离散时间异质多智能体系统的一致性控制

工程科学学报，第38卷，第1期：143148,2016年1月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.1:143-148,January 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.01.019:http://journals.ustb.edu.cn 离散时间异质多智能体系统的一致性控制 刘 聪四，周强，胡晓光 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京100191 ☒通信作者，Email:liucong_09@126.com 摘要针对由一阶智能体和二阶智能体组成的离散异质多智能体系统，研究其一致性问题.设计无通信时延和具有有界 通信时延时的分布式一致性协议，通过将系统转化为自治的离散时间线性时不变系统，运用矩阵理论和代数图论方法，分析 得到系统实现一致性的充分条件.获得的充分条件与采样周期、控制参数和系统的拓扑结构有关.证明了系统的一致性不受 有界通信时延影响.数值仿真结果验证了理论结果的正确性 关键词异质系统：多智能体系统：离散时间系统：一致性；通信：时延 分类号TP11 Consensus control of discrete-time heterogeneous multi-agent systems LIU Cong,ZHOU Qiang,HU Xiao-guang School of Automation Science and Electrical Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China Corresponding author,E-mail:liucong_09@126.com ABSTRACT Consensus problems were investigated for discrete-time heterogeneous multi-agent systems composed of first-order a- gents and second-order agents.Distributed consensus protocols with and without the bound communication delay were respectively de- signed.By transforming the systems into autonomous discrete-time linear time-invariant systems and using the matrix theory and alge- braic graph theory,sufficient conditions are derived for the systems reaching consensus.The obtained sufficient conditions are related to the sampling period,the control parameter and the system topology structure.It is proved that the consensus of the systems is inde- pendent of the bound communication delay.Simulation results verify the correctness of the theoretical results. KEY WORDS heterogeneous systems;multi-agent systems:discrete time systems:consensus:communication:time delay 多智能体系统的一致性控制问题是多智能体协调 但是，上述文献中的研究都是针对同质系统的，即 控制中的关键问题.近年来，由于在机器人、传感器网 系统中的智能体具有相同的动态模型.但是，在实际 络、控制工程、飞行器姿态控制等领域的广泛应用，该 应用中，系统中的智能体往往是异质的，因此进行异质 问题引起各领域学者的广泛关注.目前，各国研究者 多智能体系统一致性控制问题的研究十分有意义.基 已对多智能体系统一致性控制问题进行了许多研 于以上考虑，Yi等回研究分数阶异质多智能体系统 究.例如，文献们基于频率域分析方法研究存在 的一致性问题，基于分数阶稳定性理论和克罗内克积 输入时延和通信时延时一阶离散多智能体系统的一致 技术，分析得到保证一致性的线性矩阵不等式充分条 性问题.文献]研究不一致时延和切换拓扑下二阶 件.Zheng等考虑了无向连通拓扑下的异质多智能 离散多智能体系统的一致性问题，取得系统状态一致 体系统的一致性问题，设计了线性一致性协议和考虑 的充分条件.文献]用拉普拉斯变换研究有向拓扑 饱和约束的一致性协议.在此基础上，Zheg等u进 和通信时延下多智能体系统的一致性，取得达到一致 一步研究在无法得到速度信息时的一致性问题，提出 性时系统的精确状态和允许的通信时延上界. 两种不同的一致性协议，取得一致性得以实现的充分 收稿日期：201503-12

