ++ n =1 的 n 个非负数 n , , , 1 2 (称为凸组合), 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即 = = n i i i n i i i f x f x 1 1 ( ) . 证明：利用数学归纳法。 (2) (用一阶导数判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 f 在区间 [a, b] 下凸 的充分必要条件是 f (x) 在区间 [a, b] 单调增加. 证： x [a,b] i , i = 1,2,3 , 且 1 2 3 x x x . 令 3 1 3 2 x x x x − − = , = − − − = 1 3 1 2 1 x x x x . 则 2 1 3 x = x + x . 证必要性： f 是凸的 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x f x + f x ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 1 3 1 f x − f x f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 2 1 2 1 x x f x f x x x f x f x − − − − f 是凸的 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x f x + f x ( ) ( ) ( ( ) ( )) 3 2 3 1 f x − f x f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x x x f x f x − − − − − − , 分别让 2 3 x → x 和 2 1 x → x , 得: y y=f(x) f(x1) f(x3) f(x2) a x1 x2 x3 b x