§122杆的纵振动方程 第4页 §122杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同 (a) 图122杆的纵振动应力与应变 ★如图12.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记 ★在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 ·通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 dm az=[P(a+dx, t)-P(a, t)S 若杆的密度为p,则dm=pdx:S a2u ap 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke定律,应力P与应变u/O成正比 比例系数E称为杆的 Young模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 a- 其中 E 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样.这一类方程统称为波动方程
§12.2 杆的纵振动方程 第 4 页 §12.2 杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作小振动．假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同． 图12.2 杆的纵振动 应力与应变 F 如图12.2，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记． F 在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)． F 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力： • 通过截面x，受到弹性力P(x, t)S的作用 • 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正． 因此，根据Newton第二定律，就得到 dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. 若杆的密度为ρ，则dm = ρ dx · S， ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . 如果略去垂直杆长方向的形变，根据Hooke定律，应力P与应变∂u/∂x成正比 P = E ∂u ∂x, 比例系数E称为杆的Young模量，它是一个物质常数．这样，就得到了杆的纵振动方程 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中 a = r E ρ . 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样．这一类方程统称为波动方程．
§122杆的纵振动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 u=0 ax2 ay 2a 称为 Laplace算符, vV即va=V·(Va)
§12.2 杆的纵振动方程 第 5 页 更一般地，在三维空间中的波动方程是 ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2 u = 0, 其中 ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 称为Laplace算符， ∇ 2 = ∇ · ∇ 即 ∇ 2 u = ∇ · (∇u)