数学物理方法 第一部分 复变函数
Wu Chong-shi
第一讲解析函数 §1.1预备知识:复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则: 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) 乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b(0,1), a称为a的实部,b称为a的虚部, =Rea, b= Ima. ★复数相等:两复数的实部、虚部分别相等. 0 复数不能比较大小 ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b), 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果, (1,0)=1 ★特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1), i2=-1 所以,复数a又可以记为 a =a+ib. ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b)(0,0)=(0,0), 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果, (0,0)=0. ★复数共轭复数a*a-ib与a=a+ib互为共轭. (a)=a 共轭复数的乘积为实数 (a+ib)(a-ib)=a2+b2. ★复数减法复数加法的逆运算:
Wu Chong-shi §1.1 ✁✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 2 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕ §1.1 ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✪✫ ✬✭✮✯✭✰✱✲ (a, b) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ ✽✾ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✿✾ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✻❀❁✮✯✭✰✱✲ (a, b) ❂❃❄✮❅❆✲ α ✳❇❈ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ❀❈ α ❉ ✱❊✳ b ❀❈ α ❉❋❊ ✳ a = Re α, b = Im α. F ★✩●❍✼ ■ ❆✲❉ ✱❊❏❋ ❊❑▲▼◆❖ ❆✲P◗ ❘❙❚❯ ❱ F ❲❳❨★✩✼❩✩ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❬❭ (1, 0) ❪ ✭❫✱✲ 1 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (1, 0) = 1. F ❲❳❨★✩✼❝❞❡ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ❁❵❢❂❃❄❋❣❤ i = (0, 1) ✳ i 2 = −1. ✐❥✳ ❆✲ α ❦ ❬❥ ❇❈ α = a + i b. F ❲❳❨★✩✼ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❬❭ (0, 0) ❪ ✭❫✱✲ 0 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (0, 0) = 0. F ★✩❧♠ ❆✲ α ∗ ≡ a − i b ♥ α = a + i b ♦❈♣q❖ (α ∗ ) ∗ = α. ♣q❆✲❉ ✿r❈ ✱✲❖ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ★✩st ❆✲✽✾❉✉✸✹✼ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ★✩✈t ❆✲✿✾❉✉✸✹✼ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
81.2预备知识:复数的几何表示 一个复数可以用复平面上的一个点表示(见图1.1) .a(a, b) O. ·a"(a 图1.1复数a和a 复数a=a+ib还可以表示成复平面上的一个矢量(见图12) 图1.2矢量OP和OP代表同一个复数 这里的矢量是自由矢量:将一个矢量平移(例如将矢量的一个端点移到原点仍代表同一个 复数加法的几何意义:横坐标、纵坐标分别相加 复数加法满足平行四边形法则(或称为三角形法则 图1.3复数加法的平行四边形法则和三角形法则 图1.4复数减法的平行四边形法则和三角形法则 平行四边形法则(或三角形法则)也可以应用于复数相减a-B≡a+(-B): 1.将代表B的矢量反向(即表示一B),然后作加法 2.由B的终点指向a的终点作一矢量,即代表a-B
