笫四章 Hankel范数模型逼近理论 交换积分次序可得 TIGu, y) "()/BeA"(-uC" y(t)dtd v(r)在整个时间轴上都有定义.特别地,当T>0时v(r)≠0.但由于u(r)∈C2(-∞,0),U(r)在r>0 时的值对积分无影响.若定义 (Ic,y)(t)=Ⅱ-v(t) Be-A(-rC"y(r)dr,t 则(reu,y)={u,re.y)Yu(t)∈C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞) 422‖R-Q‖的一个下界 由 Hankel算子和算子范数的定义,可得 (t)y(t)dt (417) (t)u(t) di 式中v(t)=(Icu)(t).上式中的范数rc‖叫做G的 Hankel范数对于传递函数矩阵G,将|rl‖记 为‖CH|.显然,‖·‖r并不满足范数的条件(i),因为当G.∈咒时,即使G≠0,vu(s)∈ (Gu)(s)∈%2.于是rcu)(s)=0.所以,‖·|a只是半范数( seiml-norm).只有把G限制在咒a上时, G|a才成为范数.由定理4.1容易证明 rc‖,‖ra.‖=|rd‖,‖rcl‖2=|ra.I 用 Hankel范数可以容易地给出‖R-ρ‖s的一个下界。考虑一块问题 引理4 IR-Qlloo 这里R,Q∈咒H.于是R-Q,∈RC.记G=R-Q,,由定理4.2 p{Gu|g:u∈C2,lll=1} p{|Gu|2:u∈H2,‖l=1 ≥sup{|In2Gu|:u∈2,‖ll=1} 这就是所需的结果 (419)式给出了一块问题的一个下界.若能证明存在Qp∈R∞使(419)中的等号成立,则‖fln 就是可达到的下确界,Q。p即最优解 8423 Hankel范数的计算 前一小节的分析说明, Hankel范数的计算是解化。控制问题的一个关键。本节将给出 Hankel范数 的解析计算公式 定理43令(A,B,C)是稳定的传递函数矩阵G的一个最小实现, BBe dt 则‖rd‖=√人ma(P·Q),这里λmx()是矩阵的最大特征值
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 证明:直接按式(417)计算|‖并不容易。为此,我们从 Hankel算子的物理意义出发,分三步进行计 算 第一步:设u(t)∈C2(-∞,0),计算y(t)=(rau)(t)及‖y(t)|2 因为考虑的仅仅是u(t)的作用,可设a(-∞)=0.在反因果输入u(t)的作用下,a(0)=mo.由于 u(t)=0,t>0,系统的输出为 y(t)=(TGu)(t)=Ce-At t>0 由y(t)可算得 ly(t)2=Jo yr(t)y(t)dt Q eAtC"Ce At dt 则‖y(t∥=Qa0.由于A稳定,(C,A)完全可观测,Q>0.Q满足 Ly apunov方程 AQ+QA+CC=0 第二步:求将系统的状态由 0转移至a(0)=o,且能量最小的反因果输入信号u(t) 个问题等价于在限制条件 a= Ae+ Bu 下解优化问题 u (t)u(t)di 做变量置换:r=-t,v(r)=u(-t),p(r)=(-t),则上述问题等价于求解优化问题 v"(T)u(r)dr p(r)=-Ap(r)-Bu(r 这是取状态p(r)的加权阵为0输入(7)的加权阵为I的LQ问题。应用LQ理论,可得topt(r)=BXp(r), 其中X是ARE XA-AX-XBB X=0 的镇定解,即-(A+ BB X)Hurwitz稳定 由于(A,B)可控,(A,B)的可控性 Gramianp,即 Lyapunov方程 AP+ PA+BB=0 4.24 的解可逆。于是有 且-(A+BBP-1)=PAP-1稳定。这意味着X=P-1是(423)的解。从而问题(42)的解是 意,uopt(t)是以状态反馈的形式给出的。如果能让时光倒流,则由于闭环系统的状态矩阵A+BBP-1 PAP-1反稳定,无论a(0)为何值,都有a(-∞)=0.但时光显然不能倒流,而我们的任务是把a(-∞) 转移至x(0)=0.此时需将uop(t)改写成开环控制的形式 uopt(t)=B" P-l(t)=B"P-e(A+BBP)*zo= B" P-le-PAP'ao=Be-4tP-lzo (4.26)
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 于是 min llu()l2=llop(t)l2=aoP-xo 第三步。求|rel 由o的任意性可得 这就是所需的结果 自共轭算子IG,rG是C2(-∞,0)到C2(-∞,0)的一个映射。于是可以定义其特征值和特征向量 定义4.6若存在非零向量u;(t)∈C2(-∞,0)和实数λ;使 成立,则称λ是算子IG.IG的一个特征值,u;(t)是(属于λ的)特征向量 下面我们将求出rG.IG的所有非零特征值及其特征向量 给定常向量xo.定义u(t)=B"e-4"P-1ro,t<0,则定理4.3证明的第二步说明,u(t)∈C2(-∞,0) 且当G的输入为u(t)时,m(0)=x0.由于t>0时u(t)≡0 y(t)=TGu(t)=C (428) 为确定rG.rG的特征值和特征向量,令v(t)=Ce4mo为共轭算子TG.的输入。