用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.04.010 北京钢铁学院学报 1982年第4期 用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型 数学教研室泰明达 摘 要 本文建立了LD法炼钢过程中脱碳动力学的理论随机模型，它是带有随机初始条 件和非齐次项的“分段型”随机微分方程。文中运用伊藤(It。)随机方程的理论求 出了“解过程”和矩函数，讨论了该过程的主要统计性质。最后通过数值例子进行了 模型的参数估计，并验证了“后期”模型的可靠性。 一、引言 随机微分方程是近年来发展起来的数学分支，它是古典微分方程理论与概率统计方法相 结合的产物，目前已广泛应用于各个领域。但用于冶金过程的例子还不多见。木文将用它来 讨论冶金中的脱碳动力学问题。 1977年，日本炼钢学家濑川清曾用下列确定性“三段模型”具体计算过LD法（即纯氧 頂吹转炉炼钢法)冶炼过程中脱碳反应的许多有关问题，！： dC -k:t,0≤t<ts dt= -k2,.t:≤t<t23 (1) -ksC,t,≤t≤tei 其中k>0,(i=1,2,3)是与氧流量等有关的系数，t1、t,为阶段转变时刻，一般可由脱碳 过程的物理化学性质以及实验数据的统计分析确定之；【。表示终吹时刻。在已知初始含碳 量： C(0)=C。 (2) 的条件下，容易求得(1)式的积分结果为 C(t)= (C-号k,0≤< C1-k2(t-t),t1≤t<tz (3) 1 C2exp〔-k,(l-tz),t2≤t≤teo 其中C1、C2是利用脱碳过程的连续性条件 C(t:-0)=C(ti+0),i=1,2 (1) 以及(3)式所求得的常数，具体计算公式为 *本文會在82年于昆明召开的“全国概率统计会议”上捕要报告过。 89

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型 数 学教研 室 明达 摘 要 本文建立 了 法炼钢过 程 中脱破动力学的理 论 随机 模型 ， 它是 带有随机 初始 条 件和 非齐 次项 的 “ 分 段型 ” 随机 微分 方 程 。 文 中运 用伊 藤 宁 随机 方 程 的理 论 求 出了 “ 解过 程 ” 和 矩 函数 ， 讨论 了该过 程 的主 要统 计 性质 。 最后 通过 数值 例 子进行 了 模型 的参数估计 ， 并验证 了 “ 后 期” 模型 的可 本性 。 随机微分 方 程是近 年来发展 起来 的数学分 支 ， 它是古典微分方 程理 论与概 率统计方法相 结合的产物 ， 目前 巳广 泛应用 于 各个领域 。 但 用 于 冶金 过 程 的例 子还 不 多见 。 木文将用它来 讨论冶金 中的脱碳动 力学 问题 。 年 ， 日本炼钢 学家漱川 清 曾用 下列 确定性 “ 三 段模 型 ” 具 体 计 算过 法 即纯氧 顶吹 转炉 炼钢 法 冶炼过 程 中脱碳反应的许多有关问题 ， ’ ‘ 一 一 “ ’ ， ” 《 ’ ‘ ’ 了 一 ， 砚 《 ， 一 ， ， 《 。 其 中 ‘ 。 ， ， ， 是 与氧 流 量 等有 关的 系数 ， 、 过 程 的物 理 化学 性质 以 及实验数 据 的 统计分析确定 之 量 。 的 条件下 ， 容易 求得 式 的积 分 结果为 为阶段 转变时 刻 ， 一 般可 由脱碳 。 表 示 终 吹 时 刻 。 在 巳 知 初始 含碳 。 一 专 一 ，’ ， 一 一 ， ， 《 资人 ， 卜 一 〕 ， 《 。 其中 ，、 是 利用脱碳 过 程 的连 续性 条件 ‘ 一 ‘ ， ， 以 及 式所求得 的 常数 ， 具 体计算公式 为 本文甘在 年于 尾 明召 开 的 “ 全 国概 率统 计 会 议 ” 上 摘 要 报告 过 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．04．010

