第二部分数学物理方程
第二部分 数学物理方程
第十二章数学物理方程 和定解条件 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十二章数学物理方程和定解条件 第1页 第十二章数学物理方程和定解条件 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程, 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程例如, ·静电势和引力势满足的 LaplacePoisson方程或方程 ·波的传播所满足的波动方程 ·热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ·连续介质力学中的Navier-StockesEuler-方程组和方程组 ·描写电磁场运动变化的 Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 SchrodingerDirac方程和方程 ·弹性力学中的 Saint-Venant-方程组 等等.这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程().所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程以后讨论这些方程的一般性质 及解法
第十二章 数学物理方程和定解条件 第 1 页 第十二章 数学物理方程和定解条件 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程， 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程．例如， • 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 • 波的传播所满足的波动方程 • 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 • 连续介质力学中的Navier–Stockes方程组和Euler方程组 • 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 • 作为微观物质运动基本规律的Schr¨odinger方程和Dirac方程 • 弹性力学中的Saint-Venant方程组 等等．这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组)．所以，本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程． 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程．以后讨论这些方程的一般性质 及解法．
12.1弦的横振动方程 §121弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上 作小振动.列出弦的横振动方程 图121 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dr的一小段(弦 ).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力——张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)z= dn (T cos 0)x+dz -(T cos O)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-a(x,t),与dx相 比是一个小量,即 Jau/ax<1 在小振动近似下, sinb≈tan6 略去了“的三级项 略去了一一的二级项 这样,就有 (T)x+dx-(T)x=0 (T)x 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 2=T(
§12.1 弦的横振动方程 第 2 页 §12.1 弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上 作小振动．列出弦的横振动方程． 图12.1 弦的横振动 tan θ1 = µ ∂u ∂x ¶ x , tan θ2 = µ ∂u ∂x ¶ x+dx 取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为x = 0与x = l． 设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点． 分析弦元受力：它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用． 因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力 张力T的作用，而没有法向应力．同 时，略去了重力的作用． 因此有 (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. 小振动近似：x+ dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+ dx, t)−u(x, t)，与dx相 比是一个小量，即 |∂u/∂x| ¿ 1. 在小振动近似下， sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x µ 略去了 ∂u ∂x的三级项 ¶ , cos θ ≈ 1 µ 略去了 ∂u ∂x的二级项 ¶ . 这样，就有 (T)x+dx − (T)x = 0 即 (T)x+dx = (T)x, 说明T不随x变化，弦中各点的张力相等．于是， ρdx ∂ 2u ∂t2 = T "µ ∂u ∂x¶ x+dx − µ ∂u ∂x¶ x # = T ∂ 2u ∂x2 dx
12.1弦的横振动方程 第3页 其中p是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 at a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds- dr du2tdr2-dx 所以,在准确到∂u/ar的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变 化.因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作 位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 a-u a1 Toady+fdr 因此 -- 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
§12.1 弦的横振动方程 第 3 页 即 ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量)．定义 a = r T ρ , 则方程可以写成 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a就是弦的振动传播速度． 还可以证明：在小振动近似下，张力T与t无关．这是因为弦元的伸长 ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + µ ∂u ∂x¶2 − 1 dx = O µ µ∂u ∂x¶2 ¶ , 所以，在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下，弦元的长度不随时间变 化．因此，按照Hooke定律，T也不随时间变化． 前面又已经证明过，T也不随x变化，所以T是一个常数． 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用，设单位长度所受的外力为f，则仿照 前面的推导，有 ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. 因此， ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , 其中的非齐次项f /ρ是单位质量所受的外力．