①边界S上l为已知，若为导体l=常数为已知。②边界S上为已知，若是导体要给定总电荷Q，相当于器给onlsanls定(α=-f。 ds)。anl区域内边值关系由Q@ap法线方向π，i→janOn在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体上下边界条件为外边界条件。对于V内两介质分界面上opp=66jonanIs二、唯一性定理1．均匀单一介质当区域内p分布已知，满足2=-，若边界上l已知，或√边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。Onls2.介质分区均匀（不包含导体）V内p已知，V"g=-号成立，给定区域0l，或%anls6,opap在分界面上，ols，=,或s,=anon
① 边界 S 上 S 为已知，若为导体 S =常数为已知。 ② 边界 S 上 n S 为已知，若是导体要给定总电荷 Q，相当于 n S 给 定（ dS n Q S S = − ）。 区域内边值关系由 ij ij S i S = j = − − ij ij S i i S j j n n 法线方向 n ，i → j 在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域 V 内。导体上下边界条件为外边界条件。对于 V 内两介质分界面上 ij ij S i i S j j n n = 。 二、唯一性定理 1．均匀单一介质 当区域内 分布已知， 满足 = − 2 ，若 V 边界上 S 已知，或 V 边界上 n S 已知，则 V 内场（静电场）唯一确定。 2.介质分区均匀（不包含导体） V 内 已知， i = − 2 成立，给定区域 S 或 n S 在分界面上， ij ij S i S = j 或 ij ij S i i S j j n n = Q1 Q2
则V内场唯一确定。3.均匀单一介质中有导体导体中E=0，要求的是V'内的场。当和s，已知或，（，）为已知，则内onsonlsanls场唯一确定。Q, -fl, ds .anlss6唯一性定理的意义：（1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求E指明了方向。（2）具有十分重要的实用价值：无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解。若不满足，可以根据方程和边界条件加以修改。[例1]一不带电的孤立导体球，半径为R，位于均匀电场中，求电势函数。解：孤立导体球位于均匀电场中，球面必然出现感应电荷，相当于一些电偶极子对称地分布，激发电场。故球内电场为零。球外电场为两部分电场的叠加。建立球坐标系。设=+92
则 V 内场唯一确定。 3.均匀单一介质中有导体 导体中 E = 0 ，要求的是 V 内的场。 当 S 和 S1 ， 2 S 已知或 n S ，（ S1 n ， S2 n ）为已知，则 V 内 场唯一确定。 = − dS n Q Si i 。 唯一性定理的意义： （1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求 E 指明了方向。 （2）具有十分重要的实用价值：无论采用什么方法得到解，只要该 解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解 泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解。 若不满足，可以根据方程和边界条件加以修改。 [例 1]一不带电的孤立导体球，半径为 R，位于均匀电场 中，求电 势函数。 解：孤立导体球位于均匀电场中，球面必然出现感应电荷，相当于一 些电偶极子对称地分布，激发电场。故球内电场为零。球外电场为两 部分电场的叠加。 建立球坐标系。设 = +1 2 Q S S 1 2 3
其中β为外电场电势函数。为电偶极子产生的电势。kcose设=-Ercos，=r2=-Egrcos0+ kcosor边界条件为r→op=-Ercoser=R Φ=0将试探解代入边界条件可得k=E.R，=-EorcosO+E,R Cosr此解为满足拉普拉斯方程的解。由唯一性定理，必为唯一正确的解。试探法解题的基本步骤：1）对称性分析；2）建立合适的坐标系；3）写出场方程和边界条件；4）提出试探解；5）用边界条件确定试探解的形式。[例2]两种均匀介质（s,和s,）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。解：外边界为无穷远，电荷分布在有限远l。=0导体上Q给定，所以球外场唯一确定对称性分析：若6,=6，则9=（回到上例结果)。若882,4元R从直观看似乎β不再具有球对称性，而是具有轴对称。但是实际情况
其中 1 为外电场电势函数。 2 为电偶极子产生的电势。 设 1 0 = −E r cos ， 2 2 k cos r = 0 2 k cos E r cos r = − + 边界条件为 0 cos 0 r E r r R → = − = = 将试探解代入边界条件可得 3 0 k E R = ， 3 0 0 2 cos cos E r E R r = − + 此解为满足拉普拉斯方程的解。由唯一性定理，必为唯一正确的解。 试探法解题的基本步骤： 1）对称性分析； 2）建立合适的坐标系； 3）写出场方程和边界条件； 4）提出试探解； 5）用边界条件确定试探解的形式。 [例 2]两种均匀介质（ 1 和 2 ）充满空间，一半径 a 的带电 Q 导体球 放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。 解：外边界为无穷远，电荷分布在有限远 = 0 导体上 Q 给定，所以球外场唯一确定 对称性分析：若 1 2 = ，则 R Q 4 = （回到上例结果）。若 1 2 ， 从直观看似乎 不再具有球对称性，而是具有轴对称。但是实际情况
并非如此。由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点E,必然与E,重合，所以介质分界面上E=E2，而En=E2n=0。在介质分界面上：0+OP=n.(E, -E,)=E2n-Eu60=0=0所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上E，=E，，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。[0, =+d,VP,=0r设试探解：[0.=%+d.VP,=0r确定常数：r→0al.=0d, =d, =0在介质分界面上l, =p2ls.C, = C, =C002pds-ds: Q=-6162arrOr.SYJS=ds=-C2元+-ds+8,2元=2元(6 +2)c162aadSaQ:C=2元(8)+82)Q下半空间01 = 2 (6, +82)r
并非如此。由于无论在介质 1 还是介质 2，导体外表面电场均与表面 垂直，因此在 P 点 E1 必然与 E2 重合，所以介质分界面上 E1t = E2t ，而 E1n = E2n = 0。 在介质分界面上： 2 1 2 1 0 P n n n ( E E ) E E + = − = − 0 0 = = P 所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。 对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间 也具有对称性。而在介质分界面上 E1 E2 = ，所以可考虑球外电场仍具 有球对称性。 设试探解： = + = = + = 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 d r c d r c 确定常数： → = 0 1 = 2 = 0 r d d 在介质分界面上 1 S 2 S = ∴ c = c = c 1 2 ∵ = = − = − 1 2 2 2 1 1 S r a S r a dS r dS r Q a c a c a a c dS a c dS a c S S 2 2 2 ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 = + = + = + ∴ 2 ( ) 1 2 + = Q c r Q 2 ( ) 1 2 1 + = 下半空间