C=C,=C。-号kt, (5) C=C()=C-号k1t-k:te-t） (3)式所表示的脱碳曲线如图1所示。 由于上述模型一定程度上反映了脱碳过程的实 际情况，因此目前有些炼钢工作者就直接用它来进 行实际过程的计算和分析，【1。但是，这个模型 的根本弱点在于它忽略了炼钢过程中众多随机因素 的影响，诸如：其他反应的干扰，供氧条件和冶炼钢 种的变化，炉衬几何形状的改变等等。此外，把初 始碳量C,和系数k,(i=1,2,3)作为固定常数处理 也不合理，实际上它的值会有随机波动，有时还可 0 t。t(分) 能是很大的。因此上述模型只能是一个粗糙的近似 描述，很难满足精确计算和过程控制等方面的需要。 图1脱碳曲线 近年来，不少人致力于建立各种各样的确定性模型来反映脱碳过程，【】，但都不十分 理想。与此同时，在一些国家内尝试用随机方法来建立数模，实现动态控制，在具体炉子上 获得某些成功。例如：Wells.C.H,【、I1,和Mehra..R.K,I]等。但他们的工作主要 局限于炉气分析方面。特别值得一提的是K.Koga,【),他起先提出的“后期”模型类似 于濑川清“第三阶段”模型，为 d量=kC+b d (6) dc 以后，由于考虑到治炼钢种、渣量等随机因素对脱碳速度：会有影响，所以他又将(6)式 修改为 =kC+b+Ab dc (7) 据称，加了修正项△b后，控制碳的命中率提高了5%。实际上，K.koga的考虑已接近于随 机微分方程的思想。本文基于前人的工作，试图在比较一般的条件下，将随机方法引入经典 脱碳动力学，建立理论随机数模。侧重于数学计算和讨论，而不想涉及工艺及过程控制等复 杂问题。 二、模型的随机化处理 首先从“三段”确定性模型(1)及初始条件(2)出发，进行某种随机化处理，使其变为 随机微分方程。 1.非齐次项的随机化 dc 在整个冶炼过程中，脱碳速度：受到复杂的随机因素影响。如果工艺条件正常而稳 dc 定，则可假定这些随机因素都是微小的和相互独立的，它们对于脱碳速度：的总效应可用 90

， ‘ 七 七 ‘ 七 。 一了 “ ， ， 、 七 “ 七 ‘ 七 。 一 一厄一 “ 一 ， ‘ “ 一 ‘ ︵︶︺一 式所表示 的脱碳 曲线如 图 所 示 。 由于 上述模型 一定程度 上反映 了脱碳过程的 实 际情况 ， 因此 目前有些炼钢工作者就直接用 它来 进 行实际过程 的计算 和 分析 ， 。 但是 ， 这个模 型 的 根本弱 点在于 它忽略 了炼钢过 程 中众多随机 因素 的 影响 ， 诸如 其他反应的干 扰 ， 供氧条件和冶炼钢 种的 变化 ， 炉衬几何形状的 改变等等 。 此外 ， 把初 始碳量 。 和 系数 ‘ ， ， 作为 固定 常数 处理 也不 合理 ， 实际 上它的 值会有 随机 波动 ， 有时还可 能是很大的 。 因此 上述模 型 只 能是一个粗糙 的近 似 描述 ， 很难满足 情确计算和过 程控 制 等方 面的需要 。 卜。 分 图 脱 碳 曲线 近年来 ， 不 少人 致力于建立 各 种 各样的确定性模型来 反映脱碳 过 程 ， 〔 ， 但都不十分 理想 。 与此 同时 ， 在一些 国家内尝试用 随机方法来建立数模 ， 实现动态 控 制 ， 在具体炉子 上 获得某些 成功 。 例 如 ， ‘ 、 “ ， 和 ， “ 等 。 但 他们的工 作主要 局 限于炉 气分析方面 。 特别 值得一提 的 是 ， ， 他起先提 出的 “ 后 期 ” 模型 类似 于 漱川 清 “ 第三 阶段” 模 型 ， 为 卜了丁一 七 工 以后 ， 由于考虑到冶炼钢种 、 修 改为 ， 。 ， ， 二 ‘ 盾量 等 随矶 因 索对脱碳 速 度习了公有愁啊 ， 拚 以 他 义将 式 叹 爵 · “ 据称 加 了修正项△ 后 ， 控 制碳 的 命中率提 高 了 。 实际 上 ， 的考虑 已接近于 随 机微分方程 的思想 。 本文基 于前人 的工 作 ， 试 图 在比 较一 般的条件 下 ， 将随机方法 引入 经典 脱碳动力学 ， 建立理 论 随机数模 。 侧 重于数学计算和讨论 ， 而不想涉及工 艺 及过程 控制 等复 杂 问题 。 二 、 模型 的随 机化 处理 首先从 “ 三段” 确定性模 型 及初始条 件 出发 ， 进 行某 种随机化处理 ， 使其 变为 随 机微分方 程 。 定 ， 非 齐次 项 的随机化 在整个冶炼过程中 ， 脱。 速 度杀 受 到复杂 的 随机因素 影响 。 如 果工 艺 条件 正 常而稳 一 、 、 ‘ 一 … ‘ 二 、 二 ，‘ ， 、 ， 二 、 ， 、 ， “ 假足 这些 随机囚 索郁是微小的 和相 互独立 的 ， 万们对十脱候速度万「的 思效厘 “ 用

一个均值为零的白噪声W(t),(t>0)表示。又考虑到在吹炼的不同阶段内影响因素很不一 致，而且即使是同一一因素（如渣量）在不同阶段内对脱碳速度影响的程度也很不一政。因 此，分别用W:(t),(i=1,2,3)来修正各阶段方程的右端而成为方程的随机非齐次项，即 得 -k,t+W:(t),0≤t<t1s dC--k2+W,(t),t≤t dt (8) -k,C+W,(t),t≤t≤t。 ·注意：这用未知函数C(t)已是随机函数，即随机过程，可称为脱碳过程，用s.PC(t)表 ·示。 2.初始条件的随机化 由于冶炼开始时(t=0),钢水的初始碳量C。不可能每炉均相同，这里包括原料（高炉 铁水和废钢)中碳成分的波动和检测误差，致使C,不是常数，而是一个随机变量，故用R.V C。表示。在原料大体周定（从统计意义上讲）以及检测过程中无系统误差的条件下，R.V C。服从正态分布，即 C(O)=C。~N(0,o。2) (9) 其中正。=E{C。},o。2=D{C,},它们不难用统计方法进行估计。 在本文第五部分，我们即将证明：方程(8)的解是一个高斯(Gauss)过程，故在阶段转 变点t1,t2处的碳量C1,C2必定也是正态变量，即 C(t)=C,~N(0,o:2),(i=1,2),, (10) 其中O,=E{C},g:2=DC:,(i=1,2)。 (9)式构成了方程(8)的随机初始条件。 3.暴数k,(i=1,2,3)的统计处理 确定性模型(1)中的系数k;,(ⅰ=1.2,3)实际上与炉次、成分和温度的不均匀性等随机因 素有关，因此严格来说，应按随机系数处理。但带有随机系数的方程求解比较困难，故本文 中暂用实验数据的均值去近似代替随机系数。这样所得结果仅适用于实验数据的范围而不允 许外推。 综上所述，方程(8)和条件(9)组成了LD炼钢过程脱碳动力学的理论随机模型。它是一 个具有随机初始尔件和随机非齐次项的“分段型”随机常微分方程的初值问题。 三、解过程的数学表示 上面所建立的随机模型的求解问题可运用日本著名数学家伊藤清教授创立的伊藤(It0) 型随机方程的理论，1811【u,获得解决。实际上(8)式中所包含的三个随机方程都是下 列It0型一般方程的特定形式： [dX(t)=f(X(t),t)dt+G(X(t),t)dB(t) 1X(t)=Xo,(X。∈L2) (11) 其中X(t),t∈T是未知s.P,f和G都是L2×T-+L2的映射，L2是二阶矩R.V所构成的完备 的赋范线性空间（即Banach空间）和完备的内积空间（即Hilbert空间），B(t)是Brown 运动s.p即Wiener s.p,1!,它的均值函数为零，协方差函数为 μ(t,s)=2Dmin(t,s),(2D称为扩散系数) (12) 91