工程科学学报，第 38 卷，第 1 期: 143--148，2016 年 1 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 1: 143--148，January 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 01． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 离散时间异质多智能体系统的一致性控制 刘 聪，周 强，胡晓光 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191  通信作者，E-mail: liucong_09@ 126． com 摘 要 针对由一阶智能体和二阶智能体组成的离散异质多智能体系统，研究其一致性问题． 设计无通信时延和具有有界 通信时延时的分布式一致性协议，通过将系统转化为自治的离散时间线性时不变系统，运用矩阵理论和代数图论方法，分析 得到系统实现一致性的充分条件． 获得的充分条件与采样周期、控制参数和系统的拓扑结构有关． 证明了系统的一致性不受 有界通信时延影响． 数值仿真结果验证了理论结果的正确性． 关键词 异质系统; 多智能体系统; 离散时间系统; 一致性; 通信; 时延 分类号 TP11 Consensus control of discrete-time heterogeneous multi-agent systems LIU Cong ，ZHOU Qiang，HU Xiao-guang School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China  Corresponding author，E-mail: liucong_09@ 126． com ABSTＲACT Consensus problems were investigated for discrete-time heterogeneous multi-agent systems composed of first-order a￾gents and second-order agents． Distributed consensus protocols with and without the bound communication delay were respectively de￾signed． By transforming the systems into autonomous discrete-time linear time-invariant systems and using the matrix theory and alge￾braic graph theory，sufficient conditions are derived for the systems reaching consensus． The obtained sufficient conditions are related to the sampling period，the control parameter and the system topology structure． It is proved that the consensus of the systems is inde￾pendent of the bound communication delay． Simulation results verify the correctness of the theoretical results． KEY WOＲDS heterogeneous systems; multi-agent systems; discrete time systems; consensus; communication; time delay 收稿日期: 2015--03--12 多智能体系统的一致性控制问题是多智能体协调 控制中的关键问题． 近年来，由于在机器人、传感器网 络、控制工程、飞行器姿态控制等领域的广泛应用，该 问题引起各领域学者的广泛关注． 目前，各国研究者 已对多智能体系统一致性控制问题进行了许多研 究［1--8］． 例如，文献［1］基于频率域分析方法研究存在 输入时延和通信时延时一阶离散多智能体系统的一致 性问题． 文献［2］研究不一致时延和切换拓扑下二阶 离散多智能体系统的一致性问题，取得系统状态一致 的充分条件． 文献［7］用拉普拉斯变换研究有向拓扑 和通信时延下多智能体系统的一致性，取得达到一致 性时系统的精确状态和允许的通信时延上界． 但是，上述文献中的研究都是针对同质系统的，即 系统中的智能体具有相同的动态模型． 但是，在实际 应用中，系统中的智能体往往是异质的，因此进行异质 多智能体系统一致性控制问题的研究十分有意义． 基 于以上考虑，Yin 等［9］研究分数阶异质多智能体系统 的一致性问题，基于分数阶稳定性理论和克罗内克积 技术，分析得到保证一致性的线性矩阵不等式充分条 件． Zheng 等［10］考虑了无向连通拓扑下的异质多智能 体系统的一致性问题，设计了线性一致性协议和考虑 饱和约束的一致性协议． 在此基础上，Zheng 等［11］进 一步研究在无法得到速度信息时的一致性问题，提出 两种不同的一致性协议，取得一致性得以实现的充分

