观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3 面积为A=√3 第一次分叉: 周长为P2=P, 面积为A2=A1+3··A;依次类推
观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 播放
第n次分叉: 周长为 n一」 n 面积为 =A-+3140AB =A1+3·A1+34·()241+…+3·42·()"A1 114.14 =A1{1+[+(+(2+…+ n-2 39 39 n=2,3
) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ n = 2,3, 周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A 第 n 次分叉：
于是有 lim p imA=A(+3)=4(+小23 3 n→00 5 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．
例1讨论等比级数(几何级数) ∑mq"=a+m+-2+…+mm+…(a≠0) n=0 的收敛性 解如果q≠l时 sn=a+ag+aqr2+…+aqn1 a-aq q q
例 1 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解 如果q 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =
当q<时,;imq"=0 limS=、a n→0 收敛 n→ 当q>时, 19>1E imq"=∞∴ lim s=∞发散 n→)0 如果q=时 当q=时,Sn=m→>∞发散 当q=-1时,级数变为a-a+a-a+… lims不存在 发散 n→0o 当q<时,收敛 综上∑mq 当q≥1时,发散
当 q 1 时 , lim = 0 → n n q q a s n n − = → 1 lim 当 q 1 时 , = → n n lim q = → n n lim s 收敛 发散 如果 q = 1 时 当 q = 1 时 , 当 q = − 1 时, sn = na → 发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 qq aq n n