一个均值 为零 的 白噪声 ， 表示 。 又考虑到 在吹炼的不 同阶段 内 影响因素很不一 致 ， 而且 即使是 同 一 因素 如渣量 在不 同阶 段 内对脱碳 速 度影响 的程度也很 不 一致 。 因 此 ， 分 别 用 ‘ ， ， ， 来 修正 各 阶段方程 的右 端而 成为方 程 的 随机 非齐次项 ， 即 得 一 一 ， 《 ， 一 ， 《 ， 、 一 。 ， 《 《 。 。 ， 注意 这 里未知 函数 巳是 随机 函数 ， 即随机过 程 ， 可称为脱碳过 程 ， 用 表 冲平 。 之 初始 条件 的随机 化 由于 冶炼开 始 时 二 ， 钢 水的 初始 碳量 。 不可 能每炉均相 同 ， 这里 包 括原 料 高炉 铁水和 废钢 中碳 成分 的 波动 和 检测误 差 ， 致使 。 不 是常数 ， 而是一个随机变量 ， 故 用 。 表示 。 在原 料大体 固定 从统计意义 上讲 以 及检 测过 程 中无 系 统误差 的 条件 下 ， 。 服从正态 分布 ， 即 二 口。 ， 。 其 中刀。 。 卜 ， 。 “ 。 ， 它们 不 难用统计方法进 行估计 。 在 本文第五部分 ， 我 们 即将证 明 方程 的解是一 个高斯 过 程 ， 故 在阶段转 变点 ， 处的碳 量 ， 必定 也是正态 变量 ， 即 ‘ ‘ 刀‘ ， ‘ “ ， ， ， 其 中西‘ ‘ ， ‘ “ ‘ ， ， 。 式 构成 了方程 的 随机 初始条件 。 系傲 ‘ ， ， 的统计处理 确定性模 型 中的 系数 ‘ ， 二 ， 实际 上与炉次 、 成分和 温度的 不均匀性等随机因 素有关 ， 因此 严格来 说 ， 应按随机系数处理 。 但带有随机系数 的方程 求解比较 困难 ， 故本文 中暂用 实验数据 的 均 值 去近 似 代替 随机系数 。 这样所得结 果仅适用 于 实验数据 的 范围而不允 许外 推 。 综 上所 述 ， 方 程 和 条件 组成 了 炼钢过程脱碳动 力学的理 论随机模 型 。 它是一 个具有随机初 始条件和 随机非齐次项的 “ 分段型 ” 随机常微分方程 的初值 问题 。 三 、 解 过程 的数 学表 示 上面所建立的 随机模 型 的 求解问题可运 用 日本著 名数 学家伊 藤清教授 创 立的伊藤 型随机方程 的 理 论 ， 丁 。 曰 ‘ 。 ， 获得解决 。 实际 上 式 中所 包 含的 三 个随机方 程 都是下 列 型 一 般方 程 的 特定 形 式 ’ ， ， ， 址 。 。 ， 。 〔 其中 ， 〔 是未知 ， ， 和 都是 ， 的映 射 ， 是二 阶 矩 所构 成的 完备 的赋 范线性 空 间 即 空 间 和 完备 的 内积 空 间 即 空 间 ， 是 运 动 即 ， ‘ ” ， 它 的 均 值 函数 为零 ， 协方差 函数 为 手‘ ， ， ， 称为 扩散系数

特别有 E{(B(t)-B(s))2}=2D1t-s| (13) 该s.P还满足 p{B(0)=0}=1 (14) 和均方连续的条件。为了保证1t0方程(11)求解时所用的It0随机积分的存在唯一性，需要 假定初始变量X。和dB(t)是相互独立的以及解过程X(t)在T上的均方连续性（参看【】）。 我们仅指出，方程(11)是一种“奇异型”的随机微分方程，它的解过程的存在唯一性问 题不能用一般的均方理论来解决，而需要引进下述定理才能保证： 〔定理)设f(x,t)和G(x,t),t∈T为满足下列条件的实函数： (a)它们在T×R,上连续，且对x∈R,关于t一致连续。 (b)增长条件 f2(x,t)=K2(1+x2),G2(x,t)≤K2(1+x2)。 (c)Lipshitz条件 |「(x2,t)-f(x1,t)|≤K|x2-x1l, IG(x2,t)-f(x,t)<KIx2-x1l, 其中K>0是有限常数。