·144 工程科学学报，第38卷，第1期 条件，并考虑同时存在输入约束时的一致性问题.L山 机矩阵且满足limm.Cm=l∫，f∈R为常向量，则矩 等四基于频率域分析方法研究异质系统的动态一致 C SIA (stochastic,indecomposable and aperiodic) 性问题.Tian和Zhang研究存在未知通信时延的异 矩阵 质系统的高阶一致性问题，取得实现高阶一致性的充 要条件.Sun和Zhu、Zheng和Wang研究一阶和 2问题描述 二阶混合异质系统的有限时间一致性问题， 记T>0为采样周期，k∈N,考虑由n个一阶和二 上述关于一阶和二阶混合异质系统的研究成果几 阶智能体组成的离散时间异质多智能体系统.二阶智 乎都局限在无向图和满足特殊平衡条件的有向图，而 能体的动态模型为 一般有向拓扑下一阶和二阶混合异质系统的研究更具 x:(k+1)=x,()+Ty,(), 有实际意义.基于以上分析，本文研究固定有向拓扑 (1) y,(k+1)=y(k)+Tu,(k) 下一阶和二阶混合离散异质系统在无通信时延和有通 式中，x,(k)∈eR'、y,(k)∈R和4(k)∈R分别是第 信时延时的一致性控制问题，在这两种情况下分别为 i∈.习={1,2，…，m}个二阶智能体的位置、速度和控 系统设计分布式的控制协议，基于矩阵分析和图论知 制输入.一阶智能体的动态模型为 识进行分析，得到与控制参数、采样周期和系统拓扑结 x,(k+1)=x,()+Tu:(k). (2) 构有关的一致性充分条件，且系统的一致性不受有界 式中，x,(k)∈R和u:(k)∈R分别是第i∈/= 通信时延影响. {m+1,m+2,…,n}个一阶智能体的位置和控制 1预备知识 输入. 不失一般性，令1=1.本文的目标是使系统(1)和 I.表示n×n的单位矩阵，1.(0)表示所有元素均 (2)在无通信时延和有通信时延这两种情况下的状态 为1(0)的n维列向量，0表示合适维数的零矩阵. 都能渐近达到一致，即在任何初始状态下都满足 令G=(V,E,A)表示一个加权有向图，含有n个 rm(x()-()=0,ij∈又： 顶点，其中V={,:i=1,2,…,n}为顶点集，ECV×V (3) 为有向边集，A=a,]∈R"x“为加权邻接矩阵，顶点索 lim(,(k)-t,(k)）=0,i,je习 引属于一个有限集={1,2，…，n}.记eg=(,)为 3 协议设计及分析 有向图G中一条从顶点出发到顶点：的有向边，顶 点v称为父顶点，顶点"，称为子顶点，与边e相关联 首先讨论理想情况（不存在通信时延）下系统的 的加权邻接矩阵A的元素a,称为边的权值，它是非负 致性问题 的，且规定a,>0当且仅当eg∈E,否则a=0.顶点： 为实现理想情况下系统(1)和(2)的一致性，对于 的邻居集定义为V:={U∈：e,∈E}. 系统中的二阶离散智能体，采用的一致性协议为 在有向图G中，一条有向路径是一个有限且有序 u,()=-am,()+∑a与(s()）-x(),ie又 的顶点序列，…，，其中相邻顶点满足(.）∈ (4) E,k=1,2,…,j-1.有向树是一个有向图，除了根顶 式中，>0为控制参数.对于系统中的一阶离散智能 点外，其中的每个顶点恰有一个父顶点，根顶点具有到 体，采用的一致性协议为 图中其余各个顶点的有向路径.一个有向图的生成树 是一棵有向树，它包括有向图所有的顶点和一些边. 4,(）=0,(因-，()，ie12(5) 图G的拉普拉斯矩阵定义为L=D-A,其中D= 将协议(4)和(5)分别代入系统(1)和(2)，并记x,()= diag{d,d2,…,dn}为对角阵，A为图G的邻接矩阵， (),x2(k),…,x.(日]T,y(k)=[(k),2(k), d=分gi=12…m显然有L1.=0 …,Dn（)]T,x,(k)=[x1(k),x。2(k),…, x(A]T,可得 引理1a 给定矩阵B=]∈R"满足bm≤0， x.(k+1)=x()+Ty,(), 6,≥0，Yi且∑bg=0,则矩阵B至少有一个零特 lv.(k+1)=-TLux.(k)+(1-aT)v.(k)-TLx;(k) 征值且非零特征值都具有负实部.当且仅当矩阵B对 (6) 应的有向图包含生成树，矩阵B仅有一个零特征值. 如果矩阵C=[c]eRx“的所有元素是非负的， x (k+1)=-TLax.(k)(I.-m-TLz)x (k) 则矩阵C是非负矩阵.若矩阵C为非负矩阵且其所有 (7) 行和都为1，则矩阵C为随机矩阵.如果矩阵C为随 式(6)和式(7)中，L1∈Rx、L2∈Rmxa-、L2∈

工程科学学报，第 38 卷，第 1 期 条件，并考虑同时存在输入约束时的一致性问题． Liu 等［12］基于频率域分析方法研究异质系统的动态一致 性问题． Tian 和 Zhang［13］研究存在未知通信时延的异 质系统的高阶一致性问题，取得实现高阶一致性的充 要条件． Sun 和 Zhu［14］、Zheng 和 Wang［15］研究一阶和 二阶混合异质系统的有限时间一致性问题． 上述关于一阶和二阶混合异质系统的研究成果几 乎都局限在无向图和满足特殊平衡条件的有向图，而 一般有向拓扑下一阶和二阶混合异质系统的研究更具 有实际意义． 基于以上分析，本文研究固定有向拓扑 下一阶和二阶混合离散异质系统在无通信时延和有通 信时延时的一致性控制问题，在这两种情况下分别为 系统设计分布式的控制协议，基于矩阵分析和图论知 识进行分析，得到与控制参数、采样周期和系统拓扑结 构有关的一致性充分条件，且系统的一致性不受有界 通信时延影响． 1 预备知识 In 表示 n × n 的单位矩阵，1n ( 0n ) 表示所有元素均 为 1( 0) 的 n 维列向量，0 表示合适维数的零矩阵． 令 G = ( V，E，A) 表示一个加权有向图，含有 n 个 顶点，其中 V = { vi : i = 1，2，…，n} 为顶点集，EV × V 为有向边集，A =［aij］∈Ｒn × n 为加权邻接矩阵，顶点索 引属于一个有限集 In = { 1，2，…，n} ． 记 eij = ( vi，vj ) 为 有向图 G 中一条从顶点 vj 出发到顶点 vi 的有向边，顶 点 vj 称为父顶点，顶点 vi 称为子顶点，与边 eij相关联 的加权邻接矩阵 A 的元素 aij称为边的权值，它是非负 的，且规定 aij ＞ 0 当且仅当 eij∈E，否则 aij = 0． 顶点 vi 的邻居集定义为 Ni = { vj∈V: eij∈E} ． 在有向图 G 中，一条有向路径是一个有限且有序 的顶点序列 vi1 ，vi2 ，…，vij ，其中相邻顶点满足( vi k ，vi k + 1 ) ∈ E，k = 1，2，…，j － 1． 