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 3 ✍ §1.2 ✖✗✘✙✚✛✜⑥⑦⑧⑨⑩ ✮❅❆✲❬❥❶❆❷❸❹❉ ✮❅❺❻❼ (❭❽ 1.1) ❖ ❾ 1.1 ❿➀ α ➁ α ∗ ❆✲ α = a + i b ➂ ❬❥❻❼➃❆❷❸❹❉ ✮❅➄➅ (❭❽ 1.2) ❖ ❾ 1.2 ➆➇ OP ➁ O0P 0 ➈➉➊➋➌❿➀ ❁➍❉➄➅➎ ➏➐➑➒ ✼➓✮❅➄➅❷➔ (→➣➓➄➅❉ ✮❅↔❺➔↕➙❺) ➛➜❻ ❴ ✮❅ ❆✲❖ ★✩➝t❨➞➟➠✫ ✼ ➡➢➤❏➥➢➤❑▲▼✽❖ ❆✲✽✾➦➧❷➨➩➫➭✾✻ (➯❀❈➲➳➭✾✻) ❖ ❾ 1.3 ❿➀➵➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❾ 1.4 ❿➀➘➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❷➨➩➫➭✾✻ (➯➲➳➭✾✻) ➴ ❬❥➷❶➬❆✲▼➮ α − β ≡ α + (−β) ✼ 1. ➓➜❻ β ❉ ➄➅➱ ✃ (❐ ❻❼ −β) ✳❒❮❰✽✾Ï 2. Ð β ❉Ñ❺Ò ✃ α ❉Ñ❺ ❰ ✮➄➅✳❐➜❻ α − β ❖
复数的极坐标表示 a=r(cos 0 +i sin 0) r,称为复数a的模和辐角 a, 0=arga +2x 显然 a=rcos e 复数0的模为0,辐角不定 图1.5复数的模和辐角及辐角的多值性 ★复数辐角的多值性:由于三角函数的周期性,所以一个复数的辐角不是唯一的,它还 可以加上2的任意整数倍 通常把(-兀,可之间的辐角值称为辐角的主值 极坐标表示下的复数运算 复数共轭 a"=r(cos 8-i sin 0) 复数乘法 a1=Ti(cos 81+i sin 01), 02=T2(cos B2+i sin B2) 于是 a1-a2=T1r2[(cos 01 cos 02-sin 01 sin 02) +i(sin 01 cos B2+ cos 01 sin 02)] r1r2cos(61+62)+isin(61+62) 两个复数相乘,就是它们的模相乘,辐角相加 复数除法 a1=102=ncos(61-2)+isin(61-62) 两个复数相除,就是它们的模相除,辐角相减 复数的指数表示:定义复指数函数 cos 0+i sin 6 且具有和实指数函数相同的性质 e(1+2) 则复数a又可以表示成 i e 指数表示形式下的复数乘法和除法 a1a2=r1e1,r2e12=r1r2e(e1+2)
Wu Chong-shi §1.2 ✁✂✄☎✆✝ÓÔÕÖ× ✌ 4 ✍ ★✩❨ØÙÚÛÜ✼ α = r(cos θ + i sin θ). r, θ ❀❈❆✲ α ❉Ý❫Þ➳✳ r = |α|, θ = arg α. ß ❒✳ a = r cos θ, b = r sin θ. ❆✲ 0 ❉Ý❈ 0 ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ❾ 1.5 ❿➀➺à➁á➹âá➹➺ãäå F ★✩æç❨èéê✼ Ð ➬ ➲➳ë✲ ❉ìíî✳✐❥ ✮❅❆✲❉ Þ ➳ P➎ï✮❉✳ð ➂ ❬❥✽❹ 2π ❉ñòó✲ô❖ õö÷ (−π, π] øù❉Þ ➳ú❀❈Þ ➳❉ûú❖ ØÙÚÛÜü❨★✩ýþ✼ ❆✲♣q α ∗ = r(cos θ − i sin θ). ❆✲✿✾ α1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1), α2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), ➬➎ α1 · α2 = r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2) = r1r2 [cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)] . ■ ❅❆✲▼✿✳❢➎ðÿ❉Ý▼✿✳ Þ ➳ ▼✽❖ ❆✲✾ α1 α2 = α1 · α ∗ 2 α2 · α ∗ 2 = r1 r2 [cos (θ1 − θ2) + i sin (θ1 − θ2)] . ■ ❅❆✲▼ ✳❢➎ðÿ❉Ý▼ ✳ Þ ➳ ▼➮❖ ★✩❨✁ ✩ ÛÜ✼ ❂❃❆Ò✲ë ✲ e i θ = cos θ + i sin θ, ✂ ❪ ✭❫✱Ò✲ë ✲▼❴❉î✄✼ e i θ1 · e i θ2 = ei (θ1+θ2) , ✻ ❆✲ α ❦ ❬❥❻❼➃ α = re i θ . Ò✲❻❼➭☎ ✶❉❆✲✿✾❫✾ ✼ α1 · α2 = r1e i θ1 · r2e i θ2 = r1r2e i (θ1+θ2) , α1 α2 = r1e i θ1 · 1 r2 e −i θ2 = r1 r2 e i (θ1−θ2) .