则方程(11)有唯一的均方解存在（证明参看【1，【]）。 回到我们所建立的随机模型(8)(9)上来。借助于白噪声与Wiener s.p之间的形式导 数关系： w)-8,>≥0) 不难化随机模型(8)(9)为下列微分型式： (-ktdt+dB(t),C(0)=C,0<t<t dc(t)= -k2dt+dB2(t), t:≤t<tzs (15) (-ksC(t)dt+dB3(t), z≤t≤teo 其中B,(t)是与W,(t),(i=1,2,3)相对应的Wiener s.p。在假定C,与Bj+1(t),(j=0, 1,2)相互独立的条件下，容易验证(15)式中所包含的三个方程均属Ito型且满足上述解的存 在唯一性定理。 下面对各阶段的方程分别求解： 1.第一阶段(0≤t<t,)的解过程为 c)=c。-∫krdr+dB() 上式第二项为Riemann积分，第三项则是It0随机积分（用记号(）∫，表示)，分别求积后 得到均方解 C()=C-}k,2+ABt, (16) 其中△B1(t)=B,(t)一B:(0),而B,(0)则满足概率条件 P{B,(0)=0}=1 2.第二阶段(t,≤t<tz)的解过程可类似得出，为 92

特别有 〔 一 〕 “ 一 该 还 满足 和 均方连 续 的条件 。 为 了保证 几方程 求解时所用 的 品随机积 分 的存在 唯一性 ， 需要 假定 初始 变量 。 和 是 相 互独立的 以 及解过 程 在 ‘ 上的均方连续性 参看 【 。 我们仅指 出 方程 是一种 “ 奇 异型 ” 的 随机微 分方程 ， 它的解过程 的存在唯一性问 题 不能用一般的 均方理论来解决 ， 而需要 引进下述定理才能保证 定理 〕设 ， 和 ， ， 〔 为满 足下列 条件的 实函数 它们 在 上连续 ， 且对 〔 关于 一致连 续 。 增长 条件 ， “ ， 至 ， 《 。 条件 ， 一 ，， 《 一 ， ， 一 ， 《 一 ， 其 中 。 是有限 常数 。 则方程 有唯一 的均方解存在 证 明参看 “ ， 回到我们所建立的 随机模型 上来 。 借助 于 白噪声 与 数关系 之 间的 形 式 导 不难 化随机模 型 为下列 微分型 式 一 “ ， ‘ ’ ’ ， ， ” 《 ’ ” ， ‘，，· 一 “ “ ‘ “ ‘，， ， ’ 《 ， ， ， 一 ， 《 《 。 。 其 中 ‘ 是 与 ‘ ， ， ， 相对应 的 。 在假定 ，与 ，十 ， ， ， 相 互独立的 条件下 ， 在唯一性定理 。 容易验证 式 中所 包 含的三 个方 程均属 型且满足 上述解的存 下面 对 各阶段的方 程分 别求解 第一阶段 《 的 解过 程为 卜 。 一 · · ‘， ‘，， 上式 第二项为 得 到均方解 … 积 分 ， 第三项 则是， 言随机积 分 用记 号 ‘ 表示 ， 分 别求积后 。 一 一 ， 八。 ， ， 其 中△ 一 ， 而 则满足概率条件 卜 第二阶段 ， 毛 的 解过 程可 类似得 出 ， 为

C(t)=C:-k2(t-t)+AB2(t), (17) 其中C1=C(t）=C-合kt2+AB1t,i.P.,△B:)=B:0-B) =B2(t)-B1(t)(由s.pC(t)和Viencr s.p的均方连续性)。 3.第三阶段(t2≤t<te)的解过程为 C(t)=C.exp(-k(t-ta)+(If:exp(k:(+-t))dB,() (18) 其中C2=C(tz)=C1-kz(t2-ti)+△Bz(tz),(i.p.1)。 将以上三个阶段的解合在一起便得到整个随机模型的解过程为 C。-】k,t2+△B,(t),0≤t<t1 2 C(t)=C:-kz(t-ti)+△B2(t),t1≤t<t2 (19) Caexp(-k,(t)+()fexp(k (-t))dB(). ,tz≤t≤tmo 其中R.VC1、C2均可由C。