有向树是一个有向图，除了根顶 点外，其中的每个顶点恰有一个父顶点，根顶点具有到 图中其余各个顶点的有向路径． 一个有向图的生成树 是一棵有向树，它包括有向图所有的顶点和一些边． 图 G 的拉普拉斯矩阵定义为 L = D － A，其中 D = diag{ d11，d22，…，dnn } 为对角阵，A 为图 G 的邻接矩阵， dii = ∑ n j = 1 aij，i = 1，2，…，n． 显然有 L 1n = 0n ． 引理 1 ［16］ 给定矩阵 B =［bij］∈Ｒn × n 满足 bii≤0， bij≥0，i≠j 且 ∑ n j = 1 bij = 0，则矩阵 B 至少有一个零特 征值且非零特征值都具有负实部． 当且仅当矩阵 B 对 应的有向图包含生成树，矩阵 B 仅有一个零特征值． 如果矩阵 C =［cij］∈Ｒn × n 的所有元素是非负的， 则矩阵 C 是非负矩阵． 若矩阵 C 为非负矩阵且其所有 行和都为 1，则矩阵 C 为随机矩阵． 如果矩阵 C 为随 机矩阵且满足limm→∞ Cm = 1n f T ，f∈Ｒn 为常向量，则矩 阵 C 为 SIA ( stochastic，indecomposable and aperiodic) 矩阵． 2 问题描述 记 T ＞ 0 为采样周期，k∈N，考虑由 n 个一阶和二 阶智能体组成的离散时间异质多智能体系统． 二阶智 能体的动态模型为 xi ( k + 1) = xi ( k) + Tvi ( k) ， vi ( k + 1) = vi ( k) + Tui { ( k) ． ( 1) 式中，xi ( k) ∈Ｒl 、vi ( k) ∈Ｒl 和 ui ( k) ∈Ｒl 分别是第 i∈Im = { 1，2，…，m} 个二阶智能体的位置、速度和控 制输入． 一阶智能体的动态模型为 xi ( k + 1) = xi ( k) + Tui ( k) ． ( 2) 式中，xi ( k) ∈Ｒl 和 ui ( k) ∈Ｒl 分别是第 i∈In /Im = { m + 1，m + 2，…，n} 个一阶智能体的位置和控制 输入． 不失一般性，令 l = 1． 本文的目标是使系统( 1) 和 ( 2) 在无通信时延和有通信时延这两种情况下的状态 都能渐近达到一致，即在任何初始状态下都满足 lim k→∞ ( xi ( k) － xj ( k) ) = 0，i，j∈In ; lim k→∞ ( vi ( k) － vj ( k) ) = 0，i，j∈Im { ． ( 3) 3 协议设计及分析 首先讨论理想情况( 不存在通信时延) 下系统的 一致性问题． 为实现理想情况下系统( 1) 和( 2) 的一致性，对于 系统中的二阶离散智能体，采用的一致性协议为 ui ( k) = － αvi ( k) + ∑ j∈Ni aij( xj ( k) － xi ( k) ) ，i∈Im ． ( 4) 式中，α ＞ 0 为控制参数． 对于系统中的一阶离散智能 体，采用的一致性协议为 ui ( k) = ∑ j∈Ni aij( xj ( k) － xi ( k) ) ，i∈In /Im ． ( 5) 将协议( 4) 和( 5) 分别代入系统( 1) 和( 2) ，并记 xs ( k) = ［x1 ( k) ，x2 ( k) ，…，xm ( k) ］T ，vs ( k) = ［v1 ( k) ，v2 ( k) ， …，vm ( k) ］T ，xf ( k ) = ［xm + 1 ( k ) ，xm + 2 ( k ) ，…， xn ( k) ］T ，可得 xs( k + 1) = xs( k) + Tvs( k) ， vs( k + 1) = － TL11 xs( k) + ( 1 － αT) vs( k) － TL12 xf { ( k) ( 6) 和 xf ( k + 1) = － TL21 xs( k) + ( In － m － TL22 ) xf ( k) ． ( 7) 式( 6) 和式( 7) 中，L11 ∈Ｒm × m、L12 ∈Ｒm × ( n － m) 、L21 ∈ · 441 ·

刘聪等：离散时间异质多智能体系统的一致性控制 ·145 Ra-mxm和L2∈Ra-x-m满足 min,o(2Re(:)/八入，2)且a>1+maxl,ln(i=1,2, [Lu Le] ,m)为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，入：(i=1,2, L= LL2 (8) ,n)为矩阵V的特征值，那么矩阵U仅有一个特征 记 值为1，其余特征值均在复平面的单位圆内. (k)=[x(k),v(k),x(]ER 证明：由引理2知矩阵V仅有一个零特征值，其余 将式(6)和(7)写成紧凑形式得 非零特征值均具有正实部.另外，由式(10)易知以：= (k+1)=U(k). (9) 1-T入4：是矩阵U的特征值，A:是矩阵V的特征值， 式中， 因此矩阵U仅有一个特征值为1. 「I. TI 不失一般性，记入，=0，A:=Re（入，)+im(入：)， U= -TLn (1-aT)I Re(A)>0,i=2,3,…,n+m,i为虚数单位，i= -TL2 0 I-m-TLn √-1.因此有 注意到U可以表示为 lu,12=(1-TRe(,)2+（-Im(A,))2= U=I.-TV. (10) T(IA,I2T-2Re(A:))+1<1, 式中， 即lμI<1,i=2,3,,n+m.综上可知，矩阵U仅有 r0 -I 一个特征值为1，其余特征值均在复平面的单位圆内. V- 证毕. Ln- 从引理3可知，矩阵的特征值分布不仅与控制 引理2如果系统有向拓扑含有生成树，且α>1 参数和系统的拓扑结构有关，还与系统的采样周期有 +maxl时，l.(i=1,2,…,m)为系统拉普拉斯矩阵的 密切的关系. 