813复数序列 按照一定顺序排列的复数 zn=xn+iyn,n=1,2,3,…, 称为复数序列,记为{zan} 复数序列的性质和实数序列完全相同 一个复数序列完全等价于两个实数序列 聚点给定序列{zn},若存在复数z,对于任意给定的ε>0,恒有无穷多个zn满足 zn-2<ε,则称z为{zn}的一个聚点(或极限点) 个序列可以有不止一个聚点,例如序列 23456 2’3’4’5’6’7 就有两个聚点,±1 特别是,对于实数序列xn的聚点(也必然是实数),其中 数值最大的,称为{xn}的上极限,记为hmx; 数值最小的,称为{xn}的下极限,记为ixn 上面的序列中,±1就分别是它的上、下极限 有界序列和无界序列给定序列{zn},如果存在一个正数M,使对于所有的n,都有 zn|<M,则序列称为有界的;否则就是无界的 bolzano- Weierstrass定理个有界的无穷序列至少有一个聚点 极限给定序列{an},如果存在复数2,对于任意的ε>0,总能找到N()>0,使当 >N()时,有|zn-2<ε,则称{zn}收敛于z,记为 个序列的极限必然是序列的聚点,而且是唯一的聚点 序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件任意给定ε>0,存在正整数N(=)>0,使 对于任意正整数p,有 N 个无界序列不可能是收敛的
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 5 ✍ §1.3 ✛ ✜ ✆ ✝ ✞✟✮ ❂✠ ✰✡ ✷❉❆✲ zn = xn + i yn, n = 1, 2, 3, · · · , ❀❈❆✲✰✷✳❇❈ {zn} ❖ ❆✲✰✷❉î✄ ❫✱✲✰✷☛☞▼ ❴ ❖ ✮❅❆✲✰✷☛☞◆✌➬ ■ ❅✱✲✰✷ ❖ ✍✎ ✏ ❂ ✰ ✷ {zn} ✳✑✒✓❆✲ z ✳ ✯➬ ñò✏ ❂❉ ε > 0 ✳✔ ✭✕✖✗❅ zn ➦➧ |zn − z| < ε ✳✻❀ z ❈ {zn} ❉ ✮❅✘❺ (➯✙✚❺ ) ❖ ✮❅✰✷ ❬❥✭P✛✮❅✘❺ ✳→➣✰ ✷ 1 2 , − 2 3 , 3 4 , − 4 5 , 5 6 , − 6 7 , · · · ❢ ✭ ■ ❅✘❺ ✳ ±1 ❖ ✜▲➎✳ ✯➬✱✲✰✷ xn ❉ ✘❺ (➴✢❒ ➎✱✲) ✳✣ ✤ ✲ ú✥ ❚ ❉✳❀❈ {xn} ❉ ❹ ✙✚✳❇❈ limn→∞ xn Ï ✲ ú✥ ❯ ❉✳❀❈ {xn} ❉✶✙✚✳❇❈ lim n→∞ xn ❖ ❹❸❉ ✰ ✷ ✤✳ ±1 ❢ ❑▲➎ð ❉ ❹❏✶✙✚❖ ✦✧★✩✪✫✧★✩ ✏ ❂ ✰ ✷ {zn} ✳➣❜✒✓✮❅✬✲ M ✳✭ ✯➬✐✭ ❉ n ✳✮ ✭ |zn| < M ✳✻✰ ✷❀❈✭✯ ❉ Ï✰ ✻❢➎✕✯❉ ❖ Bolzano–Weierstrass ✪✱ ✮❅✭✯ ❉ ✕✖✰ ✷✲✳✭✮❅✘❺❖ Ø✴ ✏ ❂ ✰ ✷ {zn} ✳➣❜✒✓❆✲ z ✳ ✯➬ ñò❉ ε > 0 ✳✵ ◗✶↕ N(ε) > 0 ✳✭✷ n > N(ε) ✸✳ ✭ |zn − z| < ε ✳✻❀ {zn} ✹✺➬ z ✳❇❈ limn→∞ zn = z. ✮❅✰✷❉✙✚✢❒ ➎✰✷❉✘❺ ✳✻ ✂➎ï✮❉ ✘❺❖ ★✩Ø✴✼✽ (★✩✾✿) ❨ Cauchy ❀❁❂❃ ñò✏ ❂ ε > 0 ✳✒✓✬ ó ✲ N(ε) > 0 ✳✭ ✯➬ ñò✬ ó ✲ p ✳ ✭ |zN+p − zN | < ε. ✮❅✕✯✰ ✷ P❬◗➎✹✺❉ ❖