v=40· (9) 3.确定刚碰完后，A,B,C三球组成的系统质心的位置和速度.由于碰撞时间极短， 刚碰后A，B，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以(x，)表 示此时质心的坐标，根据质心的定义，有 x=ml cosa-ml (10) 3m ml sina = (11) 3m 代入数据，得 e=一 (12) 61. (13) 根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度的分量为 mv1+mv2 cos0-mv3 cosa (14) 3m 一mw2sin0-mw3sina Ver= (15) 3m 由(4)~(7)和(14)，(15)各式及a值可得 Vc=0, (16) 5 Vey=- 120. (17) 4.讨论碰后A,B,C三球组成的系统的质心和D球的运动.刚碰后A,B,C三 球组成的系统的质心将从坐标(x。=一I/6，=V31/6)处出发，沿y轴负方向以大小 为50/12的速度做匀速直线运动：而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为 %/4的速度做匀速直线运动.A,B,C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只 要D球与C球不发生碰撞，则沁，D不变，质心与D球之间的距离逐渐减少.到y坐标 相同处时，它们相距最近.用1表示所求的时间，则有 vI=ye Vey I (18) 将'ey,v,的值代入，得 (19) 4v0 此时，D球与A,B,C三球组成系统的质心两者相距1/6，在求出(19)式的过程 中，假设了在1=V31/4o时间内C球未与D球发生碰撞.下面说明此假设是正确的： 因为v3=o/3,它在x方向分量的大小为V3o/6.经过1时间，它沿x轴负方向经
6 v = 1 4 v0 ． （9） 3．确定刚碰完后，A ，B ，C 三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短， 刚碰后 A ，B ，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表 示此时质心的坐标，根据质心的定义，有 xc = ml cosα－ml 3m ， （10） yc = ml sinα 3m ． （11） 代入数据，得 xc = － 1 6 l ， （12） yc = 3 6 l ． （13） 根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度 vc的分量为 vcx = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα 3m ， （14） vcy = －mv2 sinθ－mv3sinα 3m ． （15） 由（4）～（7）和（14），（15）各式及 α 值可得 vcx = 0 ， （16） vcy = － 5 12v0 ． （17） 4．讨论碰后 A ，B ，C 三球组成的系统的质心和 D 球的运动．刚碰后 A ，B ，C 三 球组成的系统的质心将从坐标（xc = －l / 6 ，yc = 3l / 6）处出发，沿 y 轴负方向以大小 为 5 v0 / 12 的速度做匀速直线运动；而 D 球则从坐标原点 O 出发，沿 y 轴正方向以大小为 v0 / 4 的速度做匀速直线运动．A ，B ，C 三球组成系统的质心与 D 球是平行反向运动，只 要 D 球与 C 球不发生碰撞，则 vC ，vD不变，质心与 D 球之间的距离逐渐减少．到 y 坐标 相同处时，它们相距最近．用 t 表示所求的时间，则有 vt = yc + vcy t （18） 将 vcy ，v ，yc的值代入，得 t = 3l 4v0 ． （19） 此时，D 球与 A ，B ，C 三球组成系统的质心两者相距 l / 6 ．在求出（19）式的过程 中，假设了在 t = 3l / 4v0 时间内 C 球未与 D 球发生碰撞．下面说明此假设是正确的； 因为 v3 = 3v0 / 3 ，它在 x 方向分量的大小为 3v0 / 6．经过 t 时间，它沿 x 轴负方向经
过的距离为I/8·而C球的起始位置的x坐标为I/2·经1时间后，C球尚未到达y轴， 不会与D球相碰. 二 从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船 以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后， 仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨 道.此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的 S海 距离可视为不变，仍为日地距离.飞船在地球 绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E 、b 表示两轨道的交点，如图1所示.图中半径为 Ve rc的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位 图1 于圆心.设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点. 由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半 长轴a应与日地距离rsc相等，即有 a=Ise (1) 根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2α，由此可以断定，两轨道的 交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q(即椭圆的中心)的连线垂 直于椭圆的长轴.由△ESQ,可以求出半短轴 b=rse-(a-SPy (2) 由(1)，(2)两式，并将a=re=1AU,SP=0.01AU代入，得 b=0.141AU. (3) 在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒 的.设飞船在E点的速度为ⅴ，在近日点的速度为。，飞船的质量为m,太阳的质量为 M,则有 mva sing =myp Sp (4) 式中O为速度v的方向与E,S两点连线间的夹角： sing=b (5) 由机械能守恒，得 >
7 过的距离为 l / 8 ．而 C 球的起始位置的 x 坐标为 l / 2 ．经 t 时间后，C 球尚未到达 y 轴， 不会与 D 球相碰． 二、 从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船 以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后， 仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨 道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的 距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球 绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用 E 表示两轨道的交点，如图 1 所示．图中半径为 rse的圆 A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳 S 位 于圆心．设椭圆 B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点． 由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半 长轴 a 应与日地距离 rse相等，即有 a = rse （1） 根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为 2a ，由此可以断定，两轨道的 交点 E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点 Q（即椭圆的中心）的连线垂 直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴 b = r 2 se－ ( a － SP ) 2 ． （2） 由（1），（2）两式，并将 a = rse = 1AU ，SP = 0.01 AU 代入，得 b = 0.141AU ． （3） 在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒 的．设飞船在 E 点的速度为 v ，在近日点的速度为 vp ，飞船的质量为 m ，太阳的质量为 Ms ，则有 mva sinθ = mvp SP ， （4） 式中 θ 为速度 v 的方向与 E ，S 两点连线间的夹角： sinθ = b a ． （5） 由机械能守恒，得 A rse P v ve B 图 1