对角元素，那么矩阵V仅有一个零特征值，其余非零 定理1如果系统有向拓扑含有生成树，0<T< 特征值均具有正实部. mino(2Re(A)/八入：12)且x>1+maxl.时，la(i=1, 证明：首先，对矩阵V作可逆变换 2,…,m)为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，入，(i=1,2, -I ,n)为矩阵V的特征值，则系统(1)和(2)在协议 V=MVM= L-(a-1)Ln (a-1). (4)和(5)的作用下渐近实现一致. 0 证明：由引理3知矩阵U仅有一个特征值为1，其 「1m0 余特征值均在复平面的单位圆内 M=I. 设p=,0,1]T,利用L1。=0,容易验证 00 Upa=lpa,因此pa是矩阵U对应于特征值1的特征 向量.令J为矩阵U的Jordan标准形，则必存在非奇 易知，矩阵V与V具有相同的特征值.注意到矩阵) 异矩阵P∈Ra+x使得U=PP.不失一般 的行和为零，当a>1+max I,i=1,2,,m时，矩阵 性，记 可以看成是含有n+m个顶点的图对应的拉普拉斯矩 qu 阵，则矩阵至少有一个零特征值，其余非零特征值 P=ppa…pm],P1 都具有正实部，因此矩阵V至少有一个零特征值，其 余非零特征值都具有正实部. . 接下来，对矩阵V作初等行列变换 其中pmeR"m,i=1,2,…,n+m为矩阵U的右特征 0 0 向量和广义右特征向量，qu∈R*m,i=1,2,…,n+m 为矩阵U的左特征向量和广义左特征向量，则有 U=PPpP…PP= 易知rank(V)=m+rank(L).系统有向拓扑包含生成 树，由引理1可知rank(L)=n-l,则rank(V)=n+ m-1,因此，矩阵V仅有一个零特征值，其余非零特征 值都具有正实部 式中，J为矩阵U的非1特征值对应的Jordan块 证毕 注意到矩阵U的非1特征值都在复平面的单位 引理3如果系统有向拓扑含有生成树，0<T< 圆内，则

刘 聪等: 离散时间异质多智能体系统的一致性控制 Ｒ( n － m) × m 和 L22∈Ｒ( n － m) × ( n － m) 满足 L = L11 L12 [ L21 L ] 22 ． ( 8) 记 φ( k) =［xT s ( k) ，vT s ( k) ，xT f ( k) ］T ∈Ｒ( n + m) × ( n + m) ， 将式( 6) 和( 7) 写成紧凑形式得 φ( k + 1) = Uφ( k) ． ( 9) 式中， U = Im TIm 0 － TL11 ( 1 － αT) Im － TL12 － TL21 0 In － m － TL         22 ． 注意到 U 可以表示为 U = In + m － TV． ( 10) 式中， V = 0 － Im 0 L11 αIm L12 L21 0 L         22 引理 2 如果系统有向拓扑含有生成树，且 α ＞ 1 + max lii时，lii ( i = 1，2，…，m) 为系统拉普拉斯矩阵的 对角元素，那么矩阵 V 仅有一个零特征值，其余非零 特征值均具有正实部． 证明: 首先，对矩阵 V 作可逆变换 V 槇 = MVM － 1 = Im － Im 0 L11 － ( α － 1) Im ( α － 1) Im L12 L21 0 L         22 ， M = Im 0 0 Im Im 0 0 0 In －         m ． 易知，矩阵 V 槇 与 V 具有相同的特征值． 注意到矩阵 V 槇 的行和为零，当 α ＞ 1 + max lii，i = 1，2，…，m 时，矩阵 V 槇 可以看成是含有 n + m 个顶点的图对应的拉普拉斯矩 阵，则矩阵 V 槇 至少有一个零特征值，其余非零特征值 都具有正实部，因此矩阵 V 至少有一个零特征值，其 余非零特征值都具有正实部． 接下来，对矩阵 V 作初等行列变换 V→ Im 0 0 0 L11 L12 0 L21 L         22 ， 易知 rank( V) = m + rank( L) ． 系统有向拓扑包含生成 树，由引理 1 可知 rank( L) = n － 1，则 rank( V) = n + m － 1，因此，矩阵 V 仅有一个零特征值，其余非零特征 值都具有正实部． 证毕． 引理 3 如果系统有向拓扑含有生成树，0 ＜ T ＜ minλi ≠0 ( 2Ｒe ( λi ) / | λi | 2 ) 且 α ＞ 1 + max lii，lii ( i = 1，2， …，m) 为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，λi ( i = 1，2， …，n) 为矩阵 V 的特征值，那么矩阵 U 仅有一个特征 值为 1，其余特征值均在复平面的单位圆内． 证明: 由引理2 知矩阵 V 仅有一个零特征值，其余 非零特征值均具有正实部． 另外，由式( 10) 易知 μi = 1 － Tλi，μi 是矩阵 U 的特征值，λi 是矩阵 V 的特征值， 因此矩阵 U 仅有一个特征值为 1． 不失一般性，记 λ1 = 0，λi = Ｒe ( λi ) + iIm ( λi ) ， Ｒe ( λi ) ＞ 0，i = 2，3，…，n + m，i 为 虚 数 单 位，i = 槡－ 1． 因此有 | μi | 2 = ( 1 － TＲe ( λi ) ) 2 + ( － TIm ( λi ) ) 2 = T( | λi | 2 T － 2Ｒe ( λi ) ) + 1 ＜ 1， 即| μi | ＜ 1，i = 2，3，…，n + m． 综上可知，矩阵 U 仅有 一个特征值为 1，其余特征值均在复平面的单位圆内． 证毕． 从引理 3 可知，矩阵 U 的特征值分布不仅与控制 参数和系统的拓扑结构有关，还与系统的采样周期有 密切的关系． 