则 TG. y(t) dt. t<0 (4.29) 由(428)和(4.29)可得 TGTGu(t)=B'e4P-PQao (4.30) 令 )(t)= Au(t) vt <0 B"e-AtQzo=XB"e-Atp-lzo vt<0 台→Be-4P-1[(MI-PQ)a]=0t< 由于(A,B)完全可控,上式又等价于(M-PQ)a0=0,即mo是PQ的右特征向量。于是,u(t)是rGIG 的特征向量,当且仅当PQx0=a2x0.即x是矩阵PQ的右特征向量。于是IG.IG的个特征向量为 u(t)=B"e-P-1m,其中;是矩阵PQ的右特征向量。‖rc.T‖是ra.Ta的最大特征值。 8424平衡实现与平衡截断 若(A,C)不可观测,则存在v≠0,使得 λI-A 若取xo=U,则由(421)可得 IQo+aoQAo+Caol →(X+入)a3Qao 上述分析表明,如果ao属于(A,C)的不可观测子空间,则由mo决定的零输入响应y(t)=0,→ yt)‖=0
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 如果(A,C)完全可观测,则对任何x0≠0,|y)=Qo≠0.但对不同的o,即使它们的范数 (大小)相同,相应的|y(t川2可能不同。如果对于|l‖=|l=1,有|y(t)川2>‖y(t川2,自然可以认 为x比m可观测性强 若(A,B)不可控,则存在U≠0,使得 U"[I-A B]=0f 若取0=U,则mo不可控。类似地可以证明cPco=0.换句话说,若要求a(0)=o,则需要反因果输 入信号u(t)的能量无限。对于可控对(A,B)来说,如果mPzo很小,则可认为o可控性差 对一般的状态空间表达式(A,B,C),其每个状态向量ao的可控性与可观测性的好与否是不一样 的。ao的可观测性也许好,但可控性也许很差。于是,我们要问,是否存在这么一种实现(Aba,B1a1,Cba) 其状态空间中任何向量:o的可观测性和可控性的好坏程度是一样,即所有的状态的可控和可观测性程度 都是一样的。我们称这种实现为平衡实现( Balanced realization) 定义47状态空间表达式(A,B,C)叫做G∈咒饥。的一个平衡实现,如果A渐近稳定,且存在正定对 满足 Lyapono方程 A∑+∑A+BB A∑+∑A+CC 这里a1≠02≠……≠σ,均为正数,T1+72+…T。=n.如果还有01>02>…>σs,则称(A,B,C)为有 序平衡实现 注意,平衡实现有三个含义:稳定性、最小性和(状态空间的可控、可观测性的)平衡性 下面的定理说明了如何把一个稳定的最小实现(A,B,C)通过线性变换转换成平衡实现 引理43设(A,B,C)是一稳定的最小实现 1.存在非奇异阵T使得(TAT-1,TB,CT-1)是平衡实现,这里T=∑-12UR-1,P=RR”是P的 个 Cholesky分解,R"QR=U∑2U·是矩阵R'QR的一个奇异值分解,P,Q分别是(A,B,C)的 可控性以及可观测性 gramian g.平衡实现在相差一个正交矩阵因子的意义下是唯一的,即如果∑是另一个平衡实现的可控可观测性 Gramian,则有∑=S∑S这里S"S=I.如果r1=r2 rs=1,则S为对角矩阵,其对角线元 素等于1或-1 证明: 如果P和Q满足关于(A,B,C)的两个 Lyapunov方程,则有 (TATTPT)+(TPT(TAT-(TB)(TB) (4.31) (TAT-4)(-QT-1)+(T-“QT-1*)(TAT-1)+(CT-)(CT-1)=0 于是,状态空间中的线性变换Ta(t=(t),对P和Q的影响是合同变换: P→TPTQ→(T-1)QT 在上述合同变换中令T=∑12U*R-1,则有 ∑-1/2URB-U∑2UR-1RU∑-1/2=∑
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 2.证唯一性。在线性变换S下 ∑→→SEs∑→→(S-1)∑S 由于变换后仍是平衡实现,必有∑=S∑S=(S-1)∑S-1.于是 ∑2=Ss·(S)-∑S ∑2S 最后一个式子说明S的列向量是∑2的右特征向量,即s;满足 (a2I-∑2) 由于σ;>0,0+∑非奇异。再由a2I-》2=(o;I+∑o-∑),得 (2I-∑2)s;=0÷(o-∑)s;=0∑s=S∑ 若存在S满足∑=S∑S,则必有∑=∑SS",于是SS=I 现在将∑进行分块 这里 ∑ 相应地,将(TAT-1,TB,CT-1)进行分块 aT TB=/B 这里dm1=dm1=-1r,为简便起见,我们仍用(A,B,C)来表示平衡实现(TAT-1,TB,CT-1) 引理44设(A,B,C)是平衡实现。称(A1,B1,C1)是它的一个平衡截断。则(A1,B1,C1)也是平衡实 证明:先证明(A1,B1)的可控性 gramian和(C1,A1)的可观测性 Gramian为同一个正定对角阵。(431) 等价为 A1A12 ∑10 A1 A2l BI A21A22 0∑ A12A22 B, Al A ∑10 A A2 A1 A12 这两个矩阵方程的(1,1)块分别为 11+∑1A1+B1B1 A111+∑1A1+C1C1 再证明稳定性。由定理B,只需证明(A1,B1,C1)是最小实现,则由∑1>0可知A1渐近稳定。用反 证法。设(A1,B1)不可控。则存在υ≠0,满足 [λI-A1B1]
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