第十四章分离变量法 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十四章分离变量法 第1页 第十四章分离变量法 偏微分方程定解问题的最常用解法,分离变量法 解常微分方程定解问题时,通常总是先求出微分方程的特解,由线性无关的特解 叠加出通解,而后用定解条件(例如初条件)定出叠加系数. 一阶线性偏微分方程的求解问题,基本的方法也是转化为一阶线性常微分方程组 的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题,情况有些不同:即使可以先求出偏 微分方程的通解,由于通解中含有待定函数,一般说来,难以直接根据定解条件 定出.为了求解偏微分方程的定解问题,就必须把求解步骤加以适当的修改
1oÙ © l C þ { 1 1 1oÙ © l C þ { ©§½)¯K~^){§©lCþ{© )~©§½)¯K§Ï~o´k¦Ñ©§A)§d5Ã'A) U\ÑÏ)§ ^½)^(~XÐ^)½ÑU\Xê© 5 ©§¦)¯K§Ä {´=z 5~©§| ¦)¯K© éu ±9p ©§½)¯K§¹k ØÓµ=¦±k¦Ñ ©§Ï)§duÏ)¥¹k½¼ê§`5§J±â½)^ ½Ñ© ¦) ©§½)¯K§Ò7Lr¦)Ú½\±·?U©
14.1两端固定弦的自由振动 第2页 14.1两端固定弦的自由振动 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 a+2 0<x<l,t>0, 0 0 t≥0 u=0=()mH|=(a),0≤x≤ 方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的 我们希望求得的特解具有分离变量的形式,即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方程,即得 等式两端除以X(x)T() 1T"(t)X"(x) 在这个等式中, 左端只是t的函数(换句话说,与x无关) 右端只是x的函数(换句话说,与t无关) 因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数.设为一λ,上面的 结果就可以化成 T"(t)+Ma2T(t)=0 "(x)+AX(x)=0. ★将u(x,t)代入边界条件,得 x(0)T(t)=0,X(D)T(t)=0. 这时必须有 x(0)=0,X()=0 这样就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的 第一步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)T(t) ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程
14.1 üà½ugdÄ 1 2 14.1 üà½ugdÄ ½)¯K Äl!üà½ugdħ§9½)^ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, u ¯ ¯ x=0 = 0, u ¯ ¯ x=l = 0, t ≥ 0, u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. §Ú>.^Ñ´àg§ Щ^´àg© ·F"¦A)äk©lCþ/ª§= u(x, t) = X(x)T(t). F òu(x, t)\§§= X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T(t). ªüàرX(x)T(t)§ 1 a 2 T 00(t) T(t) = X 00(x) X(x) . 3ù ª¥§ à´t¼ê (é{`§xÃ') mà´x¼ê (é{`§tÃ') Ïd§àÚmà §Ò7LÓ uQxÃ'!qtÃ'~ê©−λ§þ¡ (JÒ±z¤ T 00(t) + λa2 T(t) = 0, X 00(x) + λX(x) = 0. F òu(x, t)\>.^§ X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. ù7Lk X(0) = 0, X(l) = 0. ùÒ¤ ^©lCþ{¦) ©§½)¯K 1Úµ©lCþ F 8I ©lCþ/ª")u(x, t) = X(x)T(t) F (J ¼êX(x)÷v~©§Ú>.^±9T(t)÷v~©§
14.1两端固定弦的自由振动 第3页 条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常 数λ,定解条件是一对齐次边界条件.这样的定解问题不同于常微分方程的初值 问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的 非零解X(x) A的这些特定值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 [第二步:求解本征值问题 ★若λ=0,微分方程的通解是 (a)=Ao.T Be 代入边界条件 (0)=0,X(l)=0 就可以定出 这说明λ=0时微分方程只有零解.换句话说,入=0不是本征值 ★当入≠0时,常微分方程 x"(x)+AX(x)=0 的通解是 X(r) sIn 代入边界条件,就有 B=0. AsinVl=o 因为A≠0,故必有√A=n丌,即 本征值An= 1.2.3. 相应的本征函数就是
14.1 üà½ugdÄ 1 3 F ^ ©§Ú>.^Ñ´àg y3Ñy¼êX(x)~©§½)¯K§A:´µ©§¥¹k½~ ê맽)^´éàg>.^©ù½)¯KØÓu~©§Ð ¯K© ¿éu?Ûλ§ÑkQ÷vàg~©§!q÷vàg>.^" )© kλ, A½§âkQ÷vàg~©§!q÷vàg>.^ ")X(x)© λù A½¡ § A")¡ ¼ê© ¼êX(x)~©§½)¯K§¡ ¯K© 1Úµ¦) ¯K F eλ = 0§©§Ï)´ X(x) = A0x + B0. \>.^ X(0) = 0, X(l) = 0, Ò±½Ñ A0 = 0, B0 = 0. ù`²λ = 0©§k")©é{`§λ = 0Ø´ © F λ 6= 0§~©§ X 00(x) + λX(x) = 0 Ï)´ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, \>.^§Òk B = 0, A sin √ λl = 0. ÏA 6= 0§7k √ λl = nπ§= λn = ³nπ l ´2 , n = 1, 2, 3, · · · . A ¼êÒ´ Xn(x) = sin nπ l x.
14.1两端固定弦的自由振动 第4页 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值 和相应的本征函数都记为入n和Xn(x) 步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值λn,由方程 T"(t)+Ma2T(t)=0 可以求出相应的Tn(t), Tn(t)=Cn sin at+ Dn coat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 nT un(a, t)=(C at+Dn cos at (n=1,2,3,……) ★这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找 到常数Cn和Dn,满足 Dn sin ta=o(z), Cn[sin t-a= v(z) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐 次方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 (er,t)=2(Cn sin at+ Dn cos t -at)sin -, 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到 的u(x,t)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为一般解不只是满足 偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加系数Cn和Dn? sin I=o(r), ∑ Cn-tsin"x=(a)
14.1 üà½ugdÄ 1 4 ù¦ káõ§§±^ênIP§Ïd§3þ¡(J¥§r ÚA ¼êÑPλnÚXn(x)© 1nÚµ¦A)§¿U\Ñ) 3¦) ¯K§éuz λn§d§ T 00(t) + λa2 T(t) = 0 ±¦ÑATn(t)§ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. Ïd§Ò ÷v ©§Ú>.^A) un(x, t) = ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ùA)káõ F zA)Ñ÷vàg ©§Úàg>.^ F `5§üÕ?ÛA)ØUTÐ÷v½)¯K¥Ð©^§=Ã{é ~êCnÚDn§÷v Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ©§Ú>.^Ñ´àg§r§(?¿k)A)U\å5§E,´÷và g§Úàg>.^)©´ÄU÷vЩ^º F r ÜáõA)U\å5 u(x, t) = X∞ n=1 ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x, ?êäkv ÐÂñ5(~X§±Å¦ û)§@o§ù u(x, t)E,´àg ©§3àg>.^e)© ù«/ª)¡)©§ØÓu ©§Ï)§Ï)Ø´÷v ©§§ ÷vàg>.^ XÛÀJ)¥U\XêCnÚDnº X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>)