定理 1 如果系统有向拓扑含有生成树，0 ＜ T ＜ minλi ≠0 ( 2Ｒe ( λi ) / | λi | 2 ) 且 α ＞ 1 + max lii时，lii ( i = 1， 2，…，m) 为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，λi ( i = 1，2， …，n) 为矩阵 V 的特征值，则系统( 1) 和( 2) 在协议 ( 4) 和( 5) 的作用下渐近实现一致． 证明: 由引理 3 知矩阵 U 仅有一个特征值为 1，其 余特征值均在复平面的单位圆内． 设 pr1 =［1 T m，0 T m，1 T n － m］T ，利用 L1n = 0n，容易验证 Upr1 = 1pr1，因此 pr1是矩阵 U 对应于特征值 1 的特征 向量． 令 J 为矩阵 U 的 Jordan 标准形，则必存在非奇 异矩 阵 P ∈ Ｒ( n + m) × ( n + m) 使得 U = PJP － 1 ． 不失 一 般 性，记 P =［pr1，pr2，…，pr，n + m］，P － 1 = qT l1 qT l2  qT l，n +            m  ． 其中 pri∈Ｒn + m，i = 1，2，…，n + m 为矩阵 U 的右特征 向量和广义右特征向量，qli∈Ｒn + m，i = 1，2，…，n + m 为矩阵 U 的左特征向量和广义左特征向量，则有 Uk = PJP － 1PJP － 1…PJP          － 1 k = P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 [ ] J k P － 1 = P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 J [ k ]P － 1 ． 式中，J 为矩阵 U 的非 1 特征值对应的 Jordan 块． 注意到矩阵 U 的非 1 特征值都在复平面的单位 圆内，则 · 541 ·

·146 工程科学学报，第38卷，第1期 宫4人4] 1.9me(0） 令y,(k)=x,(k)+y,(k),并记y(k)= Pu9p(0）= (11) C()y(k),x(A]T,z(k)=[y(),y(k-1), 1.-m9p(0) …,y(k-T)]T,结合式(14)和(15)可得 z(k+1)=Hz(k). (16) 式中，P(0)=x(O),v(0),x(O)]T为系统的初始 式中， 值.由式(11)可以看出lim.x,(k)=qp(0),ie., lim4.:(k)=0,ie,即满足lim(x,(k)-x(k)）=0, 0 0 0 i,j∈，Iim(:(k)-(k)）=0,ij∈习，系统(1)和 H= 0 0 (2)在协议(4)和(5)的作用下渐近实现一致. 证毕. 00…1.m 0 从定理1的证明可以看出，系统达到一致性时的 R+)6a+时xg+Datl 平衡点与矩阵U的特征值1的左特征向量和系统的 初始值有关. 接下来分析存在通信时延时系统(1)和(2)的一 W。= (ar- .-aT'D 1-a 0 致性.假定智能体之间的通信时延不一致，且通信时 延有界，将协议(4)和(5)分别改写为 I-m-TD ,围=-a,（因+Aa,Gk-）-,)ie又 0 0 01 W. aTAi0 aTA,i=l,2,…Ts (12) L TA 0 TAr] 和 引理4刃令矩阵W,∈R",i=0,l,…,Tm为非 4,(h)= Aa,k--,)ie以 负矩阵，矩阵B形如式(16)中的矩阵H,矩阵W= (13) 式(12)和式(13)中，α>0为控制参数，r为从智能体j 乞W,若W,的主对角线元素都为正，W为随机矩阵 且以W为邻接矩阵的图包含生成树，则矩阵B为SIA 到智能体i的通信时延且T;≤T,这里TgT均为正 矩阵。 整数. 将协议(12)和(13)分别代入系统(1)和(2)，并 定理2系统(1)和(2)在协议(12)和(13)的作 记x.（k)=x,(k),…,x(]T,y（k)= 用下渐近实现一致，如果系统有向拓扑含有生成树，并 (k),…,n(因]T,x(k)=x.1(k),…,xn(因]T, 满是a>1且cr名 ay aT-1<a, 可得 x.(k+1)=x()+Ty.(k), ∑ag<1. y,(k+1)=-TDx,(k)+(1-aαT)y.(k)+ 证明：当a>1且aT,m∑a,<2T-1<a, TAx,(k-1)+…+TA:x(k-T）+ 1-12,m TA4.1(k-1)+…+TAx(k-T） T公4<1时，W为非负矩阵，令W= (14) 和 。W,则W为随机矩阵.对矩阵1。一w作初等行 x(k+1）=TA.x.(k-1)+…+TAex.(k-T）+ 列变换，得 TAx(k-1)+…+TA,_x(k-T）+ 0 0 (I...-TD)x(k). (15) Lnm-W→0D.-A。 -A 式(14)和式(15)中， L0-A.D:-A;] D=,D,言A=A, 可以看出rank(L.m-W)）=m+rank(L).系统有向拓 扑含有生成树，由引理1可知rank(L)=n-l,则rank Au=AAu=Ar (L.+m-W)=n+m-1,矩阵I.,m-W仅有一个零特 征值，由引理1可知以矩阵W为邻接矩阵的图包含有