定出。 (19)式就是LD法炼钢过程中脱碳s.PC(t)的理论解析表达式。若将它与濑川清模型的 解(3)式作比较，不难发现各阶段解的表达式中都增加了一个随机修正项，这正是由于在建 立模型时考虑了随机因素影响的必然结果。但是由于第三阶段解过程中包含一个难于积出的 Ito积分，对于脱碳s.pC(t)的分析讨论会带来困难，同时也无法去想象该s.P的样本曲线 的定性形状，为此，我们转入矩函数的计算与讨论。 四、解过程矩函数的计算与讨论 1.均值函数mc(t) 对(19)式两边取均值，注意到E{B,(t)}=0,(i=1,2,3)E{B,(t)}=0,(j=1, 2)且 E((I)[exp(k,(r-t))dB,(r)}=(I)f exp(k,(r-t))dE(B,()}=0 故s.pC(t)的均值函数即为 0。-}k1t,0≤t<t 2 m.(+)=EC(t)}= 01-k2(t-t:),t:≤t<t25 (20) 2exp(-k(t-tz)〕，t2≤t≤te 与(3)式形式上完全一致。Q)式中的万：，，可由均值函数的连续性通过ū。算出。 2.协方差函数μcc(t,s) 仅计算同一时间区间内的μcc(t,s),对于t和s分属不同时间区间时的μc(t,s)可用类 似方法求得。 1°第一阶段内，即0≤t,s<t时 μce(t,s)=E{(C(t)-me(t))〔C(s)-me(s))} =E{〔C。-0)}2+E{〔C。-C。)〔△B,(t)+△B:(s))} +E{(△B,(s))〔△B:(s))=g。2+2D1min(t,s) (21) 93

， 一 一 △ ， 其 中 ‘ ， 。 一示 ， ‘ ， “ △“ ’ ， ‘ · · ‘ ， ” “ “ ，一 ‘ 一 ， 由 和 的 均方连 续性 。 、 第三 阶段 《 。 的解过 程为 〔 一 一 〕 〔 一 〕 丫 ’ 月 、了 了五 、声 其 中 ， 一 · 一 △ ， 。 将 以 上三个 阶段的 解合在一起便得 到 整 个随机模型 的解过 程为 。 一 委 一 ‘ ’ △ ‘ ，， ， ” 《 ， ，】 一 一 △ ， 〔 一 ， 一 〕 《 ， “ ， 二 〔 ‘一 ，，， “ ‘ · ’ ， 、夕、厂 、 《 。 。 其 中 ， 、 均可 由 。 定 出 。 式 就 是 法 炼 钢 过 程 中脱碳 的理 论解析表达式 。 若 将它 与漱川 清模型的 解 式作比 较 ， 不 难发现 各阶段 解的 表达式中都增加了一 个随机 修正项 ， 这 正 是 由于 在建 立模型 时考虑 了随机因 素影响的 必然结果 。 但是 由于 第三 阶段解过程 中包 含一个难于积 出的 宇积分 ， 对于脱碳 的分析讨论会带来 困难 ， 同时也无法去想 象该 ， 的样 本 曲线 的 定性形状 ， 为此 ， 我们 转入 矩 函数 的计算与讨 论 。 四 、 解过程 矩 函数 的计算 与讨论 均值 函橄 。 对 式 两边取 均值 ， 注 意到 ‘ ， ， ， △ ， ， 且 ， 奋 、少 了 了几 ‘ 〔 一 〕 ， 丫 一 〕 二 故 的 均 值 函 数 即为 刀 。 一 一」 《 。 十 笼 刀 一 一 ， · ， 口 〔 一 一 〕 ， 《 与 式形 式 上 完全 一致 。 式 中的 打 ，， 刀 可 由均值 函数 的连 续性 通 过 刀 。 算出 。 协 方趁 函教 协 。 ， 仅计算同一时 间区 间内的 协 。 。 ， ， 对于 和 分 属 不 同时 间 区 间时 的 林 。 。 可 用 类 似方 法求得 。 。 第一阶段 内 ， 即。 ， 时 协 。 。 ， 二 〔 一 。 〕〔 一 。 〕 二 〔 。 一 石 。 “ 天〔 。 一 石 。 〕 〔△ 、 △ 、 〕 〔△ 〕 〔△ 〕 。 “