工程科学学报，第 38 卷，第 1 期 lim k→∞ φ( k) = limk→∞ P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 J [ k ]P － 1φ( 0) = pr1 qT l1φ( 0) = 1 m qT l1φ( 0) 0 m 1n － m qT l1φ( 0          )  ． ( 11) 式中，φ( 0) =［xT s ( 0) ，vT s ( 0) ，xT f ( 0) ］T 为系统的初始 值． 由式( 11) 可以看出limk→∞ xi ( k) = qT l1 φ( 0) ，i∈In， limk→∞ vi ( k) = 0，i∈Im，即满足lim k→∞ ( xi ( k) － xj ( k) ) = 0， i，j∈In，lim k→∞ ( vi ( k) － vj ( k) ) = 0，i，j∈Im，系统( 1) 和 ( 2) 在协议( 4) 和( 5) 的作用下渐近实现一致． 证毕． 从定理 1 的证明可以看出，系统达到一致性时的 平衡点与矩阵 U 的特征值 1 的左特征向量和系统的 初始值有关． 接下来分析存在通信时延时系统( 1) 和( 2) 的一 致性． 假定智能体之间的通信时延不一致，且通信时 延有界，将协议( 4) 和( 5) 分别改写为 ui ( k) = － αvi ( k) + ∑ j∈Ni aij( xj ( k － τij) － xi ( k) ) ，i∈Im ( 12) 和 ui ( k) = ∑ j∈Ni aij( xj ( k － τij) － xi ( k) ) ，i∈In /Im ． ( 13) 式( 12) 和式( 13) 中，α ＞ 0 为控制参数，τij为从智能体 j 到智能体 i 的通信时延且 τij≤τmax，这里 τij，τmax均为正 整数． 将协议( 12) 和( 13) 分别代入系统( 1) 和( 2) ，并 记 xs ( k ) = ［x1 ( k) ，…，xm ( k) ］T ， vs ( k ) = ［v1 ( k) ，…，vm ( k) ］T ，xf ( k) = ［xm + 1 ( k) ，…，xn ( k) ］T ， 可得 xs( k + 1) = xs( k) + Tvs( k) ， vs( k + 1) = － TDsxs( k) + ( 1 － αT) vs( k) + TAs，1 xs( k － 1) + … + TAs，τmax xs( k － τmax ) + TAsf，1 xf ( k － 1) + … + TAsf，τmax xf ( k － τmax      ) ( 14) 和 xf ( k + 1) = TAfs，1 xs( k － 1) + … + TAfs，τmax xs( k － τmax ) + TAf，1 xf ( k － 1) + … + TAf，τmax xf ( k － τmax ) + ( In － m － TDf ) xf ( k) ． ( 15) 式( 14) 和式( 15) 中， D = diag{ Ds，Df} ，∑ τmax i = 1 As，i = As， ∑ τmax i = 1 Asf，i = Asf，∑ τmax i = 1 Af，i = Af， ∑ τmax i = 1 Afs，i = Afs，A = As Asf [ Af A ]fs ． 令 ys ( k ) = xs ( k ) + αTvs ( k ) ，并 记 γ( k ) = ［xT s ( k) ，yT s ( k) ，xT f ( k) ］T ，z( k) =［γT ( k) ，γT ( k － 1) ， …，γT ( k － τmax) ］T ，结合式( 14) 和( 15) 可得 z( k + 1) = Hz( k) ． ( 16) 式中， H = W0 W1 … Wτmax － 1 Wτmax In + m 0 … 0 0 0 In + m … 0 0     0 0 … In + m              0  ∈ Ｒ( τmax + 1) ( n + m) × ( τmax + 1) ( n + m) ， W0 ( = 1 － 1 ) α Im 1 α Im ( 0 αT － 1 ) α Im － αT2 Ds ( 1 － αT + 1 ) α Im 0 0 0 In － m － TD            f ， Wi = 0 0 0 αT2 As，i 0 αT2 Asf，i TAfs，i 0 TAf，         i ，i = 1，2，…，τmax ． 引理 4 ［17］ 令矩阵 Wi∈Ｒn × n ，i = 0，1，…，τmax为非 负矩阵，矩阵 B 形如式( 16) 中的矩阵 H，矩阵 W = ∑ τmax i = 0 Wi，若 W0 的主对角线元素都为正，W 为随机矩阵 且以 W 为邻接矩阵的图包含生成树，则矩阵 B 为 SIA 矩阵． 定理 2 系统( 1) 和( 2) 在协议( 12) 和( 13) 的作 用下渐近实现一致，如果系统有向拓扑含有生成树，并 满足 α ＞ 1 且 α2 T2 max i = 1，2，…，m∑ n j = 1 aij ＜ α2 T － 1 ＜ α， T max i = m + 1，m + 2，…，n ∑ n j = 1 aij ＜ 1． 证明: 当 α ＞ 1 且 α2 T2 max i = 1，2，…，m∑ n j = 1 aij ＜ α2 T － 1 ＜ α， T max i = m + 1，m + 2，…，n ∑ n j = 1 aij ＜ 1 时，W0 为非 负 矩 阵． 令 W = ∑ τmax i = 0 Wi，则 W 为随机矩阵． 对矩阵 In + m － W 作初等行 列变换，得 In + m － W→ Im 0 0 0 Ds － As － Asf 0 － Afs Df － A        f ． 可以看出 rank( In + m － W) = m + rank( L) ． 系统有向拓 扑含有生成树，由引理 1 可知 rank( L) = n － 1，则 rank ( In + m － W) = n + m － 1，矩阵 In + m － W 仅有一个零特 征值，由引理 1 可知以矩阵 W 为邻接矩阵的图包含有 · 641 ·

刘聪等：离散时间异质多智能体系统的一致性控制 147 向树.同时注意到矩阵W。的主对角线元素都为正，由 3 引理4可知矩阵H为SIA矩阵，则lim=z(k)= +智能体1 ◆智能体2 1-wafz(0),f∈R-wam为常向量，因此 。智能体3 lim,(k)=fz(0）,i∈习，lim.,(k)=0,i∈习，即 系统(1)和(2)在协议(12)和(13)的作用下渐近实现 一致. 证毕. 4仿真实例 给定采样周期T=0.1s,考虑一个由3个二阶智 50 100 150 能体、2个一阶智能体组成的异质多智能体系统，其拓 扑结构如图1所示，其中，1、2和3为二阶，4和5为 图3无通信时延时速度曲线 一阶. Fig.3 Curves of velocity without communication delay 2,取α=4使定理2的条件满足，取系统初始值 x(0)=1,6,-3,3,-4]T,y(0)=[-2,1,4]T, x(-),v(-i),i=1,2,…,r均为零向量，进行仿 真，仿真结果如图4和图5所示.由图4和图5可以看 出，系统(1)和(2)在协议(12)和(13)的作用下渐近 图1有向拓扑图 一致，验证了定理2的正确性. Fig.1 Directed topology graph 8 +智能体1 令eg=(,,）∈E时，ag=l,i,je,则max= ◆智能体2 ·智能体3 1e,=☏公4，=1 口智能体4 0智能体5 i45 不存在通信时延时，由定理1可知应满足>2， 取a=3.计算矩阵V的特征值并代入2Re(A,)I入，2 可得0<T<0.7260s,给定的采样周期在允许的范围 内.取系统初始值为x(0)=5,-1,-4,2,-3]T和 v(0)=,3,2]'进行仿真，仿真结果如图2和图3所 示.由图2和图3可以看出，系统(1)和(2)在协议 50 100150 200 250 (4)和(5)的作用下渐近一致，验证了定理1的正 确性. 图4有通信时延时位置曲线 Fig.4 Curves of position with communication delay +智能体1 +智能体2 0智能体3 +智能体1 +智能体2 。智能体3 口智能体4 智能体5 50 100 150 图2无通信时延时位置曲线 50 100150200250 Fig.2 Curves of position without communication delay 图5有通信时延时速度曲线 存在通信时延时，令T2=T41=T4=1,T5=T1= Fig.5 Curves of velocity with communication delay

刘 聪等: 离散时间异质多智能体系统的一致性控制 向树． 同时注意到矩阵 W0 的主对角线元素都为正，由 引理 4 可 知 矩 阵 H 为 SIA 矩 阵，则 limk→∞ z ( k ) = 1( τmax + 1) ( n + m) f T z ( 0 ) ，f ∈ Ｒ( τmax + 1) ( n + m) 为 常 向 量，因 此 limk→∞ xi ( k) = f T z( 0) ，i∈In，limk→∞ vi ( k) = 0，i∈Im，即 系统( 1) 和( 2) 在协议( 12) 和( 13) 的作用下渐近实现 一致． 证毕． 4 仿真实例 给定采样周期 T = 0. 1 s，考虑一个由 3 个二阶智 能体、2 个一阶智能体组成的异质多智能体系统，其拓 扑结构如图 1 所示，其中，1、2 和 3 为二阶，4 和 5 为 一阶． 图 1 有向拓扑图 Fig． 1 Directed topology graph 令 eij = ( vi，vj ) ∈E 时，aij = 1，i，j∈I5，则 max lii = 1，i∈I3，max i = 1，2，3 ∑ 5 j = 1 aij = 1，max i = 4，5∑ 5 j = 1 aij = 1． 不存在通信时延时，由定理 1 可知应满足 α ＞ 2， 取 α = 3． 计算矩阵 V 的特征值并代入 2Ｒe ( λi ) / | λi | 2 可得 0 ＜ T ＜ 0. 7260 s，给定的采样周期在允许的范围 内． 取系统初始值为 x( 0) =［5，－ 1，－ 4，2，－ 3］T 和 v( 0) =［1，3，2］T 进行仿真，仿真结果如图 2 和图 3 所 示． 由图 2 和图 3 可以看出，系统( 1) 和( 2) 在协议 ( 4) 和( 5 ) 的 作 用 下 渐 近 一 致，验 证 了 定 理 1 的 正 确性． 图 2 无通信时延时位置曲线 Fig． 2 Curves of position without communication delay 存在通信时延时，令 τ21 = τ41 = τ54 = 1，τ15 = τ31 = 图 3 无通信时延时速度曲线 Fig． 3 Curves of velocity without communication delay 2，取 α = 4 使 定 理 2 的 条 件 满 足，取 系 统 初 始 值 x( 0) = ［1，6，－ 3，3，－ 4］T ，v ( 0 ) = ［－ 2，1，4］T ， x( － i) ，v( － i) ，i = 1，2，…，τmax 均为零向量，进行仿 真，仿真结果如图 4 和图 5 所示． 由图 4 和图 5 可以看 出，系统( 1) 和( 2) 在协议( 12) 和( 13) 的作用下渐近 一致，验证了定理 2 的正确性． 图 4 有通信时延时位置曲线 Fig． 4 Curves of position with communication delay 图 5 有通信时延时速度曲线 Fig． 5 Curves of velocity with communication delay · 741 ·